統(tǒng)計(jì)估計(jì)綜合論述

授 課 目 錄 第1章 導(dǎo) 論第2章 統(tǒng)計(jì)資料的整理與描述第3章 機(jī)率導(dǎo)論第4章 常用的機(jī)率分佈與統(tǒng)計(jì)分佈第5章 描樣方法與描樣分佈第6章 統(tǒng)計(jì)估計(jì)第7章 統(tǒng)計(jì)檢定第8章 變異數(shù)分析第9章 相關(guān)分析與迴歸模式第10章 無(wú)母數(shù)統(tǒng)計(jì)檢定第11章 類(lèi)別資料分析-列聯(lián)表與卡方檢定第六章 統(tǒng)計(jì)估計(jì)母體樣本分佈、參數(shù)統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)抽取推 論檢定計(jì)算描述當(dāng)獲得母體的樣本資料時(shí)，可由各種機(jī)率分佈當(dāng)中，選擇出最接近該母體的機(jī)率分佈，續(xù)之即估計(jì)該分佈之參數(shù)值，使樣本資料與母體參數(shù)有最佳的推論與檢定能力。然即使隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率分佈及其參數(shù)值已知，仍無(wú)法準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)某特定事件一定或不一定發(fā)生，而只能預(yù)測(cè)此事件發(fā)生之機(jī)率為若干。此不確定性發(fā)生的原因主要是因?yàn)樽匀滑F(xiàn)象有固有的隨機(jī)性(Inherent Randomness)。但不確定性的其他因素則可能包括分佈模式選擇的不適切，或參數(shù)推定不準(zhǔn)確所致。雖然參數(shù)推定值的準(zhǔn)確性可因樣本數(shù)的增加而提高。但固有的變異性確可能因?yàn)闃颖緮?shù)增加而益形顯著。統(tǒng)計(jì)估計(jì)過(guò)程是由母體中抽取出數(shù)樣本，藉機(jī)率原理找出適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)量，再以此樣本統(tǒng)計(jì)量推估母體參數(shù)。統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，一般分為點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)兩種。6.1 點(diǎn)估計(jì)(Point Estimation) 假設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的母體機(jī)率密度函數(shù)f(x|q)，其中q為未知的參數(shù)。為估計(jì)此未知的參數(shù)，則由母體中抽取出數(shù)樣本，得到觀測(cè)值為x1, x2,xn。 利用點(diǎn)估計(jì)方法求出一估計(jì)式(Estimator)，以表示。再將觀測(cè)值為x1, x2,xn代入估計(jì)式中得到一數(shù)值，此數(shù)值稱(chēng)之為參數(shù)q的估計(jì)值(Estimate)。 常用方法：(1) 最大概似法，(2) 動(dòng)差法。母體f(x|q)觀測(cè)值為x1, x2,xn估計(jì)式 參數(shù)q的估計(jì)值6.2.1 最大概似法(Maximum Likelihood Method) 由Fisher (1912)提出。假設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的母體機(jī)率密度函數(shù)f(x|q)，其中q為未知的參數(shù)，為估計(jì)此未知的參數(shù)，則由母體中抽取出數(shù)樣本，得到觀測(cè)值為x1, x2,xn。則概似函數(shù)定義為L(zhǎng)(x1, x2,xn；q) = f(x1,q)f(x2,q)f(xn,q)(6.1) 使概似函數(shù)L(x1, x2,xn；q)值為最大，則能求出估計(jì)式，稱(chēng)此為最大概似估計(jì)式(MLE, Maximum Likelihood Method)範(fàn)例、某公司新推出光碟燒錄機(jī)，其使用壽命服從指數(shù)分佈f(x) = (1/q)e-x/q。為估計(jì)參數(shù)q以了解平均使用壽命，隨機(jī)抽取出11臺(tái)樣本做測(cè)試，測(cè)得其壽命結(jié)果如下：8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52 (百小時(shí))。試以最大概似法估計(jì)q值。