地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).pptVIP

第三章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 地圖投影的概念 地圖投影是地圖學(xué)重要組成部分之一，是構(gòu)成地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在地圖學(xué)中的地位是相當(dāng)重要的。地圖投影研究的對象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法，地圖投影的產(chǎn)生、發(fā)展、直到現(xiàn)在，已有一千多年的歷史，研究的領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛，實(shí)際上它已經(jīng)形成了一門獨(dú)立的學(xué)科。 我們學(xué)習(xí)投影的目的主要是了解和掌握最常用的最基本投影的性質(zhì)和特點(diǎn)以及他們的變形分布規(guī)律，從而能夠正確的辨認(rèn)使用各種常用的投影。,一、地球的形狀和大小 地球作為地圖投影的投影對象，有其獨(dú)特的形狀和大小，地球的形狀是個(gè)球體，地球并不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近似于梨形的橢球體。能替代地球的是一個(gè)近似于旋轉(zhuǎn)的橢圓體，稱為地球橢球體，測繪工作中采用地球橢球體。 地球橢球體的大小，由于推求所用資料、年代和方法不同，許多科學(xué)家所測定地球橢球體的大小也不盡相同，我國1953年以前采用海福特橢球體，從1953年起采用克拉索夫斯基橢球體，它的長半徑（赤道半徑）a=6378245m，短半徑b=6356863m ，偏率 d=a-b/a=1：298.3這是原蘇聯(lián)科學(xué)家克拉索夫斯基1940年測定的。 由于地球橢球體長短半徑差值很小，約21km，在制作小比例尺地圖時(shí)，因?yàn)榭s小的程度很大，若制作1：1000萬地圖，地球橢球體縮小1000萬倍，這時(shí)長短半徑之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地圖時(shí)，可忽略地球扁率，將地球視為圓球體，地球半徑為6371km。制作大比例尺地圖時(shí)必須將地球視為橢球體。,二、地圖表面和地球球面的矛盾 地圖通常是繪在平面介質(zhì)上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時(shí)首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個(gè)不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發(fā)生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經(jīng)線月牙切開，或是沿緯線切開，或是在極點(diǎn)結(jié)合，或是在赤道結(jié)合，他們都是有裂隙的。,三、地圖投影的概念 球面上任一點(diǎn)的位置是用地理坐標(biāo)（、）表示的，而平面上點(diǎn)的位置是用直角坐標(biāo)（縱坐標(biāo)是x,橫坐標(biāo)是y）表示的，所以要將地球球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)移到平面上，必須采用一定的數(shù)學(xué)方法來確定地理坐標(biāo)與平面坐標(biāo)之間的關(guān)系。這種在球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。,投影演示,球面上任意一點(diǎn)的位置決定于它的經(jīng)緯度，所以實(shí)際投影時(shí)是先將一些經(jīng)緯線的交點(diǎn)展繪在平面上，再將相同經(jīng)度的點(diǎn)連成經(jīng)線，相同緯度的點(diǎn)連成緯線，構(gòu)成經(jīng)緯線網(wǎng)。有了經(jīng)緯線網(wǎng)后，就可以將球面上的地理事物，按照其所在的經(jīng)緯度，用一定的符號畫在平面上相應(yīng)位置處。由此看來，地圖投影的實(shí)質(zhì)是將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。經(jīng)緯線網(wǎng)是繪制地圖的“基礎(chǔ)”，是地圖的主要數(shù)學(xué)要素。,四、地圖投影的方法 1.幾何投影（透視投影） 假想地球是一個(gè)透明體，光源位于球心，然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。所不同的是，地圖投影面除了平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除了位于球心之外，還可以在球面、球外，或無窮遠(yuǎn)處等。象這樣利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面這一對矛盾的一種方法。,2.解析法 隨著科學(xué)生產(chǎn)的發(fā)展，幾何透視法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足編制各種類型地圖的需要，這樣推動了地圖投影的發(fā)展，出現(xiàn)了解析法。所謂解析法就是不借助于幾何投影面（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學(xué)分析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)之間一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。 X=f1(、) Y=f2(、) 函數(shù)f1f2的具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對應(yīng)關(guān)系式，就可把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)交點(diǎn)表示到平面上了。