在橢圓教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的幾個(gè)案例.doc

在橢圓教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的幾個(gè)案例吳麗娟(浙江省麗水中學(xué)，323000)案例背景普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，以及數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)自身的促進(jìn)作用，數(shù)學(xué)的思想體系在人類文明史中的地位和作用，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和人文價(jià)值教師在教學(xué)中應(yīng)結(jié)合有關(guān)內(nèi)容有意識(shí)地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值、美學(xué)價(jià)值在這個(gè)大背景下，我校數(shù)學(xué)組承擔(dān)了市級(jí)教育規(guī)劃課題：文化視野下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)探索本文記錄了在橢圓教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的幾個(gè)案例1 關(guān)于橢圓定義的引入教學(xué)案例1 哈雷彗星教師：一提到彗星，人們的腦海中就會(huì)浮現(xiàn)出這樣的圖像：拖著一根長長的猶如掃帚一般的尾巴，發(fā)著白色的光芒，沿著一條奇怪的軌跡劃過天際有些彗星，一生中只有一次接近太陽，在太陽附近拐個(gè)彎，便匆匆的離開一去不返而有些彗星卻如圖1繞著太陽運(yùn)轉(zhuǎn)英國著名天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家哈雷曾在1705年出版的彗星天文論說一書中，指出1682年出現(xiàn)過的彗星，與1531年及1607年出現(xiàn)的彗星軌道十分相似認(rèn)為應(yīng)是同一顆彗星的三度光臨相臨兩次的間隔，差不多是76年，進(jìn)而預(yù)言，這顆彗星將在1758年底或1759年初再次出現(xiàn)雖然他自己沒有等到那一天，但是彗星確實(shí)如期重返為紀(jì)念他，人們把這顆彗星命名為哈雷彗星請大家觀察這種彗星的軌道是什么圖形?學(xué)生：橢圓教師：今天開始我們要學(xué)習(xí)橢圓的方程和性質(zhì)然后直接給出橢圓的定義案例2 拉線畫橢圓教師在課前請同學(xué)們準(zhǔn)備了細(xì)線，圖釘教師：我們知道把一段沒有彈性的細(xì)線一端固定，另一端套在筆尖上，拉緊細(xì)線能畫出一個(gè)圓若我們把該細(xì)線的兩端用圖釘分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2，用筆尖P拉緊細(xì)線，移動(dòng)筆尖，能畫出什么樣的圖形呢?教師請一位同學(xué)上講臺(tái)演示畫的過程，其余同學(xué)則自己動(dòng)手畫圖畫好后，大家發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)橢圓教師：通過畫圖，類比圓，你能發(fā)現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)有什么共同的性質(zhì)嗎?學(xué)生：到兩定點(diǎn)的距離之和是一個(gè)定值在導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并進(jìn)行簡單的熟悉后，教師又引導(dǎo)學(xué)生回到這個(gè)拉線畫橢圓的問題上教師：請問，當(dāng)筆尖在什么位置時(shí)，最大?為什么?學(xué)生：如圖3建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)筆尖向橢圓與軸交點(diǎn)靠近時(shí)逐漸減小，反之逐漸增大我覺得當(dāng)P落在橢圓與Y軸交點(diǎn)時(shí)最大教師：我們能否通過計(jì)算來驗(yàn)證同學(xué)們的猜想呢?可以通過考察的某個(gè)三角函數(shù)值的變化來考察角的變化學(xué)生：設(shè)橢圓方程為，則m+n=2a, ,在中， m+n=2a , 當(dāng)m=n時(shí)，上式的分母最大，因而余弦值最小因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在區(qū)間0，內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng) m = n 時(shí)，即P落在橢圓與Y軸交點(diǎn)時(shí)，最大案例3 折紙橢圓教師給每位同學(xué)準(zhǔn)備了一張圓形紙片教師：今天，我們先請大家一起玩一個(gè)折紙游戲請大家拿起筆在發(fā)下來的那張圓形紙片除圓心外的任何地方作個(gè)記號(hào)，如點(diǎn)一點(diǎn)A，或刺個(gè)小孔然后開始折紙，要求如圖4，每次將紙片折起一角，使折起部分的圓弧通過點(diǎn)A，將紙抹平，得到一條折痕繼續(xù)這樣折下去，得到若干條折痕最后將紙片展平請大家觀察眾多折痕包圍著怎樣的一個(gè)圖形? 