SOL：L(x1, x2,xn；q) = f(x1, q)f(x2, q)f(xn, q)ln L(x1, x2,xn；q)= -n ln q -(1/q)ni =1 xid (ln L)/dq = -n / q + (1/q2)ni =1 xi = 0Estimator(估計(jì)式) =ni =1 xi /n= (8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)/11= 267/11母體f(x) =(1/q)e-x/q觀測(cè)值為8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52估計(jì)式=ni =1 xi /n參數(shù)q的估計(jì)值= 267/11範(fàn)例、假設(shè)隨機(jī)變數(shù)XN(m, s2)，從其中隨機(jī)抽取出一組樣本x1, x2,xn，試以最大概似法估計(jì)m, s2值。SOL：L(x1, x2,xn；m, s2) = f(x1, m, s2)f(x2, m, s2)f(xn, m, s2)ln L(x1, x2,xn；m, s2) = ln = -(n/2) ln (2p) - (n/2) ln (s2)- (xi-m)2)/ 2s2範(fàn)例、臺(tái)灣的地理位置處?kù)稏|亞地震帶，地震活動(dòng)較頻繁。假設(shè)臺(tái)灣發(fā)生有感地震的次數(shù)服從卜氏分佈Poi(m)。臺(tái)東氣象站為了要估計(jì)此參數(shù)m，以了解臺(tái)灣有感地震情形，於是觀察過(guò)去一年來(lái)的每月資料，得到臺(tái)灣有感地震資料如下：9, 7, 12, 14, 3, 11, 7, 10, 4, 6, 8, 10。試以最大概似法求m之估計(jì)式，並由樣資料去估計(jì)m值。SOL：L(x1, x2,xn；m) = f(x1, m)f(x2, m)f(xn, m)ln L(x1, x2,xn；m)= -nm +ni =1 xi ln m- ln Pni =1 xi!d (ln L)/dm = -n + (ni =1 xi)/ m = 0Estimator(估計(jì)式) =ni =1 xi /n= (9+7+12+14+3+11+7+10+4+6+8+10)/12= 101/12=8.426.2.2 動(dòng)差法(Moment Method) 由Pearson (1894)提出。假設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的k次動(dòng)差為mk= EXk，則樣本動(dòng)差定義為即為對(duì)k次動(dòng)差mk點(diǎn)估計(jì)。對(duì)母體平均值m、變異數(shù)s2做點(diǎn)估計(jì)一次動(dòng)差( k=1) 二次動(dòng)差(k=2) 對(duì)常態(tài)分配m、s2而言，用動(dòng)差法估計(jì)與用最大概似法估計(jì)的結(jié)果是一樣的。但對(duì)其他分配，其結(jié)果有異。範(fàn)例、假設(shè)隨機(jī)變數(shù)XU(0, q)代表致遠(yuǎn)校門(mén)口學(xué)生等候計(jì)程車(chē)時(shí)間所滿足之分佈，茲從學(xué)生等候計(jì)程車(chē)時(shí)間，隨機(jī)抽取出5樣本：0.5、1、2、3.5、8 (分鐘)，試以動(dòng)差法估計(jì)q值。SOL：均勻分佈以XU(a, b)表示，其期望值與變異數(shù)為：Ex= (a+b)/2Varx = (b-a)2/12XU(0, q) Ex = q/2 m = q/2 q = 2m =(2/n) ni =1 xi = 2= 2(0.5+1+2+3.5+8)/5 = 6 (動(dòng)差法)若用最大概似法估計(jì)U(0, q)，易得q之最大概似法估計(jì)式= max1 i n xi = 0.5、1、2、3.5、8= 86.2 如何評(píng)量點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性同一未知參數(shù)的估計(jì)式有很多種，何者最佳? 統(tǒng)計(jì)學(xué)定義三個(gè)準(zhǔn)則：(1) 不偏 (2) 有效性(3) 最小變異數(shù)。定義：不偏估計(jì)式(Unbiased Estimator)設(shè)未知參數(shù)q的估計(jì)式為，可視為一隨機(jī)變數(shù)。因此，隨機(jī)變數(shù)會(huì)服從某一機(jī)率分佈，當(dāng)此分佈的期望值E正好等於未知參數(shù)時(shí)，即E= q，稱(chēng)為q的不偏估計(jì)式。範(fàn)例、假設(shè)由一個(gè)隨機(jī)變數(shù)XN(m, s2)，從其中隨機(jī)抽取出5個(gè)樣本x1, x2, x3, x4, x5，試下列4個(gè)估計(jì)式，何者是m的不偏估計(jì)式。(1) = x1，(2) = (x1+x5)/2，(3) = (x1+2x5)/2， (4) = (x1+x2+x3+x4+x5)/5SOL：(1) = Ex1= m(2) = E(x1+x5)/2= m(3) = E(x1+2x5)/2= 3m/2(4) = E(x1+x2+x3+x4+x5)/5= m是m的不偏估計(jì)式。