《分析力學(xué)基礎(chǔ)》PPT課件.ppt

在空間：一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)位置需要3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即自由質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度。 在平面：需要2個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即質(zhì)點(diǎn)有2個(gè)自由度。 受到運(yùn)動(dòng)約束：質(zhì)點(diǎn)自由度數(shù)將減少。 完整約束：約束方程中不含速度項(xiàng)； 穩(wěn)定（定常）約束：約束方程中不顯含時(shí)間t 若具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，有s個(gè)完整約束方程：, 3-1 自由度和廣義坐標(biāo),則：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系總自由度數(shù)為：,描述質(zhì)點(diǎn)系在空間位置的獨(dú)立參數(shù)，稱廣義坐標(biāo)； 完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目等于自由度數(shù)目。,由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平面質(zhì)點(diǎn)系，自由度為2，有1個(gè)約束方程：,用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示。,若質(zhì)點(diǎn)限定在半球面上運(yùn)動(dòng)，球半徑為R，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的空間質(zhì)點(diǎn)系，自由度數(shù)為3，有1個(gè)約束方程：,自由度數(shù)為：,通常用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)和表示,自由度數(shù)為：,用q1、q2、qN表示質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)： 對(duì)完整約束質(zhì)點(diǎn)系，各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。,進(jìn)行變分計(jì)算：,設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束,為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標(biāo)表示。,同理：, 3-2 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件,設(shè)：,則：,它的量綱由對(duì)應(yīng)的廣義虛位移而定。,為廣義虛位移,稱為廣義力,k為線位移， Qk 量綱是力的量綱； k為角位移， Qk 量綱是力矩的量綱。,由于廣義坐標(biāo)都是獨(dú)立的，廣義虛位移是任意的。 上式成立必須滿足：,質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是所有的廣義力都等于零,質(zhì)點(diǎn)系具有N個(gè)自由度，有N個(gè)廣義力，則有N個(gè)平衡方程是互相獨(dú)立的，可聯(lián)立求解質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題 。 大多數(shù)工程機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，這只需要列出一個(gè)廣義力等于零的平衡問題。,廣義力求解方法有兩種：,法1.,給質(zhì)點(diǎn)系一個(gè)廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個(gè)廣義虛位移等于零。,法2.,質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都為有勢(shì)力，則勢(shì)能應(yīng)為各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，總勢(shì)能為V表示為：,虛功為：,虛位移原理表達(dá)為：,在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能在平衡位置處的一階變分為零。,用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置。在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能可表示為廣義坐標(biāo)函數(shù)，總勢(shì)能為V為：,廣義力為：,在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢(shì)能對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。,平衡條件為：,法3:,（314）,即：在勢(shì)力場(chǎng)中具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢(shì)能對(duì)于每個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。,在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值,在不平衡位置上，系統(tǒng)勢(shì)能具有極大值,對(duì)于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其 勢(shì)能是不變的，所以其附近任何可能 位置都是平衡位置。,穩(wěn)定平衡,不穩(wěn)定平衡,對(duì)于一個(gè)自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個(gè)廣義坐標(biāo)q,因此系統(tǒng)勢(shì)能可以表示為q的一元函數(shù)，,即,當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，,根據(jù)式（314），,在平衡位置處有,如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處。系統(tǒng)勢(shì)能 具有極小值，即系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。,上式是一個(gè)自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。,對(duì)于多自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書籍。,例1 復(fù)合擺機(jī)構(gòu)， A、B點(diǎn)位置作用力F1 ,F2， F. 。用廣義坐標(biāo)表示A、B點(diǎn)位置，求平衡時(shí)作用力F1 ,F2， F與1，2關(guān)系。,解：方法 1： 1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，A,B 2個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有4個(gè)自由度。 兩個(gè)約束方程：,該質(zhì)點(diǎn)系自由度數(shù)為：4-2=2,可以用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)。,表示,2）用廣義坐標(biāo)表示A,B,（4）虛位移原理：,直接計(jì)算：,方法 2：,不變，給 虛位移,不變，給 虛位移,選題,設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi . 如果假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力FIi=-miai，由達(dá)朗貝爾原理，F(xiàn)i 、Fni、 FIi構(gòu)成平衡力系。整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束. 應(yīng)用虛位移原理，得到：,3-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程,在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)所受的主動(dòng)力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。 稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。,得到：,例1 圖示滑輪系統(tǒng)，動(dòng)滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質(zhì)量m2重物，滑輪和繩子重量以及輪軸摩擦忽略不計(jì)，求m2重物下降的加速度。,解： （1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，（2）受力分析 系統(tǒng)的主動(dòng)力為：m1g、 m2g,2）給系統(tǒng)虛位移s1 和s2,慣性力為：,設(shè)m2重物下降的加速度為a2， 設(shè)m1重物下降的加速度為a1。,代入加速度和虛位移關(guān)系得到：,3）動(dòng)力學(xué)普遍方程：,選題,例3-5 如圖二相同圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二輪相連繩鉛直時(shí)，輪中心C的加速度。