電磁場與電磁波第一章復習.ppt

標量場的梯度：,矢量場的散度：,矢量場的旋度：,高斯散度定理：,斯托克斯定理：,內容復習,散度處處為零的矢量場稱為無散場，旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。,無散場和無旋場,兩個重要公式：,左式表明，任一矢量場 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。,右式表明，任一標量場 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。,1.6 三種常用坐標系,1.6.1 直角坐標系,直角坐標(x, y , z),1.6.2 柱坐標系,圓柱坐標(r, , z),1.6.3 球坐標系,球坐標(r, , ),已知矢量 A 在圓柱坐標系和球坐標系中可分別表示為,式中 a, b, c 均為常數，A 是常矢量嗎？,柱坐標系和球坐標系內算子及梯度、散度、旋度的表達式，請參閱附錄1。,1.6.4 格林定理,設任意兩個標量場 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數，如下圖示。,那么，可以證明該兩個標量場 及 滿足下列等式,根據方向導數與梯度的關系，上式又可寫成,式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標量場 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導數。,上兩式稱為標量第一格林定理。,基于上式還可獲得下列兩式：,上兩式稱為標量第二格林定理。,設任意兩個矢量場 P 與 Q ，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數，那么，可以證明該矢量場 P 及 Q 滿足下列等式,式中S 為包圍V 的閉合曲面，面元 dS 的方向為S 的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理。,基于上式還可獲得下式：,此式稱為矢量第二格林定理。,無論何種格林定理，都是說明區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。,此外，格林定理說明了兩種標量場或矢量場之間應該滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場的分布特性。,格林定理廣泛地用于電磁理論。,1.6.5 矢量場的唯一性定理,位于某一區(qū)域中的矢量場，當其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。,已知散度和旋度代表產生矢量場的源，可見唯一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定的。,若矢量場 F(r) 在無限區(qū)域中處處是單值的， 且其導數連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域 V 中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場 F(r) 可以表示為,1.6.6 亥姆霍茲定理,式中,可見，該定理表明任一矢量場均可表示為一個無旋場與一個無散場之和。矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問題。,習題解答,1.1 解：,1.6 解：,1.8 解：,1.1