範(fàn)例、假設(shè)由一個(gè)隨機(jī)變數(shù)XN(m, s2)，從其中隨機(jī)抽取出n個(gè)樣本，試下列樣本變異數(shù)S2是否是母體變異數(shù)s2之不偏估計(jì)式。SOL：ES2 = Eni =1(xi )2/(n-1)= Eni =1(xi2 n2)/(n-1) =ni =1Exi2- nE/(n-1) = n(m2+ s2)- n(m2+ s2/n)/(n-1) = s2 通常由一個(gè)隨機(jī)變數(shù)XN(m, s2)，從其中隨機(jī)抽取出n個(gè)樣本，下列關(guān)係成立，且為不偏估計(jì)值。 E= m、E= m1-m2、ES2= s2 E= p、E = p1-p2定義：有效性(Efficiency)設(shè)茲有二個(gè)不偏估計(jì)式，即為與。若VarVarVarVar之變異數(shù)最小，故選用來(lái)估計(jì)m最佳。Excel , p.175 p. 1866.3 區(qū)間估計(jì)(Interval Estimation)用點(diǎn)估計(jì)方法找出q的估計(jì)值為時(shí)，通常的樣本估計(jì)值不一定會(huì)準(zhǔn)確的落於q上，而是略大於或小於q，即的樣本估計(jì)值會(huì)落於q附近區(qū)間內(nèi)。將估計(jì)結(jié)果以區(qū)間的形式表示之-區(qū)間估計(jì)，即此區(qū)間包含了真正的參數(shù)q。區(qū)間估計(jì)之程序：母體f(x|q)估計(jì)式 區(qū)間(L, U)區(qū)間(L, U)包含參數(shù)q的機(jī)率1-a以機(jī)率表示：P(L q U) = 1-a其中1-a 為信賴(lài)水準(zhǔn)(Confidence Level)。a 為顯著水準(zhǔn)(Significance Level)。(L, U)為信賴(lài)區(qū)間(Confidence Interval)，即對(duì)參數(shù)q所做估計(jì)的1-a 信賴(lài)水準(zhǔn)的信賴(lài)區(qū)間。L為信賴(lài)區(qū)間下限，U為信賴(lài)區(qū)間上限。以樣本平均值的95%信賴(lài)區(qū)間為例，即在100次抽樣中有95次包含母體平均值，亦就是表示會(huì)有5次沒(méi)有包含母體平均值。a = 5%，P(L q U) = 1-a = 1- 5% = 95%。令信賴(lài)區(qū)間長(zhǎng)度 = L - U，在1- a 信賴(lài)水準(zhǔn)下，區(qū)間長(zhǎng)度(即誤差是也)愈短，表示此區(qū)間估計(jì)的精確度愈高。亦即對(duì)未知的母體參數(shù)q的可能變動(dòng)範(fàn)圍較小，其掌握度較高。6.3.1 常態(tài)分佈母體平均值m之區(qū)間估計(jì)母體N(m,s2)為m之最佳估計(jì)值m的區(qū)間估計(jì)由以為中心往兩邊延伸變異數(shù)s2已知變異數(shù)s2未知6.3.1.(a) 變異數(shù)s2已知假設(shè)為由N(m, s2)中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本的樣本平均值。令Za/2代表標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈下，右邊機(jī)率為a/2所對(duì)應(yīng)的Z值；-Za/2代表標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈下，左邊機(jī)率為a/2所對(duì)應(yīng)的Z值。95%a/2 =0.025a/2 =0.025Za/2-Za/21- a = P(-Za/2 Z Za/2) = P(-Za/2 Za/2) P(-Za/2(s)/(n)1/2 m + Za/2(s)/(n)1/2)母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為：(-Za/2(s)/(n)1/2, + Za/2(s)/(n)1/2)範(fàn)例、致遠(yuǎn)實(shí)習(xí)銀行欲知學(xué)生的平均一般定期存款金額，以便業(yè)務(wù)拓展參考。於是隨機(jī)抽取49位一般定期存款金額學(xué)生，得知此49位學(xué)生一般定期存款金額為3萬(wàn)元。