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第十七章 冪級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù)就是將無窮多個(gè)冪函數(shù)相加。冪級(jí)數(shù)的理論是對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究的重要工具，在數(shù)值計(jì)算、微分方程求解中都有應(yīng)用。,冪級(jí)數(shù)的研究主要包括三個(gè)方面的問題：,(1)冪級(jí)數(shù)的收斂域；,(2)冪級(jí)數(shù)求和；,(3)將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。,本章包括三節(jié)。第一節(jié)介紹冪級(jí)數(shù)的概念和收斂域的求法。第二節(jié)，介紹冪級(jí)數(shù)求和的方法，其實(shí)就是等比級(jí)數(shù)求和。第三節(jié)介紹函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開方法。,17.1 冪級(jí)數(shù)的收斂域,17.2 冪級(jí)數(shù)求和,17.3 將函數(shù)用冪級(jí)數(shù)表示,17.1 冪級(jí)數(shù)的收斂域,17.1.1 冪級(jí)數(shù)概念, 17. 1,給出一個(gè)冪函數(shù)列,其中，an為常數(shù)，n = 0,1,2。,將冪函數(shù)列的所有項(xiàng)都加起來,稱上述冪函數(shù)列的和為冪級(jí)數(shù)。,當(dāng)x取定值x0，冪級(jí)數(shù)成為數(shù)值級(jí)數(shù) 。, 17. 1,例17.1.1給出冪函數(shù)列,將冪函數(shù)列的所有項(xiàng)都加起來，得冪級(jí)數(shù),當(dāng)x取定值 ，冪級(jí)數(shù)成為數(shù)值級(jí)數(shù) 。,17.1.2 冪級(jí)數(shù)的收斂域,若數(shù)值級(jí)數(shù) 收斂，稱冪級(jí)數(shù) 在x0處收斂，,x0稱為冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)。,若數(shù)值級(jí)數(shù) 發(fā)散，稱冪級(jí)數(shù) 在x0處發(fā)散，,x0稱為冪級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。, 17. 1,例17.1.2給出冪級(jí)數(shù),當(dāng)x取定值 ,冪級(jí)數(shù)成為數(shù)值級(jí)數(shù) ,此數(shù)值級(jí)數(shù)收斂。,故冪級(jí)數(shù) 在 處收斂， 是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)。,當(dāng)x取定值2,冪級(jí)數(shù)成為數(shù)值級(jí)數(shù) ,此數(shù)值級(jí)數(shù)發(fā)散。,故冪級(jí)數(shù) 在 處收斂，是冪級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。,冪級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的集合，叫冪級(jí)數(shù)的收斂域；,冪級(jí)數(shù)的所有發(fā)散點(diǎn)的集合，叫冪級(jí)數(shù)的發(fā)散域。, 17. 1,這個(gè)例子中，冪級(jí)數(shù)的收斂域，是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間；發(fā)散域是位于這個(gè)對(duì)稱區(qū)間兩側(cè)的兩個(gè)半無窮區(qū)間。,下面將看到，這是冪級(jí)數(shù)收斂域與發(fā)散域的共同特征。,17.1.3 冪級(jí)數(shù)收斂域的求法, 17. 1,求冪級(jí)數(shù)的收斂域，也就是求冪級(jí)數(shù)所有收斂點(diǎn)的集合。,由任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判斂法，若有極限,則 不等式r | x | 1的解集，為收斂點(diǎn)集。,不等式r | x | 1的解集，為發(fā)散點(diǎn)集。,在使 r | x | = 1的兩點(diǎn)處，比值判斂法失效，一般用交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊不尼茲判別法確定其斂散性。若收斂，就歸到收斂集合中，若發(fā)散就歸到發(fā)散集合中，然后就可回答收斂域和發(fā)散域是什么。,冪級(jí)數(shù)的收斂域，是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一個(gè)區(qū)間，可能包括端點(diǎn)，也可能不包括端點(diǎn)。稱收斂區(qū)間的半徑，為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。