數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文- 矩陣的應(yīng)用.doc

學(xué)科分類(lèi)號(hào) 0701 本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題目（中文）： 矩陣的應(yīng)用 （英文）： the application of matrix 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 系別： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師： 起止日期： 2011.112012.2012 年 月 8 日懷化學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))誠(chéng)信聲明作者鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))，是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭(zhēng)議除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的成果對(duì)論文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確的方式標(biāo)明本聲明的法律結(jié)果由作者承擔(dān)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）作者簽名：年 月 日目 錄摘 要i關(guān)鍵詞iabstractiikey wordsii1 前言12 矩陣32.1 矩陣的概念32.2 矩陣的結(jié)論53 矩陣的應(yīng)用83.1 矩陣的逆矩陣83.2 矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形103.3 矩陣的相似對(duì)角化123.4 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形143.5 零化多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式的關(guān)系20結(jié)論22參考文獻(xiàn)23致 謝24矩陣的應(yīng)用摘 要本文討論矩陣的應(yīng)用.首先給出了矩陣的逆的兩種計(jì)算方法及矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形的三種計(jì)算方法,然后利用矩陣的性質(zhì)、定理得到了一般矩陣的相似對(duì)角化、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的兩種求解方法，以及同步求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣的三種方法，最后利用矩陣的性質(zhì)得到計(jì)算一般矩陣的最小多項(xiàng)式和若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的方法，并由此探討了最小多項(xiàng)式、零化多項(xiàng)式和特征多項(xiàng)式的關(guān)系.關(guān)鍵詞矩陣；若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；相似對(duì)角化；最小多項(xiàng)式the application of matrixabstractthis paper discusses some applications of matrix. firstly, two calculation methods of inverse matrix as well as three calculation methods of smith normal form about matrix are given in the paper. secondly, we use properties and theorems of matrix to discuss similarity diagonalization of general matrix, and there are two calculation methods of jordan canonical form as well as three solutions to synchronously calculate jordan canonical form. finally, we use properties of matrix to calculate minimal polynomial and jordan canonical form of general matrix, and thereby the relations between minimal polynomial, annihilation polynomial and characteristic polynomial are discussed.key words matrix; jordan canonical form; similarity diagonalization; minimal matrix241 前言在矩陣論中，我們把矩陣定義為數(shù)的陣列，即它的元素是數(shù)域上的數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)數(shù)字矩陣現(xiàn)在，把數(shù)字矩陣加以推廣，設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)未定元，我們引進(jìn)矩陣由于的多項(xiàng)式可作加法、減法、乘法三種運(yùn)算，并且它們與數(shù)的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律；而矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法的定義僅用到其元素的加法、減法、乘法，因此，我們可以同樣定義矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法，并且矩陣的這些運(yùn)算同數(shù)字矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法具有相同的運(yùn)算規(guī)律矩陣行列式的定義也僅用到其元素的加法和乘法，因此，我們可以同樣定義一個(gè)階矩陣的行列式一般來(lái)說(shuō)，矩陣的行列式是的多項(xiàng)式，矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì)，有了矩陣行列式的概念，可以同樣定義矩陣的子式、余子式、代數(shù)余子式1.