,解： （1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象 （2）力分析： 作用的主動(dòng)力mg,（3）設(shè)輪的角加速度為1 輪的角加速度為2,輪慣性力偶：MI=J11 輪I 慣性力偶：MI=J22 慣性力：FI=maC,4)加虛位移： 輪： 輪I ：,I 輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng),II 輪平面運(yùn)動(dòng) 取B為基點(diǎn),5) 動(dòng)力學(xué)普遍方程：,由虛位移的任意性：,解得：,選題, 3-4 第一類拉格朗日方程,設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束,設(shè)：,由動(dòng)力學(xué)普遍定理：,第一類拉格朗日方程,例3-6 如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。,解： 1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2 、y2。 2）運(yùn)動(dòng)分析： 系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個(gè)約束方程。,約束方程微分，消去,當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。 動(dòng)力學(xué)普遍方程用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題。 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，系統(tǒng)具有s個(gè)完整理想約束，具有N=3n-s個(gè)自由度。用q1、q2、qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。 設(shè)系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1，矢徑為 ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：, 3-5 第二類拉格朗日方程,由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：,上式第一項(xiàng)又可以表示為：,注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。,代入上式第二項(xiàng)得:,對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。 所以廣義坐標(biāo)的變分是任意的，為使上式成立，必須有：,這是具有N個(gè)方程的方程組，其中第二項(xiàng)與廣義力對(duì)應(yīng)，稱為廣義慣性力。 表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達(dá)朗伯原理的廣義坐標(biāo)表示。 對(duì)廣義力做如下變換,1.證明：,進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式,對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),其中,是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。,再對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)：,得證,在完整約束下,對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù),2.證明 ：,由此得證,其中,為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，每一個(gè)方程都是二階常微分方程。,得,上式稱為拉格朗日方程,于是拉格朗日方程可寫成,上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。,如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，則廣義力Qk可寫成,拉格朗日方程用動(dòng)勢(shì)L =T-V表示,拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。 拉格朗日方程的表達(dá)式非常簡(jiǎn)潔，應(yīng)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力； 對(duì)于保守系統(tǒng)，只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。,因?yàn)閯?shì)能是坐標(biāo)的函數(shù),解： 1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象 此系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。 以物塊平衡位置為原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)如圖。 2）以平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在任意位置x處的勢(shì)能為,例 6 如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為m1的物塊C以細(xì)繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點(diǎn)。A、B二輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m2。彈簧剛度為k，質(zhì)量不記。當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,0為平衡位置彈簧伸長(zhǎng)量。,2）運(yùn)動(dòng)分析；,B輪角速度為,A輪質(zhì)心速度為,A輪角速度為,物塊速度為,此系統(tǒng)的動(dòng)能為：,3）代入拉格朗日方程,4）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為,得,注意,系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為：,選題,例7 如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。,解： 1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2 、y2。 2）運(yùn)動(dòng)分析： 系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，所以具有兩個(gè)自由度。,3）拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。 系統(tǒng)的動(dòng)能為：,選x1和為廣義坐標(biāo)，則有：,其中：,選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)能為：,代入拉格朗日方程,如果M2擺動(dòng)很小，則可近似地認(rèn)為,且可忽略高階小量，上式可改寫為,解為 ：,圓頻率為 ：,擺動(dòng)周期,如果m1遠(yuǎn)大于m2，則M1的位移x1將很小，M2的擺動(dòng)周期將趨近于普通單擺的周期：,選題, 3-6 拉格朗日方程的初積分,對(duì)于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。,1.能量積分,若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，,則式（34）中不顯含時(shí)間t，,從而,（327）,為關(guān)于 的二次齊次函數(shù)，,其中,是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，,稱為廣義質(zhì)量，,容易證明,（328）,上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，,注意勢(shì)能V不含 項(xiàng)，,從而,將式（326b）對(duì)k求和,（329）,積分上式，,有,這就是保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律。,也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。,2.循環(huán)積分,如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo) ，,則稱該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)，此時(shí),從而有,上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。,如果引入廣義動(dòng)量,則有,式（331a）也稱為廣義動(dòng)量守恒,例 3-9：圖表示一個(gè)均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱 表面上刻有一傾角為的螺旋槽，今在槽中放一小球M ，自靜止開 始沿槽下滑，同時(shí)使圓柱體繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)小球質(zhì)量為 ，圓柱體 的質(zhì)量為 ，半徑為R，不計(jì)摩擦。,求：當(dāng)小球下降的高度為h時(shí)，小球相對(duì)于圓柱體的速度以及 圓柱體的角速度。,解：,小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，,并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，,因?yàn)橄到y(tǒng)所受的主動(dòng)力是重力，,所以是保守系統(tǒng)。,取圓柱體的轉(zhuǎn)角 ，和沿螺旋槽方向的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)。,取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，,圓柱體為動(dòng)系，,利用點(diǎn)的速度合成公式，,則小球的動(dòng)能為,圓柱體的動(dòng)能