剛體力學(xué)基礎(chǔ)動量矩.ppt

,第5章 剛體力學(xué)基礎(chǔ) 動量矩,5.1 剛體和剛體的基本運(yùn)動 5.2 力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程 5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 5.4 動量矩和動量矩守恒定律,貓下落過程中的翻身問題,一、理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度和角加速度的物理意義，并掌握角量與線量的關(guān)系,二、理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理,三、理解角動量概念，掌握角動量定律，并能處理一般質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動情況下的角動量守恒問題.,5-0 教學(xué)基本要求,能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡單系統(tǒng)的力學(xué)問題,四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律,5.1 剛體和自由度的概念 及其基本運(yùn)動,一、剛體,（質(zhì)點(diǎn)間距離始終保持不變）,在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體 .,二、 剛體的基本運(yùn)動 (平動 轉(zhuǎn)動）,1. 平動,結(jié)論：剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的速度相同，加速度相同。,剛體運(yùn)動時，剛體內(nèi)任意一條直線都始終保持和自身平行 。,2. 轉(zhuǎn)動,剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動，該直線為轉(zhuǎn)軸.,分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動 .,3、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度,(2)角位移,(1) 角坐標(biāo),約定:與轉(zhuǎn)動方向滿足右手螺旋,0；反之0,(3)角速度,剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程,意義:描述繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動快慢和轉(zhuǎn)動方向。,規(guī)定:沿角正方向轉(zhuǎn),0；反之0,(4)角加速度,0,表示角加速度的方向與角坐標(biāo)的正方向一致；0，表示兩者方向相反。,4、 剛體繞定軸的勻速和勻變速轉(zhuǎn)動,剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動公式對比,5. 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度,(1)速度大小,(2)加速度,剛體運(yùn)動隨處可見,觀覽輪盤是一種具有水平轉(zhuǎn)軸、能在鉛垂平面內(nèi)回轉(zhuǎn)的裝置。輪盤和吊箱的運(yùn)動各有什么樣的特點(diǎn)?如何描述?,飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度,例1 一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動 . 試求： （1）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)； （2）制動開始后 t = 6 s 時飛輪的角速度； （3）t = 6 s 時飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度 .,解,（1）,t = 30 s 時，=0,設(shè)t = 0 s時，0=0，飛輪做勻減速運(yùn)動,（2） t = 6 s時，飛輪的角速度,（3） t = 6 s時，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小,該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度,轉(zhuǎn)過的圈數(shù),5.2 力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程,一、力矩,剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn) , 力 作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi), 為由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn) P 的徑矢 .,對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩,改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài),質(zhì)點(diǎn)獲得加速度,改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài),剛體獲得角加速度,力,力矩,: 力臂,對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩,(2)力不在垂直于軸的平面內(nèi),(1)力F 在垂直于軸的平面內(nèi),1. 力 對z 軸的力矩,第一項(xiàng)的方向與Z軸垂直，故在Z軸的分量為零。,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,3） 剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消,根據(jù)牛頓第二定律，第 i 個質(zhì)元,圓周軌跡切線投影,同乘以 ri,對所有質(zhì)元求和,mi,h,ri,-fi,fi,二、定軸轉(zhuǎn)動定律,剛體的轉(zhuǎn)動定律,討論,(2) 轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣性,(1) 與牛頓定律 比較,轉(zhuǎn)動慣量 J,外力矩 M,內(nèi)力矩為0,外力,內(nèi)力,ai=ri,m 反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性，J 則反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。,三、 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算,質(zhì)量連續(xù)分布物體,物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度 .,確定轉(zhuǎn)動慣量的三個要素:,J 的單位（SI）：kgm2,(1) 總質(zhì)量； (2) 質(zhì)量分布； (3) 轉(zhuǎn)軸的位置,質(zhì)量連續(xù)分布物體,例 均質(zhì)細(xì)棒L、M ，繞端點(diǎn)軸z和質(zhì)心軸z 的轉(zhuǎn)動慣量。