數(shù)學文化最新用途

走出數(shù)學孤立主義的陰影，數(shù)學的內(nèi)涵十分豐富。但在中國數(shù)學教育界，常常有“數(shù)學=邏輯”的觀念。據(jù)調(diào)查，學生們把數(shù)學看作“一堆絕對真理的總集”，或者是“一種符號的游戲”?！皵?shù)學遵循記憶事實-運用算法-執(zhí)行記憶得來的公式-算出答案”的模式1，“數(shù)學=邏輯”的公式帶來了許多負面影響。正如一位智者所說，一個充滿活力的數(shù)學美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！ 數(shù)學的內(nèi)涵，包括用數(shù)學的觀點觀察現(xiàn)實，構(gòu)造數(shù)學模型，學習數(shù)學的語言、圖表、符號表示，進行數(shù)學交流。通過理性思維，培養(yǎng)嚴謹素質(zhì)，追求創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學之美。 半個多世紀以前，著名數(shù)學家柯朗在名著數(shù)學是什么的序言中這樣寫道：“今天，數(shù)學教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴重的危機。數(shù)學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。數(shù)學研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強調(diào)抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。教師學生和一般受過教育的人都要求有一個建設(shè)性的改造，其目的是要真正理解數(shù)學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎(chǔ)?！?2002年8月20日，丘成桐接受東方時空的采訪時說：“我把史記當作歌劇來欣賞”，“由于我重視歷史，而歷史是宏觀的，所以我在看數(shù)學問題時常常采取宏觀的觀點，和別人的看法不一樣?！?這是一位數(shù)學大家的數(shù)學文化闡述。 文匯報2002年8月21日摘要刊出錢偉長的文章哥丁根學派的追求，其中提到：“這使我明白了：數(shù)學本身很美，然而不要被它迷了路。應(yīng)用數(shù)學的任務(wù)是解決實際問題，不是去完善許多數(shù)學方法，我們是以解決實際問題為己任的。從這一觀點上講，我們應(yīng)該是解決實際問題的優(yōu)秀屠夫，而不是制刀的刀匠，更不是那種一輩子欣賞自己的刀多么鋒利而不去解決實際問題的刀匠。”這是一個力學家的數(shù)學文化觀。 和所有文化現(xiàn)象一樣，數(shù)學文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數(shù)學文化，一方面拒人于千里之外，使人望數(shù)學而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語，令人把數(shù)學家當成“怪人”。學校里的數(shù)學，原本是青少年喜愛的學科，卻成為過濾的“篩子”、打人的“棒子”。優(yōu)秀的數(shù)學文化，會是美麗動人的數(shù)學王后、得心應(yīng)手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數(shù)學文化，數(shù)學教學會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。數(shù)學的新用場1992年國際數(shù)學家聯(lián)合會把2000年為世界數(shù)學年。其目的在于加強數(shù)學與社會的聯(lián)系，使更多人了解數(shù)學的作用。