全國高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五解析幾何第2講圓錐曲線學(xué)案文.doc

第2講圓錐曲線考情考向分析1.以選擇題、填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長、中點(diǎn)等)熱點(diǎn)一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2ab0)，橢圓上任取點(diǎn)P，取焦點(diǎn)F(c,0)，則PF中點(diǎn)M，根據(jù)條件可得聯(lián)立兩式解得x04，y04c，代入橢圓方程解得a3，b3，由此可得橢圓方程為1.同理，當(dāng)F在y軸上時(shí)，橢圓方程為1.(2)(2018龍巖質(zhì)檢)已知以圓C：(x1)2y24的圓心為焦點(diǎn)的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點(diǎn)，B點(diǎn)是拋物線C2：x28y上任意一點(diǎn)，BM與直線y2垂直，垂足為M，則|BM|AB|的最大值為()A1 B2 C1 D8答案A解析因?yàn)閳AC：(x1)2y24的圓心為C(1,0)，所以可得以C(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線方程為y24x，由解得A(1,2)拋物線C2：x28y的焦點(diǎn)為F(0,2)，準(zhǔn)線方程為y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)(A在B，F(xiàn)之間)三點(diǎn)共線時(shí)，可得最大值1.思維升華(1)準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意當(dāng)焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定跟蹤演練1(1)(2018黑龍江哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)與橢圓C：1共焦點(diǎn)且漸近線方程為yx的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax21 B.y21Cy21 D.x21答案D解析1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，雙曲線的焦點(diǎn)為(0，2)，可得c2，由漸近線方程為yx，得，a，b1，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，故選D.(2)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線方程為()Ay29x By26x Cy23x Dy2x答案C解析如圖分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)G.設(shè)a，則由已知得2a，由拋物線定義，得a，故BCD30，在RtACE中，|AF|3，33a，|AC|2|AE|，33a6，從而得a1，3a3.p，因此拋物線方程為y23x，故選C.熱點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e.(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.2雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為yx.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系例2(1)(2018永州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線MF2與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且|OA|OF2|3|OM|，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析因?yàn)閨OA|OF2|3|OM|，所以F1AF290.設(shè)|AF1|m，|AF2|n，如圖所示，由題意可得RtAF1F2RtOMF2，所以，則mn2a，m2n24c2，n3m，解得m2，n29m26b2，所以6b24c2，即c2，解得e，故選A.(2)(2018全國)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A. B2 C. D2答案D解析由題意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因?yàn)閍0，b0，所以ab，漸近線方程為xy0，所以點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為2.思維升華(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍跟蹤演練2(1)(2018全國)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為()A1 B2 C. D.1答案D解析在RtPF1F2中，PF2F160，設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，且焦距|F1F2|2，則|PF2|1，|PF1|，由橢圓的定義可知，2a1，2c2，得a，c1，所以離心率e1.(2)已知雙曲線C：1(a0，b0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)且與雙曲線C的一條漸近線垂直，以雙曲線C的右焦點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與直線l交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|c，則雙曲線C的漸近線方程為()Ayx ByxCy2x Dy4x答案B解析方法一由題意可設(shè)漸近線方程為yx，則直線l的斜率kl，直線l的方程為y，整理可得axbya20.焦點(diǎn)(c,0)到直線l的距離d，則弦長為22c，整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得0.又雙曲線的離心率e1，則e2，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為yx.方法二圓心到直線l的距離為，c23ac2a20，c2a，ba，漸近線方程為yx.熱點(diǎn)三直線與圓錐曲線判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問題有兩種常用方法(1)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)(2)幾何法：畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)例3(2018衡水金卷調(diào)研)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)(1)若直線AB與橢圓的長軸垂直，|AB|a，求橢圓的離心率；(2)若直線AB的斜率為1，|AB|，求橢圓的短軸與長軸的比值解(1)由題意可知，直線AB的方程為xc，|AB|a，即a24b2，故e.