假設(shè)學(xué)生一般定期存款金額為常態(tài)分佈，變異數(shù)已知為0.64萬(wàn)元，試問(wèn)平均一般定期存款金額的90%、95%與99%之信賴(lài)區(qū)間?SOL：母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為(-Za/2(s)/(n)1/2,+ Za/2(s)/(n)1/2)n = 49，= 3，s2= 0.64；90%之信賴(lài)區(qū)間 a/2 = 0.05(-Z0.05(s)/(n)1/2,+ Z0.05(s)/(n)1/2)= (3 1.645(0.8)/(49)1/2)萬(wàn)元95%之信賴(lài)區(qū)間 a/2 = 0.025 (-Z0.025(s)/(n)1/2,+ Z0.025(s)/(n)1/2)= (3 1.96(0.8)/(49)1/2)萬(wàn)元99%之信賴(lài)區(qū)間 a/2 = 0.005(-Z0.005(s)/(n)1/2,+ Z0.005(s)/(n)1/2)= (3 2.5758(0.8)/(49)1/2)萬(wàn)元6.3.1.(b) 變異數(shù)s2未知一般情況下，變異數(shù)s2常是未知的，則上述之信賴(lài)區(qū)間便不可使用，須修正如下：當(dāng)n 夠大(n 30)，S2=ni =1 (xi-)2/(n-1) s2 母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為：(-Za/2(S)/(n)1/2, + Za/2(S)/(n)1/2)當(dāng)n不大(n 30)，= t n-1 母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為：(-ta/2,n-1(S)/(n)1/2, + ta/2,n-1(S)/(n)1/2)萬(wàn)一不是常態(tài)母體，而且樣本數(shù)又小，則須用其他方法，如無(wú)母體統(tǒng)計(jì)之方法。範(fàn)例、致遠(yuǎn)管理學(xué)院欲知學(xué)生每天上網(wǎng)平均時(shí)間，於是隨機(jī)抽取26位學(xué)生，得知此26位學(xué)生平均每天上網(wǎng)時(shí)間80分鐘。樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30分鐘。假設(shè)學(xué)生每天上網(wǎng)平均時(shí)間為常態(tài)分佈，變異數(shù)未知，試問(wèn)該校學(xué)生每天上網(wǎng)平均時(shí)間的90%、95%與99%之信賴(lài)區(qū)間?SOL：母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為(-ta/2,n-1(S)/(n)1/2, + ta/2,n-1(S)/(n)1/2) n = 26，= 80，S= 30；90%之信賴(lài)區(qū)間 a/2 = 0.05(-t0.05,25(S)/(n)1/2,+t0.05,25(S)/(n)1/2)= (80 1.708(30)/(26)1/2)分鐘95%之信賴(lài)區(qū)間 a/2 = 0.025 (-t0.025,25(S)/(n)1/2,+t0.025,25(S)/(n)1/2)= (80 2.06(30)/(26)1/2)分鐘99%之信賴(lài)區(qū)間 a/2 = 0.005(-t0.005,25(S)/(n)1/2,+t0.005,25(S)/(n)1/2)= (80 2.787(30)/(26)1/2)分鐘6.3.2 常態(tài)分佈母體平均值m1-m2之區(qū)間估計(jì)通常是應(yīng)用在不同母體間某性質(zhì)差異之比較，如工管系學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)的差異，對(duì)母體平均值差m1-m2做區(qū)間估計(jì)，其方法與母體平均值m的區(qū)間估計(jì)方法相同。6.3.2.(a) 變異數(shù)s12, s22已知假設(shè)兩樣本平均值與分別來(lái)自兩母體N(m1, s12)、N(m2, s22)，由上節(jié)知-為m1-m2之最佳點(diǎn)估計(jì)式，茲對(duì)此兩母體平均值差m1-m2進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，便是以-為中心往兩邊延伸。1- a = P(-Za/2 Z Za/2)= 母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為：Za/2(s12)/(n1)+(s22)/(n2)1/26.3.2.(b) 變異數(shù)s12, s22未知一般情況下，變異數(shù)s12, s22常是未知的，則上述之信賴(lài)區(qū)間便不可使用，須修正如下：當(dāng)n 夠大，以S12, S22 s12, s22 母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為：Za/2(S12)/(n1)+(S22)/(n2)1/2當(dāng)n不大，而s12= s22= s2，採(cǎi)t分配處理之。其中共變異數(shù)為s2之估計(jì)式。母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為：範(fàn)例、某房地產(chǎn)投資公司現(xiàn)有2種土地投資計(jì)畫(huà)，其5年盈收率平均值為m1, m2。