通常人們把數(shù)學分為純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學。純粹數(shù)學研究數(shù)學本身提出的問題，如費馬大定理，哥特巴赫猜想，幾何三大難題等。這些問題與生活無關(guān)，不用于技術(shù)，不能改善人類的生活條件。應(yīng)用數(shù)學卻不同，它直接應(yīng)用于技術(shù)。這種看法在二次世界大戰(zhàn)前具有相當?shù)钠毡樾?。二次世界大?zhàn)后，情況發(fā)生很大變化。英國著名數(shù)學家哈代說，純粹數(shù)學是一門“無害而清白”的職業(yè)，而數(shù)論和相對論則是這種清白學問的范例：”真正的數(shù)學對戰(zhàn)爭毫無影響，至今沒有人能發(fā)現(xiàn)有什么火藥味的東西是數(shù)論或相對論造成的，而且將來好多年也不會有人能夠發(fā)現(xiàn)這類事情?！钡?945年原子彈的蘑菇云使人們，也使哈代本人在生前看到了相對論不可能與戰(zhàn)爭有關(guān)的預(yù)言的可怕破產(chǎn)。他最鐘愛的數(shù)論也已成為能控制成千上萬顆核導(dǎo)彈的密碼系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。90年代的“海灣戰(zhàn)爭”甚至被稱為數(shù)學戰(zhàn)爭了。二次世界大戰(zhàn)后，數(shù)學的面貌呈現(xiàn)四大變化：（1）計算機的介入改變了數(shù)學研究的方法，大大擴展了數(shù)學研究的領(lǐng)域，加強了數(shù)學與社會多方面的聯(lián)系。例如，四色問題的解決，數(shù)學實驗的誕生，生物進化的模擬，股票市場的模擬等。（2）數(shù)學直接介入社會，數(shù)學模型的作用越來越大。（3）離散數(shù)學獲得重大發(fā)展。人們可以在不懂微積分的情況下，對數(shù)學作出重大貢獻。（4）分形幾何與混沌學的誕生是數(shù)學史上的重大事件。現(xiàn)在我們具體談?wù)剶?shù)學在各個領(lǐng)域里的新貢獻。1對化學。大約在1950年，一個名叫HHauptman的數(shù)學家對晶體的結(jié)構(gòu)這個迷產(chǎn)生了興趣。從本世紀初化學家就知道，當X射線穿過晶體時，光線碰到晶體中的原子而發(fā)生散射或衍射。當他們把膠卷置于晶體之后，X射線會使隨原子位置而變動的衍射圖案處的膠卷變黑。化學家的迷惑是，他們不能準確地確定晶體中原子的位置。這是因為X射線也可以看作是波，它們有振幅和相位。這個衍射圖只能探清X射線的振幅，但不能探測相位?；瘜W家們對此困惑了40多年。HHauptman認識到，這件事能形成一個純粹的數(shù)學問題，并有一個優(yōu)美的解。他借助傅氏分析找出了決定相位的辦法，并進一步確定了晶體的幾何。結(jié)晶學家只見過物理現(xiàn)象的影子，HHauptman卻利用100年前的古典數(shù)學從影子來再現(xiàn)實際的現(xiàn)象。前幾年在一次談話中，他回憶說，1950年以前，人們認為他的工作是荒謬的，并把他看成一個大傻瓜。事實上，他一生只上過一門化學課大學一年級的化學。但是，由于他用古典數(shù)學解決了一個難倒現(xiàn)代化學家的迷，而在1985年獲得了諾貝爾化學獎。2生物學。數(shù)學在生物學中的應(yīng)用使生物學從經(jīng)驗科學上升為理論科學，由定性科學轉(zhuǎn)變?yōu)槎靠茖W。它們的結(jié)合與相互促進必將產(chǎn)生許多奇妙的結(jié)果。數(shù)學在生物學中的應(yīng)用可以追溯到11世紀。我國科學家沈括已觀察到出生性別大致相等的規(guī)律，并立出“育胎之理”的數(shù)學模型。1866年奧地利人孟德爾通過植物雜交實驗提出了“遺傳因子”的概念，并發(fā)現(xiàn)了生物遺傳的分離定律和自由組合定律。但這些都是簡單的，個別而不普遍。