還有矩陣的其它性質(zhì)和結(jié)論可以參考文獻(xiàn)2-5，文獻(xiàn)6、7研究了矩陣的逆矩陣的求法，文獻(xiàn)8研究了矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形的求法，文獻(xiàn)9、10利用矩陣研究了一般矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的求法，文獻(xiàn)11、12利用矩陣研究了如何同步求解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題不僅在矩陣?yán)碚摵途仃囉?jì)算中有著重要地位，而且在力學(xué)、控制理論等學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用通常涉及的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形有兩種：1.對(duì)角矩陣；2.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形一個(gè)階矩陣如果有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則必相似于對(duì)角矩陣，如果的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于，則一定不能和對(duì)角矩陣相似這個(gè)問(wèn)題就是我們要討論的矩陣在相似條件下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題，一個(gè)階矩陣總可以相似于若當(dāng)矩陣若當(dāng)矩陣在數(shù)值計(jì)算中經(jīng)常采用，利用它不僅容易求出矩陣的方冪，還在矩陣函數(shù)、矩陣級(jí)數(shù)、微分方程等方面有著廣泛的應(yīng)用求矩陣到其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及過(guò)渡矩陣自然成為一個(gè)重要性的研究課題，由于過(guò)渡矩陣涉及到復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，在眾多的包含矩陣?yán)碚摰闹髦?，有些只討論了矩陣的若?dāng)標(biāo)準(zhǔn)形而未討論過(guò)渡矩陣的求法，有些給了算法，但較為繁瑣，由此可見(jiàn)，為了更全面地掌握矩陣的理論，我們有必要對(duì)其進(jìn)行研究 在本文中，我們側(cè)重的是利用矩陣的性質(zhì)定理研究矩陣的應(yīng)用問(wèn)題：包括求解矩陣的逆矩陣、矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形，一般矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的求解方法，同步求解一般矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣的方法，探討最小多項(xiàng)式、零化多項(xiàng)式及特征多項(xiàng)式的關(guān)系本文以矩陣的應(yīng)用為中心點(diǎn)，將主體部分分為三部分，第一章論述是第二章的基礎(chǔ)，第三章根據(jù)第二章推導(dǎo)出論文的結(jié)論 本文從知識(shí)的歸納到一些證明題的證明方法和計(jì)算題的方法技巧，都可以用來(lái)借鑒，無(wú)論是考研，還是學(xué)習(xí)矩陣但是，本文也有待完善，需要添加更多的有關(guān)矩陣的應(yīng)用知識(shí)，或者可以將有關(guān)矩陣的延伸知識(shí)加進(jìn)去2 矩陣 本節(jié)由兩部分組成第一部分介紹了矩陣的概念，第二部分介紹了矩陣的性質(zhì)和定理，重點(diǎn)是了解矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論，不變因子、行列式因子及初等因子這三個(gè)重要的概念2.1 矩陣的概念定義2.11 設(shè)是一個(gè)數(shù)域,是一個(gè)文字,作多項(xiàng)式環(huán).一個(gè)矩陣,如果它的元素是的多項(xiàng)式,即的元素，就稱(chēng)為矩陣.與數(shù)字矩陣類(lèi)似,對(duì)矩陣也可以引入秩、逆矩陣、初等變換、等價(jià)關(guān)系的定義. 定義2.2 如果矩陣中有一個(gè)級(jí)子式不為零,而所有級(jí)子式(如果有的話(huà))全為零,則稱(chēng)的秩為.零矩陣的秩規(guī)定為零. 如是階數(shù)字矩陣,則的秩為. 定義2.3 一個(gè)的矩陣稱(chēng)為可逆的,如果有一個(gè)的矩陣使,這里是級(jí)單位矩陣,其中稱(chēng)為的逆矩陣,記為. 如果階矩陣可逆,則它的逆矩陣是唯一的,這和數(shù)字矩陣是一樣的. 定義2.4 下面的三種初等變換叫做矩陣的初等變換:矩陣的兩行（列）互換位置;矩陣的某一行(列）乘以非零的常數(shù);矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍,是一個(gè)多項(xiàng)式. 與數(shù)字矩陣一樣,上面三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣:;,它們都是可逆初等矩陣. 