高等數(shù)學高等教育出版社第九章D98極值與最值ok.ppt

,第九章,第八節(jié),一、多元函數(shù)的極值,二、最值應用問題,三、條件極值,多元函數(shù)的極值及其求法,一、 多元函數(shù)的極值,定義: 若函數(shù),則稱函數(shù)在該點取得極大值,例如 :,在點 (0,0) 有極小值;,在點 (0,0) 有極大值;,在點 (0,0) 無極值.,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,的某去心鄰域內(nèi)有,(極小值).,說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 .,注意：,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.,取得極值 ,取得極值,取得極值,可疑極值點：駐點或偏導不存在的點,有駐點( 0, 0 ),但在該點不取極值.,且在該點取得極值 ,則有,存在,故,時, 具有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),令,則: 1) 當,A0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當,3) 當,證明見 第九節(jié)(P122) .,時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),且,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點.,得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導數(shù),在點(3,0) 處,不是極值;,在點(3,2) 處,為極大值.,在點(1,2) 處,不是極值;,例2.討論函數(shù),及,是否取得極值.,解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.,因此,為極小值.,正,負,0,在點(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能為,二、最值應用問題,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f 在閉域上可達到最值,最值可疑點,駐點、偏導不存在的點,邊界上的最值點,特別, 當區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點P 時,為極小值,為最小值,(大),(大),依據(jù),例3. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成,解: 設折起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大.,為,問怎樣折法才能使斷面面,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達到,而在域D 內(nèi)只有,一個駐點,故此點即為所求.,三、條件極值,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,轉化,方法2 拉格朗日乘數(shù)法.,分析：如方法 1 所述,則問題等價于一元函數(shù),可確定隱函數(shù),的極,故極值點必滿足,記,例如,值問題,故有,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).,利用拉格,極值點必滿足,則極值點滿足:,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.,設,解方程組,可得到條件極值的可疑點 .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,例4.,要設計一個容量為,則問題為求x , y ,令,解方程組,解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小.,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？,的長方體開口水箱,試問,得唯一駐點,由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.,因此 , 當高為,思考:,1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對稱性可知,2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時, 欲使造價,應如何設拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等 .,最省,例5.,求旋轉拋物面,與平面,之間的最短距離.,解: 設,為拋物面,上任一點，,則 P,的距離為,問題歸結為,約束條件:,目標函數(shù):,作拉格朗日函數(shù)：,到平面,令,解此方程組得唯一駐點,由實際意義最小值存在 ,故,內(nèi)容小結,1. 函數(shù)的極值問題,第一步 找駐點（注意偏導不存在的點）.,即解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .,2. 函數(shù)的條件極值問題,(1) 簡單問題用代入法,如對二元函數(shù),(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法,設拉格朗日函數(shù),如求二元函數(shù),下的極值,解方程組,第二步 判別,