電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)曹建章張正階李景鎮(zhèn)編著第一章答案.pdf

習(xí) 題 一 1-1在直角坐標(biāo)系下，三個(gè)矢量A、B和C的分量式為 試求：（1）矢量A的單位矢量aA；（2）兩矢量A和B之間的夾角； （3）AB和AB；（4）A（BC）和（AB）C；（5） （AB）C和A（BC）。 解 （1）矢量A的單位矢量為 （2）根據(jù)兩矢量間的標(biāo)量積，有 （3）根據(jù) 有 （4）由已知矢量，有 （5）根據(jù) 有 1-2證明三個(gè)矢量 在同一平面上。 解 三個(gè)矢量在同一平面上，必有 同理也可得到 1-3給定兩矢量和，求在矢量上的投影。 解 由已知矢量，有 由此得到矢量在矢量上的投影為 1-4已知位置矢量和，求兩點(diǎn)間的距離矢量R。 解 根據(jù)距離矢量的定義，有 1-5已知矢量和，求與矢量平行的單位矢量，并計(jì)算此單位矢量與X軸 之間的夾角。 解 令矢量A和矢量B之和為C，有 則與矢量A+B平行的單位矢量為 單位矢量C0與X軸之間的夾角設(shè)為，有 1-6將直角坐標(biāo)系下的位置矢量 轉(zhuǎn)換成柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的位置矢量。 解 根據(jù)位置矢量 首先求出相對(duì)應(yīng)的位置矢量的和r，有 由此得到 1-7在球坐標(biāo)系下矢量場(chǎng)的數(shù)學(xué)描述為 試寫出該矢量場(chǎng)在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式。 解 由題知 利用變換矩陣 得到 由此得到 其中 由此可見，在球坐標(biāo)系下矢量場(chǎng)F具有比較簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，而在直角坐 標(biāo)系下，F(xiàn)的表達(dá)式要復(fù)雜的多。 1-8在柱坐標(biāo)系下描述矢量場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 在圓柱=4的一點(diǎn)P(4, , 2)處，求 （a）矢量F垂直于該圓柱的分量； （b）矢量F相切于該圓柱的分量。 解 在圓柱面上任一點(diǎn)，垂直于圓柱的分量為F，而切于圓柱的分量 為F和Fz。將點(diǎn)P（4，2）代入矢量場(chǎng)的表達(dá)式，有 可知 由此得到，矢量F垂直于該圓柱的分量為 而矢量F相切于該圓柱的分量為 1-9求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)P（-1，0，1）相對(duì)于距離的最大變化率，并求在 X、Y和Z方向的變化率。 解 數(shù)量場(chǎng)梯度的大小其物理意義就是數(shù)量場(chǎng)物理量相對(duì)于距離的最 大變化率，由于 將點(diǎn)P（-1，0，1）代入，得到 有根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，得到在X、Y和Z方向的變化率分別為 1-10求數(shù)量場(chǎng)經(jīng)過點(diǎn)P（1，1，2）的等值面方程。 解 數(shù)量場(chǎng)的等值面方程為 由于等值面過P點(diǎn)，則有 所以，過P點(diǎn)的等值面方程為 1-11求矢量場(chǎng)的矢量線方程。 解 由題知 根據(jù)矢量線微分方程 得到 有 ， 求解該微分方程，得到矢量線方程為 ， 即 ， 1-12求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)P（2，0，-1）處沿方向的方向?qū)?shù)。 解 根據(jù) 得到數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)P處的梯度為 在點(diǎn)P處l的單位矢量為 由此可得，在點(diǎn)P處的方向?qū)?shù)為 1-13設(shè)，求在點(diǎn)P（1,-2,1）的。 解 根據(jù)直角坐標(biāo)系下的梯度表達(dá)式，有 1-14設(shè)，求在P（1,-1,2）的。 