假設(shè)投資第1類(lèi)土地50筆，投資第2類(lèi)土地75筆，其5年平均盈餘為=120，=110(百萬(wàn))。(a) 盈餘的變異數(shù)已知，且s12= s22=30，試問(wèn)m1-m2的90%之信賴(lài)區(qū)間? (b) 盈餘的變異數(shù)未知，但樣本變異數(shù)S12=20， S22=25，試問(wèn)m1-m2的90%之信賴(lài)區(qū)間? (c) 盈餘的變異數(shù)未知，但是s12= s22= s2，且n1=12，n2=10而樣本變異數(shù)S12=20，S22=25，試問(wèn)m1-m2的90%之信賴(lài)區(qū)間?SOL：(a) s12= s22= 30，-=10，m1-m2的90%之信賴(lài)區(qū)間為：(b) S12=20，S22=25，m1-m2的90%之信賴(lài)區(qū)間為：(c) n1-n2-2=20，m1-m2的90%之信賴(lài)區(qū)間為：其中6.3.3 非常態(tài)分佈母體平均值m之區(qū)間估計(jì)上述就常態(tài)母體平均值與平均值差之區(qū)間估計(jì)方法討論之。若隨機(jī)本並非來(lái)自常態(tài)分佈母體時(shí)，當(dāng)樣本數(shù)n夠大，可依中央極限定理，類(lèi)似P(L q U) = 1-a 推導(dǎo)即可。因此對(duì)於非來(lái)自常態(tài)分佈母體平均值m之區(qū)間估計(jì)： (a) 變異數(shù)已知母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為： Za/2(s)/(n)1/2(b) 變異數(shù)未知母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為： Za/2(S)/(n)1/2範(fàn)例、依據(jù)經(jīng)驗(yàn)顯示，吹風(fēng)機(jī)的壽命服從指數(shù)分配。某電氣公司生產(chǎn)部經(jīng)理欲估計(jì)新生產(chǎn)的一批吹風(fēng)機(jī)的平均壽命。茲隨機(jī)抽取50臺(tái)吹風(fēng)機(jī)測(cè)試，得其平均壽命為980小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差260小時(shí)。試問(wèn)此批吹風(fēng)機(jī)的平均壽命的95%信賴(lài)區(qū)間?SOL：母體平均值m的95%信賴(lài)區(qū)間為 Za/2(S)/(n)1/2n = 50，= 980，S = 260； Z0.025(S)/(n)1/2= (980 1.96(260)/(50)1/2)萬(wàn)元6.3.4 常態(tài)母體變異數(shù)s2之區(qū)間估計(jì)自常態(tài)母體N(m, s2)中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，因樣本變異數(shù)S2=ni =1(xi )2/(n-1)為母體變異數(shù)s2的最佳估計(jì)式，又(n-1)S2/s2= c2n-1。另因1-a = P(L q U)=P(c21-a/2,n-1 (n-1)S2/s2 c2a/2,n-1)=P(n-1)S2/c2a/2,n-1 s2 (n-1)S2/c21-a/2,n-1母體變異數(shù)s2的1- a信賴(lài)區(qū)間為：(n-1)S2/c2a/2,n-1 s2 (n-1)S2/c21-a/2,n-1即變異數(shù)s2落於信賴(lài)區(qū)間(n-1)S2/c2a/2,n-1, (n-1)S2/c21-a/2,n-1 之機(jī)率為1- a (注意：卡方分佈並非對(duì)稱(chēng)形狀)範(fàn)例、某食品公司特製提神飲料，強(qiáng)調(diào)是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格品管的飲料，其內(nèi)容量的變異數(shù)對(duì)品質(zhì)控制因素相當(dāng)重要。假設(shè)每瓶提神飲料的內(nèi)容量符合常態(tài)分佈。茲隨機(jī)抽取10個(gè)樣本如下：199、198、201、200、199、198、197、203、201、204(公克)。試問(wèn)每瓶提神飲料的內(nèi)容量的變異數(shù)s2的95%信賴(lài)區(qū)間?SOL：= (199+198+201+200+199+198+197+203+201+204)/10=200S2= ni =1(xi )2/(n-1)= 5.11母體變異數(shù)s2的95%信賴(lài)區(qū)間為 (n-1)S2/c2a/2,n-1, (n-1)S2/c21-a/2,n-1 = 9(5.11)/19.0228, 9(5.11)/2.70039=(2.418, 17.03)6.3.4.