,注意，單純從收斂半徑上，看不出收斂域是否包括端點(diǎn)。, 17. 1,解：(1),例17.1.4求冪級(jí)數(shù) 的收斂域和收斂半徑。,所以，當(dāng) ，即-2 x 2級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；,當(dāng) ，即| x | 2級(jí)數(shù)發(fā)散。, 17. 1,(2)在端點(diǎn)x = -2， 級(jí)數(shù)成為 ，是發(fā)散的；,在端點(diǎn)x = 2，級(jí)數(shù)成為 ，是條件收斂的。,解：因?yàn)?例17.1.5求級(jí)數(shù) 的收斂域。,所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-, +)，收斂半徑R = +。, 17. 1,解：(1),例17.1.6,(2) 原級(jí)數(shù)成為1 + 1 + 1 + + 1 + ,是發(fā)散的.,(3) 。,17.1.4 冪級(jí)數(shù)的一般形式, 17. 1,解：令 x-2 = t，則原級(jí)數(shù)變?yōu)?例17.1.7 。, 17. 1,由, ，即| t | 2，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。,，級(jí)數(shù)發(fā)散。,當(dāng) t = 2，級(jí)數(shù)成為 ，發(fā)散；,當(dāng) t = -2，級(jí)數(shù)成為 ，發(fā)散；, 17. 1,即，|x -2 | 2，即 0 x 4，級(jí)數(shù)收斂；,|x -2 | 2，即 x 0 或 x 4，級(jí)數(shù)發(fā)散。,若本題如下求解則更直接：, 級(jí)數(shù)當(dāng)| t | 2，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，| t | 2，級(jí)數(shù)發(fā)散。, 17. 1,所以，當(dāng) 0 x 4，級(jí)數(shù)收斂；,x = 0 時(shí)，級(jí)數(shù)成為 ，發(fā)散；,x = 4 時(shí)，級(jí)數(shù)成為 ，發(fā)散。,當(dāng)|x -2 | 2，級(jí)數(shù)發(fā)散。, 當(dāng) ，即|x -2| 2，級(jí)數(shù)收斂；,當(dāng) ，即|x -2| 2，級(jí)數(shù)發(fā)散。,當(dāng) ，即 x = 0 或 x = 4 時(shí)：,17.2 冪級(jí)數(shù)求和,17.2.1 冪級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù), 17. 2,級(jí)數(shù)求和是很麻煩的，能夠求和的情況很少。我們介紹以下三種情況。,當(dāng)冪級(jí)數(shù)可以表示為等比級(jí)數(shù)，此時(shí)冪級(jí)數(shù)可以直接求和。這個(gè)和是x的函數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，簡稱為冪級(jí)數(shù)的和。,例17.2.1求冪級(jí)數(shù) 的和與收斂域。,解：冪級(jí)數(shù) 為等比級(jí)數(shù),公比q = x,所以冪級(jí)數(shù)的和為,(1),收斂域?yàn)椴坏仁絴 x | 1的解集，即開區(qū)間 (-1,1)。, 17. 2,收斂域?yàn)殚_區(qū)間 (-2,2)。,例17.2.2求冪級(jí)數(shù) 的和與收斂域。,解:冪級(jí)數(shù) 為等比級(jí)數(shù),公比 ,所以冪級(jí)數(shù)的和為,解不等式 ，得 -2 x 2 。, 17. 2,例17.2.3求冪級(jí)數(shù) 的和與收斂域。,解：冪級(jí)數(shù) 為等比級(jí)數(shù), 公比q =3x ,所以冪級(jí)數(shù)的和為,解不等式 | 3x | 1，得 。,收斂域?yàn)殚_區(qū)間 。,17.2.2 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),性質(zhì) 1. 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)(不包括端點(diǎn))，有, 17. 2,冪級(jí)數(shù)是無窮多個(gè)冪函數(shù)的和，是一個(gè)無窮和。對(duì)于函數(shù)的無窮和，“和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和”、“和的積分等于積分的和”這兩條性質(zhì)一般不再成立。但對(duì)于冪級(jí)數(shù)，這兩條性質(zhì)仍然成立。即,即：和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和。,例如,性質(zhì) 2. 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)(不包括端點(diǎn))，有, 17. 2,即：和的積分等于積分的和。,例如,冪級(jí)數(shù)在求導(dǎo)或積分后，收斂區(qū)間的端點(diǎn)處的斂散性可能改變。