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習(xí) 題 一 1-1在直角坐標(biāo)系下,三個(gè)矢量A、B和C的分量式為 試求:(1)矢量A的單位矢量aA;(2)兩矢量A和B之間的夾角; (3)AB和AB;(4)A(BC)和(AB)C;(5) (AB)C和A(BC)。 解 (1)矢量A的單位矢量為 (2)根據(jù)兩矢量間的標(biāo)量積,有 (3)根據(jù) 有 (4)由已知矢量,有 (5)根據(jù) 有 1-2證明三個(gè)矢量 在同一平面上。 解 三個(gè)矢量在同一平面上,必有 同理也可得到 1-3給定兩矢量和,求在矢量上的投影。 解 由已知矢量,有 由此得到矢量在矢量上的投影為 1-4已知位置矢量和,求兩點(diǎn)間的距離矢量R。 解 根據(jù)距離矢量的定義,有 1-5已知矢量和,求與矢量平行的單位矢量,并計(jì)算此單位矢量與X軸 之間的夾角。 解 令矢量A和矢量B之和為C,有 則與矢量A+B平行的單位矢量為 單位矢量C0與X軸之間的夾角設(shè)為,有 1-6將直角坐標(biāo)系下的位置矢量 轉(zhuǎn)換成柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的位置矢量。 解 根據(jù)位置矢量 首先求出相對(duì)應(yīng)的位置矢量的和r,有 由此得到 1-7在球坐標(biāo)系下矢量場(chǎng)的數(shù)學(xué)描述為 試寫出該矢量場(chǎng)在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式。 解 由題知 利用變換矩陣 得到 由此得到 其中 由此可見,在球坐標(biāo)系下矢量場(chǎng)F具有比較簡(jiǎn)潔的表達(dá)式,而在直角坐 標(biāo)系下,F(xiàn)的表達(dá)式要復(fù)雜的多。 1-8在柱坐標(biāo)系下描述矢量場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 在圓柱=4的一點(diǎn)P(4, , 2)處,求 (a)矢量F垂直于該圓柱的分量; (b)矢量F相切于該圓柱的分量。 解 在圓柱面上任一點(diǎn),垂直于圓柱的分量為F,而切于圓柱的分量 為F和Fz。將點(diǎn)P(4,2)代入矢量場(chǎng)的表達(dá)式,有 可知 由此得到,矢量F垂直于該圓柱的分量為 而矢量F相切于該圓柱的分量為 1-9求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)P(-1,0,1)相對(duì)于距離的最大變化率,并求在 X、Y和Z方向的變化率。 解 數(shù)量場(chǎng)梯度的大小其物理意義就是數(shù)量場(chǎng)物理量相對(duì)于距離的最 大變化率,由于 將點(diǎn)P(-1,0,1)代入,得到 有根據(jù)方向?qū)?shù)的定義,得到在X、Y和Z方向的變化率分別為 1-10求數(shù)量場(chǎng)經(jīng)過點(diǎn)P(1,1,2)的等值面方程。 解 數(shù)量場(chǎng)的等值面方程為 由于等值面過P點(diǎn),則有 所以,過P點(diǎn)的等值面方程為 1-11求矢量場(chǎng)的矢量線方程。 解 由題知 根據(jù)矢量線微分方程 得到 有 , 求解該微分方程,得到矢量線方程為 , 即 , 1-12求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)P(2,0,-1)處沿方向的方向?qū)?shù)。 解 根據(jù) 得到數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)P處的梯度為 在點(diǎn)P處l的單位矢量為 由此可得,在點(diǎn)P處的方向?qū)?shù)為 1-13設(shè),求在點(diǎn)P(1,-2,1)的。 解 根據(jù)直角坐標(biāo)系下的梯度表達(dá)式,有 1-14設(shè),求在P(1,-1,2)的。 解 根據(jù)直角坐標(biāo)系下的散度表達(dá)式,有 1-15設(shè),求,其中r為空間點(diǎn)P(x, y, z)的位置矢量的大小。 