(2)設(shè)F1(c,0)，則直線AB的方程為yxc，聯(lián)立消去y，得(a2b2)x22a2cxa2c2a2b20，4a4c24a2(a2b2)(c2b2)8a2b4.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，a22b2，即橢圓的短軸與長軸之比為.思維升華解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解跟蹤演練3如圖所示，拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)T(1，m)，過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)為N.(1)證明：線段NT平行于x軸(或在x軸上)；(2)若m0且|NF|TF|，求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)(1)證明拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，動(dòng)點(diǎn)T(1，m)在準(zhǔn)線上，則kTF.當(dāng)m0時(shí)，T為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，這時(shí)PQ為拋物線的通徑，點(diǎn)N與焦點(diǎn)F重合，顯然線段NT在x軸上；當(dāng)m0時(shí)，由條件知kPQ，所以直線PQ的方程為y(x1)聯(lián)立消去y，得x2(2m2)x10，(2m2)24m2(4m2)0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可知x1x22m2，y1y2(x1x22)2m.所以弦PQ的中點(diǎn)N，又T(1，m)，所以kNT0，則NT平行于x軸綜上可知，線段NT平行于x軸(或在x軸上)(2)解已知|NF|TF|，在TFN中，tanNTF1，得NTF45，設(shè)A是準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則TFA是等腰直角三角形，所以|TA|AF|2，又動(dòng)點(diǎn)T(1，m)，其中m0，則m2.因?yàn)镹TF45，所以kPQtan 451，又焦點(diǎn)F(1,0)，可得直線PQ的方程為yx1.由m2，得T(1,2)，由(1)知線段NT平行于x軸，設(shè)N(x0，y0)，則y02，代入yx1，得x03，所以N(3,2)綜上可知，m2，N(3,2)真題體驗(yàn)1(2017北京)若雙曲線x21的離心率為，則實(shí)數(shù)m_.答案2解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知，a1，b2m，c，故雙曲線的離心率e，1m3，解得m2.2(2017全國改編)若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為_答案2解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長為2，得圓心到漸近線的距離為.由點(diǎn)到直線的距離公式，得，解得b23a2.所以雙曲線C的離心率e2.3(2017全國改編)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，則M到直線NF的距離為_答案2解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由直線方程的點(diǎn)斜式，可得直線MF的方程為y(x1)聯(lián)立方程組解得或點(diǎn)M在x軸的上方，M(3,2)MNl，N(1,2)|NF|4，|MF|MN|3(1)4.MNF是邊長為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為2.4(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為yx.押題預(yù)測(cè)1已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，且，則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D2押題依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂，其中離心率、漸近線是高考命題的熱點(diǎn)答案A解析由F2(c,0)到漸近線yx的距離為db，即b，則3b.在AF2O中，c，tanF2OA，tanAOB，化簡可得a22b2，即c2a2b2a2，即e，故選A.2已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且點(diǎn)在該橢圓上(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AOB的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程押題依據(jù)橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點(diǎn)，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長、中點(diǎn)等知識(shí)應(yīng)給予充分關(guān)注解(1)由題意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)，所以1，解得a24，所以b23，故橢圓C的方程為1.(2)由(1)知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，顯然0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，所以|y1y2| ，所以SAOB|F1O|y1y2|，化簡得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)又圓O的半徑r，所以r，故圓O的方程為x2y2.A組專題通關(guān)1(2018合肥模擬)已知雙曲線C：1(a0，b0)的上焦點(diǎn)為F，M是雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，過F，M的直線交雙曲線的下支于A點(diǎn)若M為AF的中點(diǎn)，且|6，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1Cy21 D.x21答案C解析設(shè)M為雙曲線虛軸的右端點(diǎn)，由題意，可得F(0，c)，M(b,0)，則A(2b，c)，由題意可得解得a1，b2，所以雙曲線C的方程為y21.2(2018濰坊模擬)設(shè)P為雙曲線1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，c，e分別表示該雙曲線的半焦距和離心率若0，直線PF2交y軸于點(diǎn)A，則AF1P的內(nèi)切圓的半徑為()Aa Bb Cc De答案A解析根據(jù)題意0，可知AF1P是直角三角形，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑公式以及雙曲線的定義可知2r|PF1|PA|AF1|PF1|PA|AF2|PF1|(|AF2|PA|)|PF1|PF2|2a，求得ra，故選A.3(2018天津)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F(c,0)將xc代入1，得1，y.