(a) 兩常態(tài)母體變異數(shù)比s12/s22之區(qū)間估計(jì)對(duì)兩常態(tài)母體變異數(shù)比s12/s22進(jìn)行估計(jì)，以比較何者較具有穩(wěn)定性。如兩種不同的生產(chǎn)過(guò)程、兩種不同的投資組合、兩地區(qū)的經(jīng)濟(jì)水平等。假設(shè)S12及S22為來(lái)自常態(tài)母體N(m1, s12) 與N(m2, s22)中隨機(jī)抽取出n1與n2個(gè)樣本之樣本變異數(shù)，試下列樣本變異數(shù)S2是否是母體變異數(shù)s2之不偏估計(jì)式。若令F = (S12/s12)/( S22/s22)=另因1-a = P(L q U)母體變異數(shù)比s12/s22的1- a信賴(lài)區(qū)間為：簡(jiǎn)化範(fàn)例、承上題，某食品公司特製提神飲料銷(xiāo)售極佳，因此另推出一條生線，為了要與原有之生產(chǎn)線比較，品管室分別由此兩條生產(chǎn)線隨機(jī)抽取n1=10與n2=11個(gè)樣本，並得S12= 9.2，S22= 8.9。假設(shè)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)之提神飲料的內(nèi)容量符合常態(tài)分佈。試問(wèn)每瓶提神飲料的內(nèi)容量的變異數(shù)比s12/s22的90%信賴(lài)區(qū)間?SOL：兩母體變異數(shù)比s12/s22的90%信賴(lài)區(qū)間為=(9.2/8.9)(1/3.02), (9.2/8.9)(3.14)= (0.34, 3.25)6.3.5.(a) 母體比例p之估計(jì)欲估計(jì)母體中具有某種屬性的比例p，點(diǎn)估計(jì)=x/n為最佳估計(jì)式，其中n為實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，x為成功的之次數(shù)。樣本比例的期望值與變異數(shù)為E= p，V= p(1-p)/n。根據(jù)中央極限定理，當(dāng)n很大時(shí)，樣本比例的抽樣分佈會(huì)近似於常態(tài)分佈，N(p, p(1-p)/n)。另因，1-a = P(L q U) = P(-Za/2 Z Za/2)= P(-Za/2 (-p)/ (1-)/n1/2 Za/2)=P- Za/2(1-)/n1/2 p +Za/2(1-)/n1/2母體比例p的1- a信賴(lài)區(qū)間為： Za/2(1-)/n1/2範(fàn)例、致遠(yuǎn)管理學(xué)院欲知學(xué)生抽煙人口比例，於是隨機(jī)抽取100位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)有19位學(xué)生是抽煙人口，試問(wèn)該校學(xué)生抽煙人口比例的95%之信賴(lài)區(qū)間?SOL：該校學(xué)生抽煙人口比例的95%信賴(lài)區(qū)間為 Za/2(1-)/n1/2=0.191.960.19(0.81)/1001/2= (0.19 0.08) 6.3.5.(b) 兩個(gè)二項(xiàng)分佈母體比例差p1 p2之估計(jì)假設(shè)有兩個(gè)二項(xiàng)分佈母體，其母體比例分別為p1, p2，則其樣本比例最佳估計(jì)式為=x1/n1, =x2/n2，其中n1, n2分別為兩個(gè)母體實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，x1, x2為成功的之次數(shù)。當(dāng)樣本很大時(shí)，樣本比例的抽樣分佈會(huì)近似於常態(tài)分佈，N(p1- p2，p1(1-p1)/n1+ p2(1-p2)/n2)。另因，1-a = P(L q U) = P(-Za/2 Z Za/2)兩母體比例差的1- a信賴(lài)區(qū)間為：() Za/2(1-)/n1+(1-)/n21/2範(fàn)例、致遠(yuǎn)管理學(xué)院欲知學(xué)生暑期出國(guó)旅遊中，男、女人數(shù)比例，於是隨機(jī)抽取暑期出國(guó)旅遊之100位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)男性有25位、女性有10位，試問(wèn)該校學(xué)生暑期出國(guó)旅遊的男、女人數(shù)比例的95%之信賴(lài)區(qū)間?SOL：該校學(xué)生抽煙人口比例的95%信賴(lài)區(qū)間為()Za/2(1-)/n1+(1-)/n21/2= (0.25-0.1) 1.960.25(0.75)/100+0.1(0.9)/1001/2=(0.15 0.103)6.4決定樣本數(shù)在進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，信賴(lài)區(qū)間的長(zhǎng)度(係誤差是也，即2倍誤差)愈短愈好，然信此長(zhǎng)度受因於樣本數(shù)與信賴(lài)水準(zhǔn)1-a 的影響。