解 根據(jù)直角坐標(biāo)系下的散度表達(dá)式，有 1-15設(shè)，求，其中r為空間點(diǎn)P（x, y, z）的位置矢量的大小。 解 由題知，矢量場(chǎng)A僅有Ax分量，因此，根據(jù)直角坐標(biāo)系下的旋度 表達(dá)式，有 1-16對(duì)于矢量場(chǎng)，計(jì)算以下內(nèi)容驗(yàn)證散度定理：（a）設(shè)立方體以原 點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為2單位，計(jì)算流出立方體的總通量；（b）計(jì)算在該立 方體中的體積分。 題1-16圖 解 （a）矢量場(chǎng)對(duì)立方體表面的面積分為 （b）將矢量場(chǎng)相應(yīng)分量代入散度公式，得到 散度對(duì)立方體的體積分為 由此可見，散度定理成立。 1-17對(duì)于矢量場(chǎng)，應(yīng)用，z=0, z=4的圓柱區(qū)域驗(yàn)證散度定理。 解 由題知，矢量場(chǎng)的分量表達(dá)式為 題1-17圖 根據(jù)柱坐標(biāo)系下的散度表達(dá)式，有 散度的體積分為 通量的面積分為 顯然，散度定理成立。 1-18設(shè)區(qū)域內(nèi)的通量密度為，求穿過在XY平面上的圓面的總通量。 題1-18圖 解 根據(jù)通量計(jì)算公式，把通量密度矢量代入，得到 1-19已知矢量場(chǎng)，計(jì)算如圖所示（a）三角形路徑的積分和三角形區(qū) 域的，（b）利用圖（b）重新計(jì)算。 解 （a）根據(jù)環(huán)量計(jì)算公式，將矢量場(chǎng)代入，得到 題1-19圖 根據(jù)直角坐標(biāo)系下旋度計(jì)算公式，有 根據(jù)通量計(jì)算公式，將矢量場(chǎng)代入，得到 （b）根據(jù)環(huán)量計(jì)算公式，將矢量場(chǎng)代入，得到 根據(jù)通量計(jì)算公式，將矢量場(chǎng)代入，得到 1-20已知矢量場(chǎng)，計(jì)算以下積分并驗(yàn)證斯托克斯定理：（a）沿如圖 所示的半圓路徑的積分和半圓區(qū)域的積分；（b）如圖所示路徑重新計(jì) 算積分和。 題1-20圖 解 （a）由題可知，XY平面對(duì)應(yīng)的應(yīng)取/2，應(yīng)取， r取。而矢量 場(chǎng)在球坐標(biāo)系下的分量為 根據(jù) 得到 則 將=/2（取常數(shù)）代入式 有 閉合線積分分三段：第一段積分=0，；第二段積分r=2，；第三段 積分=，。因此有 顯然，斯托克斯定理成立。 （b）由題可知，XY平面對(duì)應(yīng)的應(yīng)取/2，應(yīng)取， r取。同理，有 將=/2（取常數(shù)）代入式 有 閉合線積分分四段：第一段積分=0，；第二段積分r=2，；第三段 積分=/2，；第四段積分r=1，。因此有 顯然，斯托克斯定理成立。 1-21求下列矢量場(chǎng)的散度和旋度： （1）； （2）； （3）。 解 根據(jù)直角坐標(biāo)系下的散度和旋度表達(dá)式，有 （1） （2） （3） 1-22已知，求。 解 根據(jù)矢量公式 將和代入，有 1-23已知，求。 解 根據(jù)矢量公式 將和代入，得到 1-24（1）已知，求和； （2）已知，求； （3），求； （4），求。 解 （1）根據(jù) 將代入，得到 由 得到 （2）由題知， 根據(jù) 有 （3）根據(jù) 將代入，得到 （4）根據(jù) 將代入，得到 1-25兩個(gè)矢量場(chǎng) （1）哪一個(gè)矢量場(chǎng)可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪一個(gè)矢量場(chǎng)可 以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示？（2）求矢量場(chǎng)的源分布。 解 （1）根據(jù)直角坐標(biāo)和駐坐標(biāo)系下的散度和旋度公式，分別計(jì)算 矢量場(chǎng)A和B的散度和旋度，有 顯然，矢量場(chǎng)A是有散無旋場(chǎng)，即 屬于第二類場(chǎng)，由于梯度的旋度恒為零，所以矢量場(chǎng)A可表為標(biāo)量場(chǎng)u 的