1899年英人皮爾遜創(chuàng)辦生物統(tǒng)計學是數(shù)學大量進入生物學的序曲。哈代和費希爾在20世紀20年代創(chuàng)立了群體遺傳學，成為生命科學中最活躍的定量分析方法和工具。意大利數(shù)學家沃爾泰拉在第一世界大戰(zhàn)后不久創(chuàng)立了生物動力學。而這幾位都是當時的一流數(shù)學家。數(shù)學對生物學最有影響的分支是生命科學。目前拓撲學和形態(tài)發(fā)生學，紐結(jié)理論和DNA重組機理受到很大重視。美國數(shù)學家瓊斯在紐結(jié)理論方面的工作使他獲得1990年的菲爾茲獎。生物學家很快地把這項成果用到了DNA上，對弄清DNA結(jié)構(gòu)產(chǎn)生重大影響。Science發(fā)表文章“數(shù)學打開了雙螺旋的疑結(jié)”其次是生理學。人們已建立了心臟、腎、胰腺、耳朵等許多器官的計算模型。此外，生命系統(tǒng)在不同層次上呈現(xiàn)出無序與有序的復(fù)雜行為，如何描述它們的運作體制對數(shù)學和生物學都構(gòu)成挑戰(zhàn)。第三是腦科學。目前網(wǎng)絡(luò)學的研究對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極關(guān)重要。為了讓數(shù)學發(fā)揮作用，最重要的是對現(xiàn)有生物學研究方法進行改革。如果生物學仍滿足于從某一實驗中得出一個很局限的結(jié)論，那么生物學就變成生命現(xiàn)象的記錄，失去了理性的光輝，更無法去揭開自然之謎。3體育運動。用現(xiàn)代數(shù)學方法研究體育運動是從本世紀七十年代開始的。1973年，美國的應(yīng)用數(shù)學家JB開勒發(fā)表了賽跑的理論，并用他的理論訓練中長跑運動員，取得了很好的成績。幾乎同時，美國的計算專家艾斯特運用數(shù)學、力學，并藉助計算機研究了當時鐵餅投擲世界冠軍的投擲技術(shù)，從而提出了他自己的研究理論，據(jù)此提出了改正投擲技術(shù)的訓練措施，從而使這位世界冠軍在短期內(nèi)將成績提高了4米，在一次奧運會的比賽中創(chuàng)造了連破三次世界紀錄的輝煌成績。這些例子說明，數(shù)學在體育訓練中也在發(fā)揮著越來越明顯的作用。所用到的數(shù)學內(nèi)容也相當深入。主要的研究方面有：賽跑理論，投擲技術(shù)，臺球的擊球方向，跳高的起跳點，足球場上的射門與守門，比賽程序的安排，博奕論與決策。舉個例子。1982年11月在印度舉行的亞運會上，曾經(jīng)創(chuàng)造男子跳高世界紀錄的我國著名跳高選手朱建華已經(jīng)跳過2米33的高度，穩(wěn)獲冠軍。他開始向2米37的高度進軍。只見他幾個碎步，快速助跑，有力的彈跳，身體騰空而起，他的頭部越過了橫桿，上身越過了橫桿，臀部、大腿、甚至小腿都越過了橫桿。，可惜，腳跟擦到了橫桿，橫桿搖晃了幾下，掉了下來！問題出在哪里？出在起跳點上。那么如何選取起跳點呢？可以建立一個數(shù)學模型。其中涉及到，起跳速度，助跑曲線與橫桿的夾角，身體重心的運動方向與地面的夾角等諸多因素。4數(shù)學與經(jīng)濟學的聯(lián)姻。經(jīng)濟學在社會科學中占有舉足輕重的地位。一方面是它與人的生活密切相關(guān)。它探討的是資源如何在人群中進行有效分配的問題。另一方面，是因為經(jīng)濟學理論的清晰性、嚴密性和完整性使它成為社會科學中最”科學”的學科，而這要歸功于數(shù)學。數(shù)學介入經(jīng)濟學使得經(jīng)濟學發(fā)生了深刻而巨大的變革。目前看來至少推動了幾門新的經(jīng)濟學分支學科的誕生和發(fā)展。其中有數(shù)理經(jīng)濟學，計量經(jīng)濟學等。從1969到1990共有27位經(jīng)濟學家獲得諾貝爾獎。其中有14位是因為提出和應(yīng)用數(shù)學方法于經(jīng)濟分析中才獲此殊榮，其他人也部分地應(yīng)用了數(shù)學，純作文字分析的幾乎沒有。