概率與概率分布統(tǒng)計學統(tǒng)計學第三版賈俊平.ppt

31,第 3 章 概率與概率分布,3.1 隨機事件及其概率 3.2 隨機變量及其概率分布 3.3 大數(shù)定律與中心極限定理,32,學習目標,理解隨機事件的概念、了解事件之間的關系 理解概率的三種定義，掌握概率運算的法則 理解隨機變量及其概率分布的概念 掌握二項分布、泊松分布和超幾何分布的背景、均值和方差及其應用 掌握正態(tài)分布的主要特征和應用，了解均勻分布的應用 理解大數(shù)定律和中心極限定理的重要意義,33,3.1 隨機事件及其概率,一、隨機試驗與隨機事件 二、隨機事件的概率 三、概率的運算法則,34,一、隨機試驗與隨機事件,3.1 隨機事件及其概率,35,必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象,必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象） 變化結果是事先可以確定的，一定的條件必然導致某一結果 這種關系通?？梢杂霉交蚨蓙肀硎?隨機現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象） 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象 個別觀察的結果完全是偶然的、隨機會而定 大量觀察的結果會呈現(xiàn)出某種規(guī)律性 （隨機性中寓含著規(guī)律性） 統(tǒng)計規(guī)律性,十五的夜晚能看見月亮？,十五的月亮比初十圓！,36,隨機試驗,嚴格意義上的隨機試驗滿足三個條件： 試驗可以在系統(tǒng)條件下重復進行； 試驗的所有可能結果是明確可知的； 每次試驗前不能肯定哪一個結果會出現(xiàn)。 廣義的隨機試驗是指對隨機現(xiàn)象的觀察（或實驗）。 實際應用中多數(shù)試驗不能同時滿足上述條件，常常從廣義角度來理解。,37,隨機事件（事件）,隨機事件（簡稱事件） 隨機試驗的每一個可能結果 常用大寫英文字母A、B、 、來表示 基本事件（樣本點） 不可能再分成為兩個或更多事件的事件 樣本空間（） 基本事件的全體（全集）,38,隨機事件（續(xù)）,復合事件 由某些基本事件組合而成的事件 樣本空間中的子集 隨機事件的兩種特例 必然事件 在一定條件下，每次試驗都必然發(fā)生的事件 只有樣本空間 才是必然事件 不可能事件 在一定條件下，每次試驗都必然不會發(fā)生的事件 不可能事件是一個空集（）,39,二、隨機事件的概率,3.1 隨機事件及其概率,1. 古典概率 2. 統(tǒng)計概率 3. 主觀概率 4. 概率的基本性質,310,隨機事件的概率,概率 用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值 必然事件的概率為1，表示為P ( )=1 不可能事件發(fā)生的可能性是零，P( )=0 隨機事件A的概率介于0和1之間，0P(A)1 概率的三種定義，給出了確定隨機事件概率的三條途經。,311,概率的古典定義,古典概型（等可能概型） 具有以下兩特點 每次試驗的可能結果有限（即樣本空間中基本事件總數(shù)有限） 每個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同 它是概率論的發(fā)展過程中人們最早研究的對象,312,概率的古典定義,概率的古典定義 前提：古典概型 定義（公式）,計算古典概率常用到排列組合知識,313,【例3-1】,設有50件產品，其中有5件次品，現(xiàn)從這50件中任取2件，求抽到的兩件產品均為合格品的概率是多少？抽到的兩件產品均為次品的概率又是多少？ 解：任一件被抽到的機會均等，而且從50件產品中抽出2件相當于從50個元素中取2個進行組合，共有C502種可能，所以這是一個古典概型。,314,概率的統(tǒng)計定義,當試驗次數(shù) n 很大時，事件A發(fā)生頻率m/n 穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 上下波動，而且這種波動的幅度一般會隨著試驗次數(shù)增加而縮小，則定義 p 為事件A發(fā)生的概率,當n相當大時，可用事件發(fā)生的頻率m/n作為其概率的一個近似值計算概率的統(tǒng)計方法（頻率方法）,315,例（補充）,根據(jù)古典概率定義可算出，拋一枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的概率都是0.5。