6.4.(a) 估計(jì)母體平均值時(shí)，如何選取最少樣本數(shù)因母體平均值m的1- a信賴(lài)區(qū)間為：(-Za/2(s)/(n)1/2,+ Za/2(s)/(n)1/2)其區(qū)間的長(zhǎng)度(d)(係誤差是也，即2倍誤差) (+Za/2(s)/(n)1/2-+ Za/2(s)/(n)1/2)=2 Za/2(s)/(n)1/2其樣本數(shù)之決定2 Za/2(s)/(n)1/2 d n 2 Za/2(s)/d2故欲將1-a 信賴(lài)水準(zhǔn)的區(qū)間長(zhǎng)度維持在區(qū)間的長(zhǎng)度 d 之內(nèi)，得先將樣本數(shù)n設(shè)定大於2 Za/2(s)/d2的數(shù)值。實(shí)際運(yùn)用時(shí)，母體變異數(shù)未知，常採(cǎi)樣本全距的1/4來(lái)估計(jì) s ，即s (樣本全距)/4，因經(jīng)驗(yàn)法則，幾乎95%以上的觀察值會(huì)落在母體平均值 m 左右2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的範(fàn)圍內(nèi)。範(fàn)例、工管系欲知*品管試驗(yàn)的平均操作時(shí)間，該任課老師發(fā)現(xiàn)操作時(shí)間最長(zhǎng)為28分鐘、最短為12分鐘。在90%之信賴(lài)水準(zhǔn)下，若希望此試驗(yàn)平均操作時(shí)間在2分鐘以內(nèi)，試問(wèn)須要抽取多少學(xué)生才能合乎要求?SOL：操作時(shí)間最長(zhǎng)與最短相差為(28-12=)16分鐘，即4s 16，故s = 4 n2 Za/2(s)/d2 = 2(1.645)(4)/22 = 43.03故須要44學(xué)生才能合乎要求-若希望此試驗(yàn)平均操作時(shí)間在2分鐘以內(nèi)(即誤差為1分鐘以內(nèi))。6.4.(b) 估計(jì)兩母體平均值差時(shí)，如何選取最少樣本數(shù)同理(n1= n2 = n)2 Za/2(s12)/(n)+ (s22)/(n)1/2 d n 2Za/2(s12)+ (s22)1/2/d2範(fàn)例、工管系欲比較2種*品管試驗(yàn)方法，因此將學(xué)生分成兩組，第1組採(cǎi)用第1種方法、第2組採(cǎi)用第2種方法。試驗(yàn)完成後，實(shí)際操作，並記錄試驗(yàn)時(shí)間。該任課老師發(fā)現(xiàn)此2種方法的操作時(shí)間最長(zhǎng)與最短相差約均為12分鐘。在95%之信賴(lài)水準(zhǔn)下，若希望兩組平均試驗(yàn)時(shí)間差的估計(jì)在3分鐘以內(nèi)(即誤差3分鐘以內(nèi))，試問(wèn)每組須要多少學(xué)生才能合乎要求?SOL：操作時(shí)間最長(zhǎng)與最短相差約均為12分鐘，即4s 12，故s1= s2= s 3n 2Za/2(s12)+ (s22)1/2/d2=2(1.96)(9)+ (9)1/2/32 =30.73故此每組須要31學(xué)生才能合乎要求。6.4.(c) 估計(jì)母體比例p時(shí)，如何選取最少樣本數(shù)同理2 Za/2(1-)/n1/2 d n 2 Za/2(1-)/d1/22當(dāng)=(1-)=0.5時(shí)，(1-)為最大值1/4，因此n 2 Za/2/d2範(fàn)例、工管系欲知學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)課程的接受率p，以作為該課程教學(xué)之參考。若希望統(tǒng)計(jì)學(xué)課程的接受率p，在90%之信賴(lài)水準(zhǔn)下的區(qū)間長(zhǎng)度控在0.2之內(nèi)(即誤差在0.2之內(nèi))，試問(wèn)該系應(yīng)抽取多少樣本才能合乎要求?SOL：最保守估計(jì)：n 2 Za/2/d2 = 2 (1.645)/0.22 = 67.65至少抽取68位學(xué)生樣本才能合乎要求。抽樣誤差通常民調(diào)所涉及者即比率問(wèn)題，如有多少的比率喜歡這個(gè)，有多少的比率喜歡那個(gè)，倘為是喜歡的比率，則1-即不喜歡的比率。依比率的抽樣理論，比率之標(biāo)準(zhǔn)誤(Standard Error)即，(1-)/n1/2其中為為是喜歡的比率，n為樣本數(shù)當(dāng)大樣本時(shí)，此比率的抽樣分佈呈常態(tài)分佈，因此95%的信心水準(zhǔn)即1.96。欲使抽樣誤差在3%，即，1.96*(1-)/n1/2= 0.03，假設(shè)= 0.5，則1.96*0.5(1-0.5)/n1/2= 0.03，則 n = 1067然而，不等於0.5時(shí)，n會(huì)較小些。總之，在95%信心水準(zhǔn)下，欲使比率的抽樣誤差在3%時(shí)，樣本數(shù)至多須1067人。