因此，在使用這兩條性質(zhì)進(jìn)行冪級(jí)數(shù)求和時(shí)，我們約定，不考慮端點(diǎn)處的情況，這樣可以省去很多麻煩。,17.2.3 冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)后為等比級(jí)數(shù), 17. 2,雖然冪級(jí)數(shù)本身不是等比級(jí)數(shù)，但求導(dǎo)后的冪級(jí)數(shù)卻成為等比級(jí)數(shù)，此時(shí)可對(duì)冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)以后再求和，然后將和積分，得到原級(jí)數(shù)的和。,我們用例子來說明這個(gè)過程。,例17.2.4 。,解：設(shè), 17. 2,兩端求導(dǎo)得,即, 17. 2,注意到，S(0) = 0,所以,兩邊從0到x積分,17.2.4 冪級(jí)數(shù)積分后為等比級(jí)數(shù),雖然冪級(jí)數(shù)本身不是等比級(jí)數(shù)，但積分后的冪級(jí)數(shù)卻成為等比級(jí)數(shù)，此時(shí)可對(duì)冪級(jí)數(shù)積分以后再求和，然后將和求導(dǎo)，得到原級(jí)數(shù)的和。, 17. 2,解：設(shè),兩邊從0到x積分,兩邊求導(dǎo),即,例17.2.5 。,17.3 將函數(shù)用冪級(jí)數(shù)表示, 17. 3,怎樣把一個(gè)函數(shù)f (x)表示為冪級(jí)數(shù)。,上節(jié)我們討論怎樣求一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。這一節(jié)我們討論相反的問題：,把函數(shù)f (x)表示為冪級(jí)數(shù)，也稱為將f (x)“展開成”冪級(jí)數(shù)。,在下面的討論中，我們將用表示f (x)的n階導(dǎo)數(shù)，特別，表示f (x)的0階導(dǎo)數(shù)，也就是函數(shù)f (x)本身。為 n階導(dǎo)數(shù)在0處的值。,17.3.1 f (x)泰勒展開式, 17. 3,假設(shè)函數(shù)f (x)能展成冪級(jí)數(shù)，即,= a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + + an xn + ,則 f (0)(0) = f (0) = a0 = 0! a0 (為便于找規(guī)律，把1寫成0! ),由 f (1)(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + + n an xn-1 + ,f (1)(0) = a1 = 1! a1 (為便于找規(guī)律，把1寫成1! ),所以 (2), 17. 3,由 f (2)(x) = 21a2 + 32a3 x + + n (n-1) an xn-2 + ,f (2)(0) = 2! a2,由 f (3)(x) = 321 a3 + + n (n-1) (n-2) an xn-3 + ,f (3)(0) =3! a3,所以 (3),所以 (4),從(1)、(2)、(3)、(4)式中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：,(5),于是我們有,(6),(6)式稱為函數(shù)f (x)在點(diǎn)0處的泰勒展開式。, 17. 3,類似的，可得函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的泰勒展開式為,通常，人們把(7)式叫做f (x)的泰勒展開式，而把(6)式叫做f (x)的麥克勞林展開式。在這里我們就不分那么細(xì)了，都稱為泰勒展開式。,稱冪級(jí)數(shù),(8),為f (x)的泰勒級(jí)數(shù)。,(7), 17. 3,當(dāng)我們計(jì)算了f (x)的各階導(dǎo)數(shù)，就可寫出泰勒級(jí)數(shù)(8)。但我們還不能寫出f (x)的泰勒展開式(7)，因?yàn)檫€有兩個(gè)問題要確定：,一是冪級(jí)數(shù)(8)的收斂域是什么？二是冪級(jí)數(shù)(8)在其收斂域上是否就收斂到f (x)? 只有在冪級(jí)數(shù)(8)收斂到f (x)的區(qū)域上(7)式才成立。,這些問題過于復(fù)雜，我們就不過問了?？梢宰C明，本節(jié)所給出的泰勒展開式都是正確的，你可以放心使用。,17.3.2 f (x) = ex 泰勒展開式, 17. 3,對(duì)f (x) = ex有,所以,于是,17.3.3 f (x) = sinx 泰勒展開式, 17. 3,對(duì)f (x) = sinx有,(見例4.4.7),于是，當(dāng)n是偶數(shù)，n = 2k，,當(dāng)n是奇數(shù)，n = 2k+1, 17. 3,于是,通過計(jì)算f (x)的各階導(dǎo)數(shù)將f (x)展成冪級(jí)數(shù)的方法，通常稱為直接展開法。,我們也可以借用已知的展開式，通過求導(dǎo)與積分，求出待展函數(shù)的展式。這種方法，通常稱為間接展開法。,17.3.4 f (x) = cosx 泰勒展開式, 1