歷史上有很多人都曾經做過拋硬幣試驗。,316,【例3-2】,某地區(qū)幾年來新生兒性別的統(tǒng)計資料如下表所示，由此可判斷該地區(qū)新生兒為男嬰的概率是多少？,317,3. 主觀概率,有些隨機事件發(fā)生的可能性，既不能通過等可能事件個數(shù)來計算，也不能根據(jù)大量重復試驗的頻率來近似 主觀概率依據(jù)人們的主觀判斷而估計的隨機事件發(fā)生的可能性大小 例如某經理認為新產品暢銷的可能性是80 人們的經驗、專業(yè)知識、對事件發(fā)生的眾多條件或影響因素的分析等等，都是確定主觀概率的依據(jù),318,4. 概率的基本性質,非負性： 對任意事件A，有 0 P(A) 1。 規(guī)范性： 必然事件的概率為1，即： P()=1 不可能事件的概率為0 ，即：P()=0。 可加性： 若A與B互斥，則：P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 對于多個兩兩互斥事件A1，A2，An，則有： P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三條基本性質，也稱為概率的三條公理。,319,(補充）關于概率的公理化定義,概率的以上三種定義，各有其特定的應用范圍，也存在局限性，都缺乏嚴密性。 古典定義要求試驗的基本事件有限且具有等可能性 統(tǒng)計定義要求試驗次數(shù)充分大，但試驗次數(shù)究竟應該取多大、頻率與概率有多么接近都沒有確切說明 主觀概率的確定又具有主觀隨意性 蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定義 通過規(guī)定應具備的基本性質來定義概率 公理化定義為概率論嚴謹?shù)倪壿嬐评泶蛳铝藞詫嵉幕A。,320,三、概率的運算法則,3.1 隨機事件及其概率,1. 加法公式 2. 乘法公式 3. 全概率公式和貝葉斯公式,321,1. 加法公式,用于求P(AB)“A發(fā)生或B發(fā)生”的概率 互斥事件（互不相容事件） 不可能同時發(fā)生的事件 沒有公共樣本點,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),322,【例3-3】,設有50件產品，其中有5件次品，現(xiàn)從這50件中任取2件，若問至少抽到一件次品的概率？ 解：“至少抽到一件次品”這一事件實質上就是“抽取的2件產品中有一件次品”（記為A）與“抽取的兩件產品均為次品”（記為B）這兩個事件的和。由于A與B是兩個互斥事件，故計算 “至少抽到一件次品”的概率采用公式： P(AB) =P(A)+P(B),323,互補事件,互補事件 不可能同時發(fā)生而又必然有一個會發(fā)生的兩個事件 互補事件的概率之和等于1,A,A,例如：擲一個骰子，“出現(xiàn)2點”的概率是1/6，則“不出現(xiàn)2點”的概率就是5/6 。,324,相容事件的加法公式,相容事件 兩個事件有可能同時發(fā)生 沒有公共樣本點 相容事件的加法公式 （廣義加法公式 ）,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的積（交）AB,事件的和（并）,325,【例3-4】,將分別寫有0至9這十個號碼的小球裝入一容器中，反復攪拌之后任意搖出一個小球，觀察其號碼。試求出現(xiàn)“奇數(shù)或大于等于4的數(shù)”的概率。 解：所求事件 奇數(shù)(A)大于等于4的數(shù)(B) 0,1,2,3,9，A1,3,5,7,9，B4,5,6,7,8,9 由于等可能性，P(A)=5/10, P(B) =6/10。P(A)+P(B) 1 ,顯然P(AB) P(A)P(B) 因為A和B存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在P(A)+P(B) 中P(AB) 被重復計算了。 正確計算是： P(AB)5/106/103/108/100.8,326,2. 乘法公式,用于計算兩個事件同時發(fā)生的概率。 