0.10.20.30.40.50.60.70.80.9n385683897102510671025897683385倘使比率的抽樣誤差在1%時(shí)，樣本數(shù)至多須9604人。0.10.20.30.40.50.60.70.80.9n348561478067912096049120806761473485習(xí)題一1. 屏東東港海鮮聞名南臺(tái)灣，每年秋冬之際盛產(chǎn)紅蟳肥美味佳，吸引大批饕客。根據(jù)過(guò)去經(jīng)驗(yàn)，每隻紅蟳重量服從常態(tài)分配，標(biāo)準(zhǔn)差為3兩。為了估計(jì)紅蟳平均重量m，我們從這整櫃紅蟳中抽出了8隻，測(cè)量其重量如下：7,8,12,8,10,9,9,11。試求出此批紅蟳平均重量m的90%信賴(lài)區(qū)間(9.251.74)。2. 衛(wèi)生署藥物研究所調(diào)查坊間暗地流行的快樂(lè)丸，是否產(chǎn)生超活力，於是將10mg快樂(lè)丸藥劑注入50隻小白鼠體內(nèi)然後對(duì)每隻小白鼠做活力測(cè)驗(yàn)。得到樣本平均數(shù)。若活力測(cè)驗(yàn)服從常態(tài)分佈，試求活力測(cè)驗(yàn)平均值m的95%信賴(lài)區(qū)間(15.1 1.275)。3. 海山企業(yè)集團(tuán)的員工反應(yīng)：新成立的分公司的地點(diǎn)不佳，以致於每天必須花費(fèi)許多時(shí)間在塞車(chē)上。為此，公司進(jìn)行調(diào)查員工塞車(chē)的狀況。現(xiàn)在調(diào)查20名員工，發(fā)現(xiàn)員工平均花費(fèi)在塞車(chē)的時(shí)間為36.5分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為11.3分鐘。假設(shè)每位員工每天花費(fèi)在塞車(chē)的時(shí)間服從N(m, s2)，試求每位員工花費(fèi)在塞車(chē)上的平均時(shí)間m之95%信賴(lài)區(qū)間(36.5 5.29)。4. 科學(xué)中偉大的發(fā)現(xiàn)往往是由創(chuàng)造力豐富的年輕人所提出的。下表是16世紀(jì)中葉至20世紀(jì)的12個(gè)重大科學(xué)突破的歷史：科學(xué)發(fā)現(xiàn)科學(xué)家年代年齡太陽(yáng)中心論哥白尼154340天文學(xué)的基本定律伽利略160043運(yùn)動(dòng)定律、微積分、萬(wàn)有引力牛頓166523電的實(shí)質(zhì)富蘭克林174640燃燒即氧化拉瓦席177431進(jìn)化論達(dá)爾文185849光的電磁場(chǎng)麥斯威爾186433留聲機(jī)、電燈愛(ài)迪生187730X放射線居禮夫人189634量子論普朗克190143相對(duì)論愛(ài)因斯坦190526量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薛丁爾192639假設(shè)提出重大科學(xué)突破時(shí)科學(xué)家的年齡服從N(m, s2)分佈，變異數(shù)未知。試求重大科學(xué)突破時(shí)科學(xué)家平均年齡m的95%信賴(lài)區(qū)間(35.92 4.89)。5. 高血壓是近年來(lái)國(guó)人罹患率甚高的疾病。醫(yī)護(hù)人員不斷地找尋有效的方法來(lái)治療高血壓。某醫(yī)學(xué)院教授想瞭解藥物A及藥物B何者對(duì)治療高血壓較為有效?，F(xiàn)在各別選取50名高血壓病人，分別以藥物A及藥物B治療。則血壓下降的程度如下：藥物A：樣本平均值14.31、樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.63，及藥物B：樣本平均值13.28、樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.82。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，以藥物A，B來(lái)治療血壓下降的程度服從均勻分配。試求在這二種藥物的治療之下，血壓下降之平均數(shù)差m1-m2的95%信賴(lài)區(qū)間(1.03 0.677)。6. 神數(shù)電腦公司為測(cè)試二種電腦CPU速度，將8個(gè)以完成的Pascal程式，分別在這兩種電腦上執(zhí)行，CPU所花費(fèi)的時(shí)間如下：程式Computer 1Computer 21322824742360554242554542655497515283036 若兩種電腦CPU所花費(fèi)的時(shí)間分別服從N(m1, s12), N(m2, s22)未知。試求此二種電腦CPU平均時(shí)間差m1-m2的95信賴(lài)區(qū)間(1.875 12.82)。7. 雪山飲料公司專(zhuān)門(mén)製造蘆薈露健康飲料。該公司老闆想要瞭解裝填機(jī)器釋出飲料量的變異程度，以控制