,第二節(jié) 地圖投影的變形 一、變形的概念 由于球面是一個(gè)不可直接展成平面的曲面，因此無論采用什么投影方法，得到經(jīng)緯網(wǎng)的形狀不同,它們與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀也是不完全相似的。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形。因而根據(jù)地理坐標(biāo)展繪在地圖上的各種地面事物。也必然發(fā)生了變形，為了正確使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生的變形，所以投影變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。,二、研究變形的方法 研究各種投影的變形規(guī)律是通過把投影后的經(jīng)緯線網(wǎng)與地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格比較而實(shí)現(xiàn)的。地球儀是地球的真實(shí)縮小。通過比較就會發(fā)現(xiàn)兩者是不會相同的。為了研究變形方便首先讓我們分析一下地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點(diǎn)： 1.地球儀上所有經(jīng)線圈都是通過兩極的大圓；長度相等；所有緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓，并且從赤道向兩極越來越小，在極地成為一點(diǎn)。換句話說緯線長度不等，赤道最長，隨著緯度增高，極地為零。 2.經(jīng)線表示南北方向；緯線表示東西方向。 3.經(jīng)線和緯線是相互垂直的。 4.緯差相等的經(jīng)線弧長相等；同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長不等，而從赤道向兩極逐漸縮小。 5.同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等，不同緯度帶內(nèi)，網(wǎng)格面積不等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。,比 較,三、投影變形的相關(guān)概念 1.長度比和長度變形 設(shè)地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds,如圖所示。 平面上微小線段與球面上相應(yīng)微小線段之比，叫做長度比。用公式表示為： =ds/ds 長度比是一個(gè)變量，它不僅隨著點(diǎn)的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長度比是指某點(diǎn)某方向上微小線段之比。,通常研究長度比時(shí)，不一一研究各個(gè)方向的長度比，而只研究一些特定方向的長度比，即研究最大長度比（a）和最小長度比（b）,經(jīng)線長度比（m）和緯線長度比（n）。投影后經(jīng)緯線成直交者，經(jīng)緯線長度比就是最大和最小長度比。投影后經(jīng)緯線不直交，其夾角為,則經(jīng)緯線長度比 m、n和最大、最小長度比a、b之間具有如下關(guān)系：根據(jù)解析幾何中阿波隆尼亞定理 m2+n2=a2+b2 mnsin=ab 用長度比可以說明長度變形。所謂長度變形就是長度比（）與1之差，用v表示長度變形則：v=-1 由此可知，長度變形有正負(fù)之分，長度變形為正，表示投影后長度增加；長度變形為負(fù)表示投影后長度縮短；長度變形為零，則長度無變形。,2.主比例尺和局部比例尺 平常地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運(yùn)用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時(shí)，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。由于投影時(shí)有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點(diǎn)或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。 注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區(qū)別。,3.主方向 由于投影要產(chǎn)生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線段投影后不一定正交，例如設(shè)o是球面上兩條互相垂直的微小線段，過o作兩條垂線ac和 bd，投影后ac和bd。即地球面上角aob和角boc為直角投影后分別為鈍角aob和銳角boc。,a,b,c,d,a,o,o,b,c,d,設(shè)想ac、bd二垂線相對位置保持不便，并繞o點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)90度時(shí)，直角aob轉(zhuǎn)到原來boc的位置，這時(shí)投影由原來的銳角轉(zhuǎn)變成鈍角；同樣的，直角boc轉(zhuǎn)到了cob的位置它的投影由原來的鈍角變?yōu)殇J角。由此可見，一個(gè)直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，可以由銳角變?yōu)殁g角，或者相反。那么在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。,a,b,c,d,a,o,o,b,c,d,在主方向上，具有極大和極小長度比。例如我們講過的高斯-克呂格投影，經(jīng)緯線投影后均保持垂直。所以該投影中，經(jīng)緯線方向就是主方向。經(jīng)緯線投影后為正交，經(jīng)緯線方向均為主方向。但也有一些投影經(jīng)緯網(wǎng)斜交，主方向與經(jīng)緯線方向并不一致。,4.變形橢圓 在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點(diǎn)位置外，一般情況下為橢圓， 下面我們用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下。