也即 “A發(fā)生且B發(fā)生”的概率 P(AB) 先關注事件是否相互獨立,327,（1）條件概率,條件概率在某些附加條件下計算的概率 在已知事件B已經發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率P(A|B) 條件概率的一般公式：,其中 P(B) 0,328,【例3-5】,某公司甲乙兩廠生產同種產品。甲廠生產400件，其中一級品為280件；乙廠生產600件，其中一級品有360件。若要從該廠的全部產品中任意抽取一件，試求：已知抽出產品為一級品的條件下該產品出自甲廠的概率；已知抽出產品出自甲廠的條件下該產品為一級品的概率。 解：設A“甲廠產品”，B“一級品”，則： P(A)0.4， P(B) 0.64，P(AB)0.28 所求概率為事件B發(fā)生條件下A發(fā)生的條件概率 P(A|B)0.28/0.64 所求概率為事件A發(fā)生條件下B發(fā)生的條件概率 P(B|A)0.28/0. 4,329,P(A|B)在B發(fā)生的所有可能結果中AB發(fā)生的概率 即在樣本空間中考慮的條件概率P(A|B)，就變成在新的樣本空間B中計算事件AB的概率問題了,（1）條件概率（續(xù)）,一旦事件B已發(fā)生,330,乘法公式的一般形式：,P(AB) P(A)P(B|A) 或 P(AB) P(B)P(A|B),【例3-6】對例3-1中的問題（從這50件中任取2件產品，可以看成是分兩次抽取，每次只抽取一件，不放回抽樣） 解：A1第一次抽到合格品，A2第二次抽到合格品，A1A2抽到兩件產品均為合格品 P(A1 A2)P(A1)P(A2| A1),331,事件的獨立性,兩個事件獨立 一個事件的發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生的概率 P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B),獨立事件的乘法公式：,P(AB) P(A)P(B),推廣到n 個獨立事件，有：,P(A1An)P(A1)P(A2) P(An),332,3. 全概率公式,完備事件組 事件A1、 A2、An互不相容， AA2An 且P(Ai ) 0（i=1、2、.、n） 對任一事件B，它總是與完備事件組A1、 A2、An之一同時發(fā)生，則有求P(B)的全概率公式：,333,例3-7,假設有一道四選一的選擇題，某學生知道正確答案的可能性為2/3，他不知道正確答案時猜對的概率是1/4。試問該生作出作答的概率？ 解：設 A知道正確答案，B選擇正確。 “選擇正確”包括： “知道正確答案而選擇正確”（即AB） “不知道正確答案但選擇正確”（即 ） P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4,334,全概率公式貝葉斯公式,全概率公式的直觀意義： 每一個Ai的發(fā)生都可能導致B出現(xiàn)，每一個Ai 導致B發(fā)生的概率為，因此作為結果的事件B發(fā)生的概率是各個“原因”Ai 引發(fā)的概率的總和 相反，在觀察到事件B已經發(fā)生的條件下，確定導致B發(fā)生的各個原因Ai的概率 貝葉斯公式（逆概率公式） （后驗概率公式）,335,貝葉斯公式,若A1、 A2、An為完備事件組，則對于任意隨機事件B，有：,計算事件Ai在給定B條件下的條件概率公式。 公式中，P(Ai)稱為事件Ai的先驗概率 P(Ai|B)稱為事件Ai的后驗概率,336,3.2 隨機變量及其概率分布,一、隨機變量的概念 二、隨機變量的概率分布 三、隨機變量的數(shù)字特征 四、常見的離散型概率分布 五、常見的連續(xù)型概率分布,337,一、隨機變量的概念,3.2 隨機變量及其概率分布,338,一、隨機變量的概念,隨機變量表示隨機試驗結果的變量 取值是隨機的，事先不能確定取哪一個值 一個取值對應隨機試驗的一個可能結果 用大寫字母如X、Y、Z.來表示，具體取值則用相應的小寫字母如x、y、z來表示 根據(jù)取值特點的不同，可分為： 離散型隨機變量取值可以一一列舉 連續(xù)型隨機變量取值不能一一列舉,339,二、隨機變量的概率分布,3.2 隨機變量及其概率分布,1. 離散型隨機變量的概率分布 2. 連續(xù)型隨機變量的概率密度 3. 分布函數(shù),340,1. 離散型隨機變量的概率分布,X的概率分布X的有限個可能取值為xi與其概率 pi（i=1，2，3，n）之間的對應關系。 概率分布具有如下兩個基本性質： （1） pi0，i=1,2,n； （2）,341,離散型概率分布的表示：,概率函數(shù)：P(X= xi)= pi 分布列： 分布圖,342,2. 