5數(shù)理語言學。在傳統(tǒng)分類中語言學屬人文科學。但由于它的研究對象的特殊性，近年來它越來越向自然科學靠攏。因為它是一個內(nèi)部規(guī)則嚴整的系統(tǒng)，所以應(yīng)用數(shù)學便是自然的了。用數(shù)學方法研究語言現(xiàn)象，給語言以定量化與形式化的描述稱為數(shù)理語言學。它既研究自然語言，也研究人工語言，例如計算機語言。數(shù)理語言學包含三個主要分支：統(tǒng)計語言學；代數(shù)語言學；算法語言學。統(tǒng)計語言學用統(tǒng)計方法處理語言資料，衡量各種語言的相關(guān)程度，比較作者的文體風格，確定不同時期的語言發(fā)展特征，等等。代數(shù)語言學是借助數(shù)學和邏輯方法提出精確的數(shù)學模型，并把語言改造為現(xiàn)代科學的演繹系統(tǒng)，以便適用于計算機處理。算法語言學是借助圖論的方法研究語言的各種層次，挖掘語言的潛在本質(zhì)解決語言學中的難題。6文學作品鑒真。紅樓夢研究是一個很好的例子。1980年6月在美國威斯康星大學召開的首屆國際紅樓夢研討會上，華裔學者陳炳藻宣讀了論文”從詞匯統(tǒng)計論紅樓夢的作者問題”。此后他又發(fā)表了多篇用電腦研究文學的論文。數(shù)學物理中的譜分析與快速傅立葉變換密切相關(guān)。令人吃驚的是，這一方法已被成功地應(yīng)用于文學研究。文學作品的微量元素，即文學的”指紋”，就是文章的句型風格，其判斷的主要方法是頻譜分析。日本有兩位作者多久正和安本美典大量應(yīng)用頻譜分析來研究各種文學作品，最后達到這樣的程度，隨便拿一篇文字來，不講明作者，也可以知道作者是誰，就像法醫(yī)根據(jù)指紋抓犯人一樣，準確無誤。7史學研究。數(shù)學方法的應(yīng)用為歷史研究開辟了許多過去不為人重視，或不曾很好利用的歷史資料的新領(lǐng)域，并且極大地影響著歷史學家運用文獻資料的方法，影響著他們對原始資料的收集和整理，以及分析這些資料的方向，內(nèi)容和著眼點。另外，數(shù)學方法正在影響歷史學家觀察問題的角度和思考問題的方式，從而有可能解決使用習慣的，傳統(tǒng)的歷史研究方法所無法解決的某些難題。數(shù)學方法的應(yīng)用使歷史學趨于嚴謹和精確，而且對研究結(jié)果的檢驗也有重要意義。8對自然界。大家都聽到過蟬鳴，或知了叫。不管有多少蟬或知了，也不管有多少樹，它們的鳴聲總是一致的。這是什么原因呢？誰在指揮它們？自然界最壯觀的景象之一發(fā)生在東南亞。在那里，一大批螢火蟲同步閃光。1935年，在”科學”雜志上發(fā)表了一篇題為”螢火蟲的同步閃光”的論文。在這篇論文中，美國生物學家史密斯對這一現(xiàn)象作了生動的描述：“想象一下，一棵10米至12米高的樹，每一片樹葉上都有一個螢火蟲，所有的螢火蟲大約都以每2秒3次的頻率同步閃光，這棵樹在兩次閃光之間漆黑一片。想象一下，在160米的河岸兩旁是不間斷的芒果樹，每一片樹葉上的螢火蟲，以及樹列兩端之間所有樹上的螢火蟲完全一致同步閃光。那么，如果一個人的想象力足夠生動的話，他會對這一驚人奇觀形成某種概念。”這種閃光為什么會同步？1990年，米洛羅和施特蓋茨借助數(shù)學模型給了一個解釋。在這種模型中，每個螢火蟲都和其他螢火蟲相互作用。建模的主要思想是，把諸多昆蟲模擬成一群彼此靠視覺信號耦合的振蕩器。每個螢火蟲用來產(chǎn)生閃光的化學循環(huán)被表示成一個振蕩器，螢火蟲整體則表示成此種振蕩器的網(wǎng)絡(luò)每個振蕩器以完全相同的方式影響其他振蕩器。這些振蕩器是脈沖式耦合，即，振蕩器僅在產(chǎn)生閃光一瞬間對鄰近振蕩器施加影響。米洛羅和施特蓋茨證明了，不管初始條件如何，所有振蕩器最終都會變得同步。這個證明的基礎(chǔ)是吸附概念。吸附使兩個不同的振蕩器“互鎖”，并保持同相。由于耦合完全對稱