折好后展示學(xué)生的作品，（課堂氣氛非?；钴S）如圖5，大家發(fā)現(xiàn)眾多折痕圍著一塊橢圓形的光滑區(qū)域。（很多同學(xué)發(fā)出了真是神奇的感嘆聲）。教師：折紙的原理是什么呢？如圖6（用幾何畫板演示折紙過程）學(xué)生：定點(diǎn)和圓周上點(diǎn)關(guān)于折痕交點(diǎn)的痕跡。教師：這種點(diǎn)M 有什么共同的特征?學(xué)生：從圖中可知，+=圓的半徑.這三個(gè)案例都是橢圓結(jié)合數(shù)學(xué)文化的好例子案例1在一定程度上能激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生感受到圓錐曲線在天文學(xué)中的地位，但作為橢圓的定義教學(xué)引入僅停留在直觀感知層面，其實(shí)可用學(xué)生更熟悉的例子如橄欖球，油灌車等替代案例1出現(xiàn)在學(xué)習(xí)了橢圓方程和幾何性質(zhì)后會(huì)更合適案例2是非常貼切的例子由類比引發(fā)聯(lián)想，通過動(dòng)手操作確認(rèn)，從幾何中尋找等量關(guān)系，這些都能幫助學(xué)生很好地理解橢圓定義后面的先猜后證導(dǎo)出橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)更是讓這個(gè)例子的作用發(fā)揮得淋漓盡致因?yàn)檫@個(gè)例子，讓橢圓的定義教學(xué)從直觀到抽象，從具體到一般的過程變得自然，生動(dòng)案例3則很好的把數(shù)學(xué)與游戲結(jié)合在一起體現(xiàn)了游戲是數(shù)學(xué)的重要組成部分課堂中的教學(xué)效果也驗(yàn)證了(美)馬丁加德納的那句名言：“喚醒學(xué)生的最好辦法是向他們提供有吸引力的數(shù)學(xué)游戲、魔術(shù)、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認(rèn)為無意義而避開的其他東西”當(dāng)然，案例3還有更豐富的用途2 關(guān)于橢圓的方程案例4 航天器的變軌教師：載人航天飛船、人造地球衛(wèi)星等航天器繞地球飛行時(shí)，軌道是橢圓的，在完成預(yù)定科學(xué)任務(wù)后，需要改變運(yùn)行軌道，沿拋物線下降，返回地面從橢圓軌道飛行變?yōu)檠貟佄锞€軌道飛行，叫做變軌有這么一道高考題與變軌有關(guān)(上海市2006年春季高考)學(xué)校科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案如圖7，航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以Y軸為對(duì)稱軸、M(0，)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D(8，0)觀測點(diǎn)A(4，0)、B(6，0)同時(shí)跟蹤航天器(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；(2)試問：當(dāng)航天器在z軸上方時(shí)，觀測點(diǎn)A、B測得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令?學(xué)生(1)：可設(shè)拋物線方程為，代人點(diǎn)D(8，0)解得a=曲線方程為(2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x，y)，根據(jù)題意可知，消去x得：4y7y一36=0，y=4或y= (不合題意，舍去)y=4x=6或 x= - 6(不合題意，舍去)x=6點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，4)，當(dāng)觀測點(diǎn)A、B測得AC、BC距離分別為、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令3 關(guān)于橢圓的性質(zhì)案例5 哈雷彗星的運(yùn)行軌道是橢圓，其近日點(diǎn)到太陽的距離是8800千米(059天文單位)，遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽的距離是53億千米(3531天文單位)請問，哈雷彗星的軌道的橢圓離心率是多少?由圖l可知：ac=059，a+c=3531解得：a=1795(天文單位)，c=1736(天文單位)e=0967可見哈雷彗星的軌道是很扁的橢圓案例6 折紙橢圓與橢圓的光學(xué)性質(zhì)教師：橢圓有焦點(diǎn)焦點(diǎn)，顧名思義，就是光線聚集點(diǎn)，這說明橢圓與光有緊密的聯(lián)系我們知道當(dāng)一束光線照到鏡面時(shí)，光線會(huì)依一定的規(guī)律反射，即人射角等于反射角當(dāng)光線射到橢圓曲面時(shí)會(huì)有什么現(xiàn)象呢?