連續(xù)型隨機變量的概率密度,連續(xù)型隨機變量的概率分布只能表示為： 數(shù)學函數(shù)概率密度函數(shù)f (x)和分布函數(shù)F (x) 圖 形概率密度曲線和分布函數(shù)曲線 概率密度函數(shù)f (x)的函數(shù)值不是概率。 連續(xù)型隨機變量取某個特定值的概率等于0 只能計算隨機變量落在一定區(qū)間內的概率 由x軸以上、概率密度曲線下方面積來表示,343,概率密度f (x) 的性質,（1） f (x)0。概率密度是非負函數(shù)。 （2）,所有區(qū)域上取值的概率總和為1。,隨機變量X在一定區(qū)間（a，b）上的概率：,344,3. 分布函數(shù),適用于兩類隨機變量概率分布的描述 分布函數(shù)的定義： F(x)PXx,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù),離散型隨機變量的分布函數(shù) F(x),分布函數(shù)與概率密度,345,三、隨機變量的數(shù)字特征,3.2 隨機變量及其概率分布,1. 隨機變量的數(shù)學期望 2. 隨機變量的方差和標準差 3. 兩個隨機變量的協(xié)方差和相關系數(shù),346,1. 隨機變量的數(shù)學期望,又稱均值 描述一個隨機變量的概率分布的中心位置 離散型隨機變量 X的數(shù)學期望： 相當于所有可能取值以概率為權數(shù)的平均值 連續(xù)型隨機變量X 的數(shù)學期望：,347,數(shù)學期望的主要數(shù)學性質,若k是一常數(shù)，則 E (k X) k E(X) 對于任意兩個隨機變量X、Y，有 E(X+Y)E(X)E(Y) 若兩個隨機變量X、Y相互獨立，則 E(XY)E(X) E(Y),348,2. 隨機變量的方差,方差是它的各個可能取值偏離其均值的離差平方的均值，記為D(x)或2 公式： 離散型隨機變量的方差： 連續(xù)型隨機變量的方差：,349,方差和標準差（續(xù)）,標準差方差的平方根 方差和標準差都反映隨機變量取值的分散程度。 它們的值越大，說明離散程度越大，其概率分布曲線越扁平。 方差的主要數(shù)學性質： 若k是一常數(shù)，則 D(k)0；D(kX)k2 D(X) 若兩個隨機變量X、Y相互獨立，則 D(X+Y)D(X)D(Y),350,【例3-10】,試求優(yōu)質品件數(shù)的數(shù)學期望、方差和標準差。 解：, 0.6,351,3.兩個隨機變量的協(xié)方差和相關系數(shù),協(xié)方差的定義,如果X,Y獨立（不相關），則 Cov(X,Y)0 即 E(XY)E(X) E(Y) 協(xié)方差在一定程度上反映了X、Y之間的相關性 協(xié)方差受兩個變量本身量綱的影響。,352,相關系數(shù),相關系數(shù)具有如下的性質： 相關系數(shù)是一個無量綱的值 0| | 0 當=0，兩個變量不相關（不存在線性相關） 當 | |=1，兩個變量完全線性相關,353,四、常見離散型隨機變量的概率分布,3.2 隨機變量及其概率分布,1. 二項分布 2. 泊松分布 3. 超幾何分布,354,1. 二項分布（背景）,（背景）n重貝努里試驗： 一次試驗只有兩種可能結果 用“成功”代表所關心的結果，相反的結果為“失敗” 每次試驗中“成功”的概率都是 p n 次試驗相互獨立。,355,1. 二項分布,在n重貝努里試驗中，“成功”的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項分布，記為 X B(n , p) 二項分布的概率函數(shù)：,二項分布的數(shù)學期望和方差：,n1時，二項分布就成了二點分布（0-1分布）,356,二項分布圖形,p0.5時，二項分布是以均值為中心對稱 p0.5時，二項分布總是非對稱的 p0.5時峰值在中心的右側 隨著n無限增大，二項分布趨近于正態(tài)分布,p=0.3,p=0.5,p=0.7,二項分布圖示,357,【例3-11】,某單位有4輛汽車，假設每輛車在一年中至多只發(fā)生一次損失且損失的概率為0.1。試求在一年內該單位：（1）沒有汽車發(fā)生損失的概率；（2）有1輛汽車發(fā)生損失的概率；（3）發(fā)生損失的汽車不超過2輛的概率。 