,z,o,x,dx,x,解,質(zhì)元質(zhì)量,質(zhì)元轉(zhuǎn)動慣量,z,L/2-x,（1）J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān),例 等長的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量,（2）J 與剛體的總質(zhì)量有關(guān),例 圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量,（3） J 與質(zhì)量分布有關(guān),例 求圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算,R,o,m,r,dr,解,dm 轉(zhuǎn)動慣量,平行軸定理,d,C,m,z,例 均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量,m,L,:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量,:剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量,:兩軸間垂直距離,L/ 2,用平行軸定理、迭加法計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量,J = J大 J小,J = J大 + J小,大圓盤上挖去小圓盤,大圓盤上疊加上小圓盤,右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計(jì)算？(棒長為L、圓半徑為R）,(1) 滑輪的角加速度；,(2) 如以重量P = 98 N 的物體掛在繩端，計(jì)算滑輪的角加速度,解 (1),(2),四、 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例,例1.,求,滑輪半徑 r =20 cm ，轉(zhuǎn)動慣量 J = 0.5 kg m2。在繩端施以 F = 98 N 的拉力，不計(jì)摩擦力,例2. 一定滑輪的質(zhì)量為 m ，半徑為 r ，不能伸長的輕繩兩邊分別系 m1 和 m2 的物體掛于滑輪上，繩與滑輪間無相對滑動. （設(shè)輪軸光滑無摩擦，滑輪的初角速度為零）,求：滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律.,解：以m1 ， m2 ， m 為研究對象, 受力分析如圖所示,物體 m1：,物體 m2：,滑輪 m：,均勻細(xì)直棒m 、l ，可繞軸 O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置,求 它由此下擺 角時的 ,O,l,m,x,解,質(zhì)元dm,gdm,轉(zhuǎn)動定律,例3.,dm 重力矩,dx,x,重力對棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩,r,dr,圓盤以 0 在桌面上轉(zhuǎn)動,受摩擦力而靜止,例4.,求 到圓盤靜止所需時間。,解,細(xì)圓環(huán),圓盤摩擦力矩,dm 摩擦力,df 的力矩,轉(zhuǎn)動定律,力矩的累積效果,力矩的時間累積作用,角沖量 的效果,力矩的空間累積作用,功 的效果,角動量守恒定律,機(jī)械能守恒定律,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理,一、 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能,o,第 i 個質(zhì)元的動能,剛體轉(zhuǎn)動動能,轉(zhuǎn)動慣量,說明,剛體平動動能,二、 力矩的功,對一有限過程,o,d,若 M = C,(2) 力矩的功就是力的功.,(3) 內(nèi)力矩作功之和為零.,(1) 合力矩的功,討論,三、定軸轉(zhuǎn)動動能定理,對于一有限過程,討論,外力做功等于定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能增量,(3) 剛體動能的增量，等于外力的功。,(2) 剛體的內(nèi)力做功之和為零；,(1) 質(zhì)點(diǎn)系動能變化取決于所有外力做功及內(nèi)力做功；,剛體重力勢能,定軸轉(zhuǎn)動剛體的機(jī)械能,質(zhì)心的勢能,對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立,四、 剛體的機(jī)械能,剛體的勢能等于質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的重力勢能,解,例1.,滑輪 r 、 M，在繩的一端掛一重物 m ，開始時靜止，不計(jì)摩擦力。,m 的重力勢能轉(zhuǎn)化為滑輪和m 的動能,求 重物下落高度 h 時重物的速度v 。,根據(jù)機(jī)械能守恒定律,均勻細(xì)直棒m 、l ，可繞軸 O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置,求 它由此下擺 角時的 。,O,l,m,解一 機(jī)械能守恒( 以初始位置為0勢能點(diǎn)),例2.,c,h,=,解二 定軸轉(zhuǎn)動動能定理 m 動能的增量等于重力做的功,重力矩,一、動量矩,5.4 動量矩和動量矩守恒定律,1. 質(zhì)點(diǎn)的角動量( 對O點(diǎn) ),大小,質(zhì)點(diǎn)的角動量與質(zhì)點(diǎn)的動量及位矢有關(guān).,特例 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動:,右手螺旋定則.,kgm2/s,方向,單位,動量矩與質(zhì)點(diǎn)動量 對比， Jz m， v,2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩,o,剛體對z 軸的動量矩,第 i 個質(zhì)元對z 軸的動量矩,z,說明,(角動量定理的積分形式),(角動量定理的微分形式),二、 質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理和動量矩守恒定律,質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)的角動量的增量,已知,積分,沖量矩,1. 質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理,2. 質(zhì)點(diǎn)動量矩守恒定律,質(zhì)點(diǎn)角動量守恒,(1) 守恒條件,(2) 向心力的角動量守恒。,討論,(3)自然界普遍適用的一條基本規(guī)律.,沖量矩是質(zhì)點(diǎn)角動量變化的原因.,質(zhì)點(diǎn)角動量的變化是力矩對時間的積累結(jié)果.,說明,例1. 