下面介紹矩陣三個(gè)重要的概念,即行列式因子、不變因子、初等因子,它們?yōu)槲覀兒竺嬗懻摼仃嚨南嗨茖?duì)角化條件和矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論做準(zhǔn)備. 定義2.5 任意一個(gè)非零的的矩陣都等價(jià)于下列形式的矩陣 (2.1)其中,是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,且.最后化成的這個(gè)矩陣就稱(chēng)為的smith標(biāo)準(zhǔn)形2,且是唯一的.在上述標(biāo)準(zhǔn)形中,稱(chēng)為的不變因子. 定義2.6 設(shè)矩陣的秩為,對(duì)正整數(shù),中必有非零的階子式.中全部級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式稱(chēng)為的級(jí)行列式因子. 定義2.72 將矩陣的所有不變因子在數(shù)域上分解為標(biāo)準(zhǔn)分解式,則在標(biāo)準(zhǔn)分解式中出現(xiàn)的全部不可約因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱(chēng)為的初等因子 特別地,在復(fù)數(shù)域上,由代數(shù)基本定理，的初等因子都是一次因式的方冪 矩陣中幾乎涉及高等代數(shù)的各個(gè)部分,如下面介紹的零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式 定義2.83 設(shè)為階矩陣,如果存在多項(xiàng)式使得,則稱(chēng)為的零化多項(xiàng)式 顯然，特征多項(xiàng)式是零化多項(xiàng)式 定義2.9 階矩陣的所有零化多項(xiàng)式中,次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱(chēng)為的最小多項(xiàng)式2.2 矩陣的結(jié)論 這一節(jié)我們主要介紹有關(guān)矩陣的一些性質(zhì)、定理（由于部分是參考文獻(xiàn)中的主要結(jié)論或者推廣，所以沒(méi)有全部給出證明）, 在熟悉有關(guān)矩陣的重要性質(zhì)及定理的基礎(chǔ)上，下一章我們將介紹矩陣的一些應(yīng)用.定理2.11 一個(gè)的矩陣是可逆的充分必要條件為行列式是一個(gè)非零的數(shù). 在數(shù)字矩陣中,級(jí)矩陣可逆的充分必要條件是(或滿(mǎn)秩).當(dāng)矩陣可逆時(shí),必有,即是滿(mǎn)秩的.但滿(mǎn)秩的矩陣不一定是可逆的,因?yàn)闈M(mǎn)秩矩陣的行列式可以是不恒為零的的多項(xiàng)式,只有當(dāng)它的行列式為非零的數(shù)時(shí),才稱(chēng)為可逆的.性質(zhì)2.12 行列式因子與不變因子的關(guān)系:設(shè)是秩為的的矩陣,是的行列式因子,而是的不變因子,則 (2.2)由此性質(zhì)可知,行列式因子和不變因子是相互確定的.下面給出矩陣相似的幾個(gè)條件.定理2.21 設(shè)是數(shù)域上兩個(gè)矩陣,與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣與等價(jià).推論2.11 矩陣與相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子或行列式因子.特殊的，在復(fù)數(shù)域上，不可約因式只有一次因式,由推論2.1得定理2.3.定理2.31 兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子.下面給出矩陣相似于對(duì)角矩陣的條件.定理2.41 階矩陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件是a的最小多項(xiàng)式無(wú)重根. 定理2.5 復(fù)數(shù)矩陣的最小多項(xiàng)式就是的最后一個(gè)不變因子. 證明設(shè)的全部初等因子為其中互不相同,則.另一方面, 由若當(dāng)定理知=,其中,而.則 定理2.64 矩陣相似于對(duì)角矩陣的充分條件為1)的某一個(gè)零化多項(xiàng)式無(wú)重根;2)特別是的特征多項(xiàng)式無(wú)重根.性質(zhì)2.2 級(jí)若當(dāng)矩陣的全部初等因子為. 由性質(zhì)2.2可得定理2.7.定理2.7 復(fù)數(shù)域上的每個(gè)級(jí)矩陣都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似,這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣惟一確定的,稱(chēng)為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 定理中被矩陣惟一決定就指的是被的初等因子及初等因子的方冪所惟一決定.3 矩陣的應(yīng)用這一章利用2.2中的性質(zhì)、定理討論矩陣的應(yīng)用,考研中出現(xiàn)的很多關(guān)于矩陣的題目都是涉及到這些性質(zhì)、定理.3.1 矩陣的逆矩陣本節(jié)重點(diǎn)介紹求可逆矩陣的逆矩陣的一種新方法 例1 判斷是否可逆，若可逆,求出它的逆矩陣.解 由定理2.1知是可逆的.由求逆矩陣公式知道， 新方法6 設(shè)是的可逆矩陣，構(gòu)造分塊矩陣,其中是的單位矩陣,是的矩陣.由得,即,故.例2 用新方法求例1中的逆矩陣.解 . 從例2可見(jiàn),新方法盡管篇幅大一點(diǎn),但整個(gè)計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔、自然,因而較之傳統(tǒng)方法而言,它是一個(gè)行之有效的簡(jiǎn)便方法.3.2 矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是矩陣?yán)碚撝幸豁?xiàng)重要而基礎(chǔ)的內(nèi)容,求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形具有很強(qiáng)的靈活性和技巧性.下面我們介紹兩種基本的方法:初等變換法和不變因子法. 