解：每輛汽車是否發(fā)生損失相互獨立的，且損失的概率相同，因此，據(jù)題意，在4輛汽車中發(fā)生損失的汽車數(shù)X B(4,0.1)。,358,利用Excel計算二項分布概率,進入Excel表格界面，點擊任一空白單元格（作為輸出單元格） 點擊表格界面上的 fx 命令 在 “選擇類別”中點擊“統(tǒng)計”，在“選擇函數(shù)”中點擊“BINOMDIST” 在Number_s后填入試驗成功次數(shù) x (本例為2)； 在Trials后填入總試驗次數(shù) n (本例為4) ； 在Probability_s后填入成功概率 p (本例為0.1)； 在Cumulative后填入0 (或FALSE)，表示計算成功次數(shù)等于指定值的概率,“BINOMDIST（2，4，0.1，0）”,用EXCEL計算二項分布的概率,359,2. 泊松分布,X 服從泊松分布，記為XP(）:,E(X)=D(X)= 當 很小時，泊松分布呈偏態(tài)，并隨著增大而趨于對稱 當為整數(shù)時， 和（-1）是最可能值,360,泊松分布（應用背景）,通常是作為稀有事件發(fā)生次數(shù)X的概率分布模型。 一段時間內某繁忙十字路口發(fā)生交通事故的次數(shù) 一定時間段內某電話交換臺接到的電話呼叫次數(shù) 服從泊松分布的現(xiàn)象的共同特征 在任意兩個很小的時間或空間區(qū)間內事件發(fā)生次數(shù)是相互獨立的； 各區(qū)間內事件發(fā)生次數(shù)只與區(qū)間長度成比例，與區(qū)間起點無關； 在一段充分小的區(qū)間內事件發(fā)生兩次或兩次以上的概率可以忽略不計,361,【例3-12】,設某種報刊的每版上錯別字個數(shù)服從 =2的泊松分布。隨機翻看一版，求： （1）沒有錯別字的概率； （2）至多有5個錯別字的概率。 解：設X每版上錯別字個數(shù)，則所求概率為：,利用EXCEL計算泊松分布的概率,362,二項分布的泊松近似,【前提】當n很大而 p又很小時，二項分布可用參數(shù)np 的泊松分布近似 【例3-13】一工廠有某種設備80臺，配備了3個維修工。假設每臺設備的維修只需要一個維修工，設備發(fā)生故障是相互獨立的，且每臺設備發(fā)生故障的概率都是0.01。求設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？ 解：XB(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，可以用0.8的泊松分布來近似計算其概率:,363,3. 超幾何分布,N個單位的有限總體中有M個單位具有某特征。用不重復抽樣方法從總體中抽取n個單位，樣本中具有某種特征的單位數(shù)X服從超幾何分布，記為XH(n,N,M ),數(shù)學期望和方差:,N很大而n相對很小時，趨于二項分布(p=M/N),364,五、常見的連續(xù)型概率分布,1. 均勻分布 X只在一有限區(qū)間 a，b 上取值 且概率密度是一個常數(shù) 其概率密度為：,X 落在子區(qū)間 c，d 內的概率與該子區(qū)間的長度成正比，與具體位置無關,P(cXd),365,2. 正態(tài)分布,XN (、 2 )，其概率密度為：,正態(tài)分布的均值和標準差 均值 E(X) = 方差 D(X)= 2,- x ,366,2. 正態(tài)曲線,正態(tài)曲線的主要特性 關于x = 對稱的鐘形曲線 參數(shù)決定正態(tài)曲線的中心位置 參數(shù) 決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度 以X軸為漸近線，即當x 時，f(x) 0,367,標準正態(tài)分布,0、1的正態(tài)分布，記為N (0, 1) 其概率密度(x)，分布函數(shù) (x) XN (、 2 ), 則 ： ZN (0，1 ),若 ZN (0，1 )，則有： P（| Z| a）2(a)1 (-a)=1(a),標準化,368,【例3-14】,某廠生產的某種節(jié)能燈管的使用壽命服從正態(tài)分布，對某批產品測試的結果，平均使用壽命為1050小時，標準差為200小時。試求： （a）使用壽命在500小時以下的燈管占多大比例？ （b）使用壽命在8501450小時的燈管占多大比例？ （c）以均值為中心，95的燈管的使用壽命在什么范圍內？