高等數(shù)學(xué)9-2二重積分的計算法.ppt

第二節(jié),一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分,二、利用極坐標(biāo)計算二重積分,二重積分的計算法,故二重積分可寫為,則面積元素為,若f（x，y）在有界閉區(qū)域D上可積，則積分值 與區(qū)域D的分割方式及點 的取法無關(guān)。,一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分,設(shè)曲頂柱體的底可表示為:,X型積分區(qū)域,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,1.X型積分區(qū)域：,則X型區(qū)域的二重積分可按如下累次積分計算,同樣, 曲頂柱體的底可表示為,Y型,2.Y型積分區(qū)域：,則Y型區(qū)域的二重積分可按如下累次積分計算,X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,化二重積分為累次積分的步驟：,1.確定積分區(qū)域是X-型還是Y-型若都不是則分塊,2.確定積分限；,3.分別進行積分。,注意1 若D= (x,y) | axb , cyd 為矩形區(qū)域,注意2 如果 D 既是 x - 型區(qū)域，又是 y - 型區(qū)域，將二重積分化為兩種不同順序的累次積分，結(jié)果相同. 但實計算時，可能影響計算的繁簡，甚至于影響到能否“積出”。因此，化二重積分為累次積分時，應(yīng)注意積分次序的選擇。,主要題型:,1.改變積分順序(給出抽象函數(shù)),2.純計算二重積分(給出具體的函數(shù)和區(qū)域),3.需要考慮積分順序的二重積分的計算 (幾個常見的函數(shù)),5.空間立體體積的計算(有時和定積分結(jié)合起來) 利用二重積分的幾何含義(曲頂柱體的體積),4.被積函數(shù)中帶絕對值,1.改變積分順序(給出抽象函數(shù)),解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,2a,2a,例3 改變積分換序,a,D:,解,0 x 2a,D1,D2,D3,練習(xí):改變積分順序,2.純計算二重積分(給出具體的函數(shù)和區(qū)域),1,1,y = x2,D,2 先對 y 積分（從下到上）,1 畫出區(qū)域 D 圖形,3 先對 x 積分（從左到右）,.,.,.,y = x,.,.,.,例5：計算,例7. 計算,其中D 由,所圍成.,解: 令,(如圖所示),顯然,3.需要考慮積分順序的二重積分的計算 (幾個常見的函數(shù)),解,解,4.被積函數(shù)中帶絕對值,例10,解,先去掉絕對值符號，如圖,5.空間立體體積的計算(有時和定積分結(jié)合起來) 利用二重積分的幾何含義(曲頂柱體的體積),解,曲面圍成的立體如圖.,例13求兩個垂直的底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積,解: 設(shè)兩個直圓柱方程為,利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分,在平面上取定一點O，由O出發(fā)引一 條射線Ox，并取定一個長度單位和計算角度 的正方向（逆時針方向），合稱為一個極坐 標(biāo)系。 這樣，平面上任一點M的位置就可以用OM 的長度 r 和從Ox到OM的角度 來刻劃， 稱為M在這個極坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)，O點稱為極坐 標(biāo)系的極點，Ox稱為極軸。,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征:積分域在極點外,區(qū)域特征如圖,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征:積分域的邊界過極點,極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征:極點在積分域內(nèi),2a,.,.,解,例1,.,此題用直角系算麻煩， 需使用極坐標(biāo)系！,2,1,D,D:,變換到極坐標(biāo)系,.,.,例2,計算,2R,區(qū)域邊界：,x = 0,.,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例3,.,1,2,y =x,D,.,.,.,例4,解,例5,練習(xí),解,例12,解,解,作業(yè),P95 1 (2), (4); 2 (1),