方法一 初等變換法,即對(duì)矩陣進(jìn)行一系列初等行(列)的變換,使得最后化成的矩陣如定義2.6中2.1的形式. 例3 求的標(biāo)準(zhǔn)形. 解 對(duì)進(jìn)行初等變換 最后一個(gè)矩陣即為所求的標(biāo)準(zhǔn)形.方法二8 不變因子法.我們分以下兩種類(lèi)型類(lèi)型一 利用性質(zhì)2.1中行列式因子與不變因子的關(guān)系2.2求出矩陣的不變因子即可求出矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形. 例4 求的標(biāo)準(zhǔn)形. 解 由于故.的非零的二階子式有三個(gè):故.而. 于是的不變因子為:.故的標(biāo)準(zhǔn)形為:. 類(lèi)型二 利用初等因子和不變因子的關(guān)系求smith標(biāo)準(zhǔn)形. 例5 求的標(biāo)準(zhǔn)形. 解 已是對(duì)角形,但還不是標(biāo)準(zhǔn)形.此時(shí)矩陣的秩為3,且全部初等因子為:.于是矩陣的不變因子為.故標(biāo)準(zhǔn)形為:.3.3 矩陣的相似對(duì)角化為了研究矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，直接處理矩陣的相似關(guān)系是比較困難的,本節(jié)將利用定理2.4、推論2.1、定理2.5、定理2.7、定理2.10來(lái)研究矩陣的相似對(duì)角化,使得問(wèn)題具體化. 例6 設(shè)是實(shí)矩陣. . 證明彼此相似. 證明 . 這說(shuō)明與等價(jià),由定理2.2得:. 類(lèi)似可證明.再由于相似是一種等價(jià)關(guān)系,得:.從而彼此相似. 例7 證明與相似. 證明與對(duì)應(yīng)的級(jí)子式互為轉(zhuǎn)置,因而對(duì)應(yīng)的級(jí)子式相等.這樣與有相同的各級(jí)行列式因子,由推論2.1得:與相似. 例8 判斷下列矩陣中,哪些與相似?其中. 解 ,的初等因子為;,的初等因子為，;,的初等因子為;,的初等因子為. 由定理2.3得:僅有. 例9 設(shè)復(fù)數(shù)矩陣的最小多項(xiàng)式為.證明:與對(duì)角陣相似. 證明因?yàn)?即的最小多項(xiàng)式無(wú)重根,定理2.4得:相似于對(duì)角陣. 例10 級(jí)矩陣稱(chēng)為周期矩陣,如果存在正整數(shù),使,其中為單位矩陣.證明:復(fù)數(shù)域上的周期矩陣一定可以對(duì)角化. 證 由已知條件知,有零化多項(xiàng)式:. 而,即的零化多項(xiàng)式無(wú)重根.由定理2.6中的1)得可對(duì)角化. 在實(shí)數(shù)域上的矩陣不一定可對(duì)角化,比如,則.但無(wú)實(shí)特征值. 例11 設(shè),試證明:在復(fù)數(shù)域上可對(duì)角化. 證明計(jì)算可得， , 用輾轉(zhuǎn)相除法可得,即的特征多項(xiàng)式無(wú)重根.由定理2.6中的2)得相似于對(duì)角陣.3.4 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形理論在數(shù)學(xué)、力學(xué)和計(jì)算方法中有廣泛的應(yīng)用.本節(jié)將介紹兩種方法求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形:初等因子法;波爾曼法.并且還給出了同步求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣的三種方法:一般方法;行列互逆初等變換法;矩陣初等變換法.首先我們討論求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的兩種方法方法一9 初等因子法.由性質(zhì)2.2和定理2.7,知道了矩陣的初等因子即可求出矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 例12 設(shè),求出的初等因子,并寫(xiě)出的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 解 ,則的初等因子為:.由的初等因子知道,的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為.方法二 波爾曼法.其基本步驟如下:第一步，求出的所有特征值.第二步，對(duì)每個(gè)不同的特征值和每個(gè)求的秩,記為在計(jì)算秩時(shí),若對(duì)某個(gè),使則對(duì)所有,都有第三步，對(duì)每個(gè)求關(guān)于的若當(dāng)塊的階數(shù)和若當(dāng)塊的個(gè)數(shù).這里需要說(shuō)明的是,若求出,則說(shuō)明有個(gè)關(guān)于的階若當(dāng)塊.第四步，寫(xiě)出與相似的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,它由的每個(gè)特征值的個(gè)關(guān)于的階若當(dāng)塊的直和組成.下面以例13來(lái)說(shuō)明波爾曼法.例13 求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.解 第一步，求的特征值特征值為:.第二步，求的秩第三步，求若當(dāng)塊的個(gè)數(shù)和階數(shù)這說(shuō)明的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形必有1個(gè)關(guān)于的1階若當(dāng)塊和1個(gè)關(guān)于的2階若當(dāng)塊,它們的直和已是3階,故不必再求了.所以的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為.接下來(lái)，如何把矩陣到若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)渡矩陣求出來(lái)呢？我們有三種方法方法一11 ：一般方法. 