,369,解,X使用壽命，XN (1050，2002 ),(2)(-1)0.977250.158650.8186,95的燈管壽命在均值左右392（即6581442）小時,1(2.75)10.997020.00298,370,3 原則,|X| 3 的概率很小，因此可認為正態(tài)隨機變量的取值幾乎全部集中在 - 3，+ 3 區(qū)間內 廣泛應用: 產品質量控制 判斷異常情況 ,371,正態(tài)分布最常用、最重要,大千世界中許多常見的隨機現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布 例如，測量誤差，同齡人的身高、體重，一批棉紗的抗拉強度，一種設備的使用壽命，農作物的產量 特點是 “中間多兩頭少” 由于正態(tài)分布特有的數(shù)學性質，正態(tài)分布在很多統(tǒng)計理論中都占有十分重要的地位 正態(tài)分布是許多概率分布的極限分布 統(tǒng)計推斷中許多重要的分布（如2分布、t分布、F分布）都是在正態(tài)分布的基礎上推導出來的。,372,用正態(tài)分布近似二項分布,XB (n，p) ，當n充分大時， XN (n p，np(1-p) 【例3-15】假設有一批種子的發(fā)芽率為0.7?，F(xiàn)有這種種子1000顆，試求其中有720顆以上發(fā)芽的概率。 解：設X發(fā)芽種子顆數(shù)，XB(1000，0.7)。近似地 XN (700，210)。 P(X720)P(Z1.38)1P(Z1.38) 10.91620.0838,373,用正態(tài)分布近似二項分布,用正態(tài)分布近似二項分布的前提 n很大， p不能太接近 0 或 1（否則二項分布太偏） 一般要求np和np(1-p)都要大于5 如果np或np(1-p)小于5，二項分布可以用泊松分布來近似,374,計算正態(tài)分布的概率值,方法一：先標準化查標準正態(tài)分布函數(shù)值表 方法二：利用Excel來計算（不必標準化） 插入函數(shù)fx選擇“統(tǒng)計”“NORMDIST”，進入“函數(shù)參數(shù)”對話框中， 在X后填入正態(tài)隨機變量的取值區(qū)間點； 在Mean后填入正態(tài)分布的均值； 在Standard_dev后填入正態(tài)分布的標準差； 在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示計算隨機變量取值小于等于指定值x的累積概率值。,375,也可在選定的輸出單元格中，順次輸入函數(shù)名和參數(shù)值即可 如輸入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，確定后即可得到所求概率值0.0029798。 根據(jù)概率值F(Xx)求隨機變量取值的區(qū)間點 x，選擇函數(shù)“NORMINV”。 如輸入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,顯示計算結果為500。,計算正態(tài)分布的概率值,376,3.3 大數(shù)定律與中心極限定理,一、大數(shù)定律 二、中心極限定理,377,一、大數(shù)定律,3.3 大數(shù)定律與中心極限定理,1. 獨立同分布大數(shù)定律 2. 貝努里大數(shù)定律,378,獨立同分布大數(shù)定律,大數(shù)定律是闡述大量同類隨機現(xiàn)象的平均結果的穩(wěn)定性的一系列定理的總稱。 獨立同分布大數(shù)定律設X1, X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，且存在有限的數(shù)學期望E(Xi)和方差D(Xi ) 2（i=1,2,），則對任意小的正數(shù), 有：,379,大數(shù)定律（續(xù)）,該大數(shù)定律表明：當n充分大時，相互獨立且服從同一分布的一系列隨機變量取值的算術平均數(shù)，與其數(shù)學期望的偏差任意小的概率接近于1。 該定理給出了平均值具有穩(wěn)定性的科學描述，從而為使用樣本均值去估計總體均值（數(shù)學期望）提供了理論依據(jù)。,380,貝努里大數(shù)定律,設m是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是每次試驗中事件A發(fā)生的概率，則對任意的 0，有：,它表明，當重復試驗次數(shù)n充分大時