解 由題知,矢量場(chǎng)A僅有Ax分量,因此,根據(jù)直角坐標(biāo)系下的旋度 表達(dá)式,有 1-16對(duì)于矢量場(chǎng),計(jì)算以下內(nèi)容驗(yàn)證散度定理:(a)設(shè)立方體以原 點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為2單位,計(jì)算流出立方體的總通量;(b)計(jì)算在該立 方體中的體積分。 題1-16圖 解 (a)矢量場(chǎng)對(duì)立方體表面的面積分為 (b)將矢量場(chǎng)相應(yīng)分量代入散度公式,得到 散度對(duì)立方體的體積分為 由此可見,散度定理成立。 1-17對(duì)于矢量場(chǎng),應(yīng)用,z=0, z=4的圓柱區(qū)域驗(yàn)證散度定理。 解 由題知,矢量場(chǎng)的分量表達(dá)式為 題1-17圖 根據(jù)柱坐標(biāo)系下的散度表達(dá)式,有 散度的體積分為 通量的面積分為 顯然,散度定理成立。 1-18設(shè)區(qū)域內(nèi)的通量密度為,求穿過在XY平面上的圓面的總通量。 題1-18圖 解 根據(jù)通量計(jì)算公式,把通量密度矢量代入,得到 1-19已知矢量場(chǎng),計(jì)算如圖所示(a)三角形路徑的積分和三角形區(qū) 域的,(b)利用圖(b)重新計(jì)算。 解 (a)根據(jù)環(huán)量計(jì)算公式,將矢量場(chǎng)代入,得到 題1-19圖 根據(jù)直角坐標(biāo)系下旋度計(jì)算公式,有 根據(jù)通量計(jì)算公式,將矢量場(chǎng)代入,得到 (b)根據(jù)環(huán)量計(jì)算公式,將矢量場(chǎng)代入,得到 根據(jù)通量計(jì)算公式,將矢量場(chǎng)代入,得到 1-20已知矢量場(chǎng),計(jì)算以下積分并驗(yàn)證斯托克斯定理:(a)沿如圖 所示的半圓路徑的積分和半圓區(qū)域的積分;(b)如圖所示路徑重新計(jì) 算積分和。 題1-20圖 解 (a)由題可知,XY平面對(duì)應(yīng)的應(yīng)取/2,應(yīng)取, r取。而矢量 場(chǎng)在球坐標(biāo)系下的分量為 根據(jù) 得到 則 將=/2(取常數(shù))代入式 有 閉合線積分分三段:第一段積分=0,;第二段積分r=2,;第三段 積分=,。因此有 顯然,斯托克斯定理成立。 (b)由題可知,XY平面對(duì)應(yīng)的應(yīng)取/2,應(yīng)取, r取。同理,有 將=/2(取常數(shù))代入式 有 閉合線積分分四段:第一段積分=0,;第二段積分r=2,;第三段 積分=/2,;第四段積分r=1,。因此有 顯然,斯托克斯定理成立。 1-21求下列矢量場(chǎng)的散度和旋度: (1); (2); (3)。 解 根據(jù)直角坐標(biāo)系下的散度和旋度表達(dá)式,有 (1) (2) (3) 1-22已知,求。 解 根據(jù)矢量公式 將和代入,有 1-23已知,求。 解 根據(jù)矢量公式 將和代入,得到 1-24(1)已知,求和; (2)已知,求; (3),求; (4),求。 解 (1)根據(jù) 將代入,得到 由 得到 (2)由題知, 根據(jù) 有 (3)根據(jù) 將代入,得到 (4)根據(jù) 將代入,得到 1-25兩個(gè)矢量場(chǎng) (1)哪一個(gè)矢量場(chǎng)可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示?哪一個(gè)矢量場(chǎng)可 以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示?(2)求矢量場(chǎng)的源分布。 解 (1)根據(jù)直角坐標(biāo)和駐坐標(biāo)系下的散度和旋度公式,分別計(jì)算 矢量場(chǎng)A和B的散度和旋度,有 顯然,矢量場(chǎng)A是有散無旋場(chǎng),即 屬于第二類場(chǎng),由于梯度的旋度恒為零,所以矢量場(chǎng)A可表為標(biāo)量場(chǎng)u 的
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