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動. 小球開始時靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的水平面上),然后從 A 點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn) B 時對環(huán)心 O 的角動量和角速度.,解: 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里,由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,考慮到,由題設(shè)條件積分上式,解,引力場（有心力）系統(tǒng)的機(jī)械能守恒質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒,例2. 發(fā)射一宇宙飛船去考察一 質(zhì)量為 M ,半徑為 R 的行星.當(dāng)飛船靜止于空間距行星中心 4 R 時，以速度v 0發(fā)射一質(zhì)量為 m 的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面。求 角及著陸滑行時的速度多大？,二、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理和動量矩守恒定律,1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理,質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)所受力矩,質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn),而,對定軸轉(zhuǎn)動的剛體，Jz 為常量。,動量矩定理微分形式,將微分形式積分,得動量矩定理積分形式:,J 不變時,J 改變時,2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律,對定軸轉(zhuǎn)動剛體,若,角動量L不變的含義:,剛體：J 不變 ，則 不變.,非剛體：因 J 可變，則 J 乘積不變.,變形體繞某軸轉(zhuǎn)動時，若,則變形體對該軸的動量矩,(a) ，M，L，J 必須相對于同一轉(zhuǎn)軸。,(b) ，M，L， J 相對于同一慣性系。轉(zhuǎn)動系統(tǒng)因?yàn)椴皇菓T性系，因此不能作為參考系。,說明,動量矩守恒舉例,花樣滑冰、跳水、芭蕾舞等,質(zhì)量分別為M1、M2,半徑分別為R1 、R2的兩均勻圓柱,可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動,二軸平行.原來它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以10 ，20 的角速度勻速轉(zhuǎn)動,然后平移二軸使它們的邊緣相接觸,如圖所示.,例3,求: 最后在接觸處無相對滑動時,每個圓柱的角速度1、2 .,二圓柱系統(tǒng)角動量守恒：,有以下的解法:在接觸處無相對滑動時,二圓柱邊緣的線速度一樣,故有：,由以上二式就可解出1，2 .,其中,這種解法對嗎?,原解認(rèn)為系統(tǒng)的總角動量為二圓柱各自對自己的軸的角動量之和是錯誤的, 因?yàn)橄到y(tǒng)的總角動量只能對某一個軸進(jìn)行計(jì)算. 另當(dāng)兩柱體邊緣沒有相對滑動時1，2方向相反，所以應(yīng)為,應(yīng)對兩圓柱分別使用角動量定理, 由于兩柱接觸時摩擦力大小相等、方向相反,力矩和沖量矩的大小正比于半徑,方向相同:,解(1)(2)式, 得:,例4. 一均質(zhì)棒，長度為 L，質(zhì)量為M，現(xiàn) 有一子彈在距軸為 y 處水平射入細(xì) 棒 。,求 子彈細(xì)棒共同的角速度 。,解,其中,m,子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的動量矩守恒,一長為 l 的勻質(zhì)細(xì)桿，開始時桿靜止于水平位置。一質(zhì)量與桿相同的昆蟲以速度 v0 垂直落到距中點(diǎn) l /4 處的桿上，昆蟲落下后立即向桿的端點(diǎn)爬行，如圖所示。若要使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動，,O,r,昆蟲落到桿上為完全非彈性碰撞，對于昆蟲和桿構(gòu)成的系統(tǒng)，昆蟲重力忽略，系統(tǒng)動量矩守恒,例5.,解,求 昆蟲沿桿爬行的速度。,v0,昆蟲的爬行，會改變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和受到的外力矩,定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定理, 恒定,定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定理,O,r,昆蟲的爬行，會改變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和外力矩,例6. 一勻質(zhì)細(xì)棒長為l，質(zhì)量為m，可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量為m，它與地面的摩擦因數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求:相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。,分析：這個問題可分為三個過程。 第一：棒自由擺落的過程。 第二：碰撞過程。 第三：碰撞后的過程。,解：（1）棒自由擺落的過程。,只有重力作功，所以機(jī)械能守恒。設(shè)棒在豎直位置的質(zhì)心位置為勢能零點(diǎn)。設(shè)棒運(yùn)動到鉛直位置時的角速度為,(2) 碰撞過程。因碰撞時間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，系統(tǒng)對O軸的角動量守恒。用v表示物體碰撞后的速度， 為棒在碰撞后的角速度，則,(3) 碰撞后的滑行過程。由牛頓第二定律得,由勻減速直線運(yùn)動的公式,由式(1)、(2)與(4)聯(lián)合求解，得,當(dāng)取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為,棒的質(zhì)心C上升的最大高度為h，由機(jī)械能守恒定律得：,把式（5）代入上式，所求結(jié)果為,當(dāng)取正值，則棒向左擺，其條件為,例7.一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為M/4，均勻分布在其邊緣上，繩子的A端有一質(zhì)量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質(zhì)量為M/4的重物，如圖。已知滑輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量J=MR2/4，設(shè)人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求：B端重