不妨設(shè)A，B.雙曲線的一條漸近線方程為yx，即bxay0，則d1(cb)，d2(cb)，d1d22c2b6，b3.2，c2a2b2，a23，雙曲線的方程為1.故選A.4(2018全國)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2 C. D.答案C解析如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形因?yàn)閨F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.5(2018全國)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90，則k_.答案2解析方法一設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy4(x1x2)，k.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，MM平行于x軸，y1y22，k2.方法二由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.6(2018北京)已知橢圓M：1(ab0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的離心率為_答案12解析方法一雙曲線N的漸近線方程為yx，則tan 60，雙曲線N的離心率e1滿足e14，e12.由得x2.如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，由正六邊形的性質(zhì)得|ED|2xc，4x2c2.a2b2，得3a46a2b2b40，320，解得23.橢圓M的離心率e2滿足e142.e21.方法二雙曲線N的漸近線方程為yx，則tan 60.又c12m，雙曲線N的離心率為2.如圖，連接EC，由題意知，F(xiàn)，C為橢圓M的兩焦點(diǎn)，設(shè)正六邊形的邊長為1，則|FC|2c22，即c21.又E為橢圓M上一點(diǎn)，則|EF|EC|2a，即12a，a.橢圓M的離心率為1.7(2018衡陽模擬)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與圓x2pxy2p20交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|3|CD|，則直線l的斜率為_答案解析由題意得F，由x2pxy2p20，配方得2y2p2，所以直線l過圓心，可得|CD|2p，若直線l的斜率不存在，則l：x，|AB|2p，|CD|2p，不符合題意，直線l的斜率存在可設(shè)直線l的方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立化為x2x0，所以x1x2p，所以|AB|x1x2p2p，由|AB|3|CD|，所以2p6p，可得k2，所以k.8(2018鄭州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且離心率為，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓C上，設(shè)ABC三條邊AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為D，E，M，且三條邊所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不為0.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OD，OE，OM的斜率之和為1，則_.答案解析由題意可得c1，所以a2，b，橢圓C：1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，1，1，兩式作差得，則，kOD，同理可得kOM，kOE，所以.9(2018全國)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題意知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程為xy10.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.10(2018天津)設(shè)橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知橢圓的離心率為，|AB|.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：ykx(kx10，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1，y1)由BPM的面積是BPQ面積的2倍，可得|PM|2|PQ|，從而x2x12x1(x1)，即x25x1.由題意求得直線AB的方程為2x3y6，由方程組消去y，可得x2.由方程組消去y，可得x1 .由x25x1，可得5(3k2)，兩邊平方，整理得18k225k80，解得k或k.當(dāng)k時(shí)，x29a時(shí)，截口曲線為橢圓；與PH夾角a時(shí)，截口曲線為拋物線；與PH夾角a0時(shí)，截口曲線為雙曲線如圖，底面內(nèi)的直線AMAB，過AM的平面截圓錐得到的曲線為橢圓，其中與PB的交點(diǎn)為C，可知AC為長軸那么當(dāng)C在線段PB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，截口曲線的短軸端點(diǎn)的軌跡為()A圓的一部分 B橢圓的一部分C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分答案D解析如圖，因?yàn)閷?duì)于給定的橢圓來說，短軸的端點(diǎn)Q到焦點(diǎn)F的距離等于長半軸a，但短軸的端點(diǎn)Q到直線AM的距離也是a，即說明短軸的端點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離等于到定直線AM的距離，且點(diǎn)F不在定直線AM上，所以由拋物線的定義可知，短軸的端點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，故選D.12雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與C的左支相交于M，N兩點(diǎn)，若MNF2的一個(gè)內(nèi)角為60，則C的離心率為_答案解析畫出圖形如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)由題意得MNF2是等邊三角形，點(diǎn)M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，且|F1M|F1N|2c，MF1N120.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為c2ccos 602c，縱坐標(biāo)為2csin 60c，故點(diǎn)M(2c，c)又點(diǎn)M在雙曲線1(a0，b0)上，1，即1，整理得4c48c2a2a40，4e48e210，解得e2，e，又e1，故e.13已知直線MN過橢圓y21的左焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，直線PQ過原點(diǎn)O與MN平行，且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則_.答案2解析方法