設(shè),的全部根為(互異),其中的重?cái)?shù)為,對(duì)每個(gè)求齊次線(xiàn)性方程組基礎(chǔ)解系,若,令,再解方程組,求出個(gè)解,記為(的廣義特征向量),令,則. 例14 已知,求的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,并求可逆矩陣,使. 解 ,所以, (二重). 對(duì)特征根,求相應(yīng)的特征向量:解方程組得基礎(chǔ)解系. 對(duì)特征根,求相應(yīng)的特征向量:解方程組,得基礎(chǔ)解系. 因?yàn)?再求廣義特征向量,解方程組,得基礎(chǔ)解系 .令,則.方法二：行列互逆初等變換法.設(shè)為任意階方陣,先作一個(gè)矩陣,對(duì)的列施以若干次初等變換,記相應(yīng)的初等矩陣依次為,在每次(第次)列變換后立即對(duì)行施以一次與初等矩陣相對(duì)應(yīng)的初等行變換,使的子塊化為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,此時(shí)的子塊即變?yōu)檫^(guò)渡矩陣. 例15 我們利用方法二解答例14. 解 所以. 方法三：矩陣初等變換法. 設(shè)為任意階方陣,對(duì)進(jìn)行矩陣初等變換,化為對(duì)角矩陣形如,并進(jìn)而化為的形式,求出,于此同時(shí)對(duì)單位矩陣進(jìn)行上述變換中的列變換,當(dāng)變?yōu)闀r(shí),變成了,令,則可逆,且滿(mǎn)足 例16 我們利用方法三解答例14. 解 所以. 方法二與方法三都可以實(shí)現(xiàn)矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及過(guò)渡矩陣的同步求解,比方法一要來(lái)的簡(jiǎn)單,特別是方法二,當(dāng)?shù)碾A數(shù)不大時(shí),每一步初等變換的選取都不難.這兩種方法最后求得的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,除了若當(dāng)塊的排列次序外是唯一的,但過(guò)渡矩陣一般不唯一.3.5 零化多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式的關(guān)系本節(jié)主要應(yīng)用定理2.5求矩陣的最小多項(xiàng)式及若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形(例17、18),還探討了有關(guān)零化多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式的關(guān)系(例19、20). 例17 求的最小多項(xiàng)式 解 對(duì)矩陣作初等變換,可得 由于,由定理2.5得:的最小多項(xiàng)式為. 例18 設(shè)的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式,試求出的可能的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.解 首先由假設(shè)和定理2.5知道是7階方陣,且最后一個(gè)不變因子為(1)當(dāng)時(shí),因此的初等因子為,故的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 (2)當(dāng)時(shí),因此的初等因子為,從而的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 例19 設(shè)矩陣的最小多項(xiàng)式為,是任意多項(xiàng)式.證明.證明“”:若,則是矩陣的零化多項(xiàng)式,設(shè),其中或. 因,若,而,由定義2.9知這與次數(shù)的最小性矛盾,故,. “”:若,則. 例20 設(shè)是階矩陣,證明 (1)的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式的根相同; (2)若的特征根互異,則.證明(1)因,其中是的不變因子,且.設(shè)是的任一特征根,則,一定存在某一個(gè),而,所以,即的根都是的根.故有相同的根.(2)由(1)和題設(shè),所以.4 結(jié)論 矩陣的運(yùn)用比較廣泛，在很多數(shù)學(xué)分支中都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在高等代數(shù)方面的應(yīng)用顯得很重要，雖然矩陣的相關(guān)概念比較簡(jiǎn)單，但是我們?cè)谧鲇嘘P(guān)習(xí)題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)很多地方都需要靈活轉(zhuǎn)變，所以有關(guān)矩陣的內(nèi)容一直是一些學(xué)生不容易領(lǐng)會(huì)和掌握的 本文深入總結(jié)有關(guān)矩陣的一些性質(zhì)定理，并運(yùn)用這些性質(zhì)定理解決了有關(guān)矩陣的問(wèn)題：1.如何計(jì)算可逆矩陣的逆矩陣2.怎樣計(jì)算矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形3.矩陣的相似對(duì)角化的判定4.如何求解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，有哪些方法？以及如何同步求解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣5.探討了最小多項(xiàng)式、零化多項(xiàng)式及特征多項(xiàng)式的關(guān)系我在研究的過(guò)程中，加強(qiáng)了我對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)，并且這個(gè)工作有利于今后對(duì)矩陣的進(jìn)一步研究.這個(gè)過(guò)程并不能止于此，我們需要更多地應(yīng)用矩陣去解決相關(guān)的問(wèn)題參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)m.北京:高等教育出版,20