如圖8，有一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)為了使片門(電影膠片通過的地方)處獲得最強(qiáng)的光線，燈絲與片門正好位于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處你能猜想這種燈泡的工作原理嗎?學(xué)生：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓的反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)教師：橢圓確實(shí)有這樣的光學(xué)性質(zhì)我們可以在折紙橢圓中驗(yàn)證這個(gè)性質(zhì)如圖9，我們知道折痕S丁垂直平分AN，所以=即：直線S丁是橢圓的切線進(jìn)而有=可見，若AM為入射光線，則M0 為反射光線案例7 折紙橢圓與橢圓的第二定義引入實(shí)驗(yàn)證實(shí)：如圖l0，延長NO交圓于E，連接AE，作AE的中垂線，交ST于點(diǎn)G過G作AO的垂線m實(shí)驗(yàn)開始，運(yùn)用計(jì)算機(jī)的度量功能量出線段MO 的長度及點(diǎn)M到直線m的距離d，并動(dòng)態(tài)的演示：隨著軌跡的產(chǎn)生，的值沒有發(fā)生變化即為橢圓的離心率拖動(dòng)點(diǎn)A，看看離心率的值對(duì)橢圓的扁平程度的影響橢圓的兩個(gè)定義可以如此和諧地統(tǒng)一在這樣一個(gè)簡單的折紙圖形中其實(shí)，若把點(diǎn)A拖到圓外，通過這個(gè)折紙問題可以研究雙曲線的相關(guān)性質(zhì)反思(1)注意在課堂中有目的、有計(jì)劃、自然地體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的匯總，更重要的是它包含著十分豐富而深刻的文化內(nèi)涵如果說過去我們只是在隨意地、因人而異地和不知不覺地感悟數(shù)學(xué)文化的話，那么在信息時(shí)代，應(yīng)讓更多的人更深刻地感受到數(shù)學(xué)對(duì)我們的影響，而這種影響和作用不是以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的形式，更多的是以文化的形式出現(xiàn)因此，在課堂教學(xué)時(shí)，要有計(jì)劃、有目的和自然地體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，讓它幫助我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和真正去應(yīng)用數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)發(fā)揮其應(yīng)有的作用(2)注意挖掘材料深層次的文化內(nèi)涵體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的材料內(nèi)容一般有兩個(gè)層次，一個(gè)是最初的、表面的，但同時(shí)也是不可缺少的史料層次這一層次現(xiàn)在已經(jīng)引起了比較普遍的關(guān)注史料中包含現(xiàn)實(shí)生活很接近數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)際背景，數(shù)學(xué)對(duì)象誕生的必然性以及過程等文化內(nèi)涵都是在這一層次中被關(guān)注的對(duì)象而數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展中體現(xiàn)出的人類思維發(fā)展的邏輯性、系統(tǒng)性、完整性和連續(xù)性，以及數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法和思維對(duì)于人類的作用等文化內(nèi)涵是前一層次基礎(chǔ)上的深化事實(shí)上這兩個(gè)層次體現(xiàn)的都是從數(shù)學(xué)的外部因素到內(nèi)部因素對(duì)于學(xué)習(xí)者的吸引之處如果說前一層次可以編成教材的輔助材料進(jìn)入課本，那么后一層次可能就要從教學(xué)中去體現(xiàn)、展示，要有計(jì)劃、有目的、和諧地與數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，決不是簡單地將一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事或一件數(shù)學(xué)發(fā)展中的曲折事例放到某個(gè)教學(xué)內(nèi)容的后面只有在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中或多或少認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)層次