,設(shè)o為球面上一點(diǎn)，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長度（為1），M(x,y)是圓上一點(diǎn)，圓心曲線方程為 x2+y2=1 o為o的投影，以主方向作為坐標(biāo)軸，M（x,y）是M（x,y）的投影，令主方向長度比為a和b，則: x/x= a, y/y= b 則:x =x/a, y =y/b (x,y)為圓上一點(diǎn)，將其代入圓的方程，得 x2/a2+y2/b2=1,這是一個(gè)橢圓方程，這表明該微小圓投影后為長半徑為a短半徑為b的橢圓，這種橢圓可以用來表示投影的變形，故叫做變形橢圓。,M,M,在研究投影時(shí)，可借助變形橢圓與微小圓比較，來說明變形的性質(zhì)和數(shù)量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比為ba;橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形;橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應(yīng)的兩方向線夾角之差為角度變形。 5.面積比與面積變形 投影平面上的微小面積與球面上相應(yīng)微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF=ab,相應(yīng)球面上微小圓的面積dF=12為例，以P表示面積比，則:,P=dF/dF=ab/12=ab 上式說明面積比等于主方向長度比的乘積。若經(jīng)緯線方向就是主方向時(shí)： P=mn 若經(jīng)緯線方向不是主方向時(shí)，則面積比: P=mnsin(為投影后經(jīng)緯線夾角) 面積比是個(gè)變量，它隨點(diǎn)位置不同而變化。面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。 Vp=p-1 面積變形有正有負(fù)，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負(fù)，表示投影后面積縮小。,6.角度變形 投影面上任意兩方向線所夾角與球面上相應(yīng)兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過一點(diǎn)可以做許多方向線，每兩條方向線均可以組成一個(gè)角度，這些角度投影到平面上之后，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線組成的角度產(chǎn)生的變形一般也不一樣。,7.等變形線 在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點(diǎn)的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等的各點(diǎn)的連線，它是根據(jù)計(jì)算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。,等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點(diǎn)無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。 等變形線通常是用點(diǎn)虛線來表示的。,第三節(jié) 地圖投影的分類 地圖投影的種類很多，由于分類的標(biāo)志不同，分類的方法也不同。 一、按變形性質(zhì)分類 地球球面投影到平面時(shí)，產(chǎn)生的變形有長度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。,1.等角投影（正形投影） 角度變形為0，地球面上的微小圓經(jīng)過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長度和面積變形。等角投影的條件是： w=0 sin(w/2)=(a-b)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一點(diǎn)任何方向的長度比都相等，但在不同地點(diǎn)長度比是不同的。 多用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖等地形圖。,等積投影的條件是： Vp=p p=1 因?yàn)?p=ab 所以a=1/b或b=1/a 由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進(jìn)行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟(jì)地圖。,2.等積投影 投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點(diǎn)微小圓投影后為面積相等的各個(gè)橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長度變形。,3.任意投影 任意投影是既不等角也不等積的投影。這種投影的特點(diǎn)是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。 在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，其條件是m=1。即誤差橢圓上的一個(gè)半徑和球面上相應(yīng)微小圓半徑相等。,等角投影 等積投影 等距投影 任意投影,如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出： 等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。 任意投影不能保持等積、等角特性。 等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。,二、按構(gòu)成方法分類 1.幾何投影 幾何投影是把地球球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的