《單純形優(yōu)化法》PPT課件.ppt

第七章 單純形優(yōu)化法,發(fā)展簡史 1962年，Spendley提出基本單純形法 1965年，Nelder等提出改進單純形法 之后，Routh提出加權形心法與控制加權形心法,7-2 基本單純形,一、雙因素基本單純形法 如果我們有一個試驗設計，只選有兩個影響因素，即因素數(shù)為2。分別取值a1和a2作為試驗的初點。記為A(a1,a2)。對其余兩個點分別設為B和C，再設三角形的邊長為a(步長)。那么B、C點就可以計算出來,假設AB、 AC、BC間距均為，等邊三角形可以算出B點為： B=(a1+p, a2+q) 根據(jù)對稱性可知： C=(a1+q, a2+p) 可以根據(jù)等邊三角形性質解得：,a2+p,a2+q,a2,a1+p,a1+q,a1,因素2,因素1,A,B,C,D,E,o,由A、B、C三點構成得單純形稱為初始單純形 首先在A、B、C三點下分別試驗，得出三個響應值，比較其大小，找出最壞響應值的點稱為壞點 此處設A為壞點，去掉A點并取A的對稱點D點作為新試驗點，比較B、C、D三點響應值的好壞 此處設C為壞點，去點C點，取其反點E，此時C、D、E三點又構成新的單純形 重復以上結果，最終達到優(yōu)化試驗的目的,二、新試驗點的計算方法 以初始單純形A、B、C為例，設A為壞點，A應該去掉，求其反射點D，此時 A(a1,a2)、B=(a1+p, a2+q)、C=(a1+q, a2+p) D=B+C-A=(a1+p+q,a2+p+q) E=B+D-C=(a1+2p,a2+2q) 即：新試驗點留下各點之和去掉點(9-8),三、多因素基本單純形 設有n個因素n1個定點構成的n維空間單純形，設有一點A=(a1, a2, a3, an)，步長為a 則其余各點為： B=(a1+p,a2+q,a3+q, an+q) C=(a1+q,a2+p,a3+q, an+q) (n)=(a1+q,a2+q, an-1+p, an+q) (n+1)=(a1+q,a2+q,a3+q, an+p),其中,新點計算 新坐標點2n留下點的坐標和/n 去掉點坐標 (9-11),四、n，p，q取值對應表 由(9-8) 我們可以算出n取不同值的p、q的取值,五、小結 用前面的例子，對兩因素問題A、B、C構成初始單純形，在此三點上進行試驗 規(guī)則1：去掉最壞點，用其對稱反射點作新試點 例A、B、C中，A為最壞點，去掉A點并取A的對稱點D點作為新試驗點。 D留下各點之和去掉點BCA 在B、C、D三角形中繼續(xù)使用規(guī)則1，如果C為壞點，去點C點，取其反點E，此時C、D、E三點又構成新的單純形。 如果最壞點為D那么對稱點就會返回到與A重合，此時改用規(guī)則2,規(guī)則2：去掉次壞點，用其對稱反射點作新試點對稱計算公式與前面相同 經(jīng)過反復使用后，如果有一個點老是保留下來，必須使用規(guī)則3 規(guī)則3：重復、停止和縮短步長 一般一個點勁3次單純形后仍未被淘汰，它可能是一個很好點，也可能是偶然性或試驗誤差導致的假象。 此時需要重復試驗：結果不好，淘汰；結果已很滿意則停止試驗 反之則以它為起點縮短步長，繼續(xù)試驗,六、特殊方法 前面介紹的單純形是正規(guī)的，任意兩點間的距離一樣，實際上，這個要求可以不要。尤其是由于各個因素所取的量綱不一樣（例如一個因素是溫度（），另一個因素是時間（秒）。即使量綱一樣所取的單位也可以不一樣。,（一）直角單純形法 我們考慮雙因素模型，開始不從正三角形出發(fā)，而是從一個直角三角形出發(fā)，其頂點取值如下： =(a1,a2) =(a1+p1,a2) =(a1,a2+p2) 用圖表示如下,a2+p2,a2,a1+2p1,a1+p1,a1,因素2,因素1,同樣比較三個頂點響應值的結果，若最壞，則新點就用對稱公式 =+-=(a1+p1,a2+p2) 在得到點后，再用、三點試驗，比較其結果，若最壞，則取其對稱點做新試驗點 =+-=(a1+2p1,a2) 、構成一個新單純形，比較其結果，若最壞，則用規(guī)則2去掉次壞點，若次壞點為，則新點 =+-=(a1+2p1,a2-p2) 如此等等，有時還會使用規(guī)則3，直至結果滿意為止。,一般在任意n個因素時 =(a1, a2, a3, an) =(a1+p1,a2,a3, an) =(a1,a2+p2,a3, an) (n)=(a1,a2, an-1+pn-1, an) (n+1)=(a1,a2,a3, an+pn),（二）、雙水平單純形法,7-3 改進單純形法,為了解決優(yōu)化結果精度和優(yōu)化速度的矛盾，可以采用可變步長推移單純形，此即改進單純形法，既能加快優(yōu)化速度，又能獲得較好的優(yōu)化精度。 改進單純形法是1965年JANelder等提出來的，它是在基本單純形法的基礎上引入了反射、擴大、收縮與整體收縮規(guī)則，變固定步長為可變步長，較好地解決了優(yōu)化速度與優(yōu)化精度之間的矛盾，是各種單純形優(yōu)化法中應用最廣泛的一種單純形優(yōu)化方法。,兩因素單純形的推移過程,因素1,因素2,B,A,C,D,E,O,NA,改進單純形,ND,單純形的整體收縮,因素1,因素2,A,B,C,C,A,在單純形的推移過程中，新實驗點在空間的位置坐標按以下方法計算：,討論： a1，此時(9-19)式變差基本單純形中新點的計算公式，此時新試驗點為去掉點的等距離反射點，這時改進單純形又變成了基本單純形 a1，按基本單純形法（a1）計算出新點后，對新試驗點做試驗得出新試驗點的響應值。如果新點的響應值好，說明我們搜索方向正確，可以進一步沿AD搜索。因此取a1，稱為擴大。如果擴大點E不如反射點D好，則“擴大”失敗，仍采用D，由反射點何留下點構成的單純形BCD繼續(xù)優(yōu)化,-1a0，按（a1）計算出來的反射點D的響應值最壞，此時采用-1a0（稱為內收縮）計算新試驗點，此時形成新的單純形BNAC 0a1，按基本單純形法（a1）計算除反射點D響應值最壞。但比去掉點A響應值好。此時采用0a1，稱為收縮，新試點仍按(9-19)式計算，此時形成新的單純形BCND,如果去掉點與其反射點連線AD方向上所有點的響應值都比去掉點A壞，則不能沿此方向搜索。這時應以單純形中最好點為初點，到其它各點的一半為新點，構成新的單純形BAC進行優(yōu)化。此時步長減半，稱為“整體收縮”,7-4 加權形心法,基本單純形和改進單純形都是采用去掉點的反射方向為新試驗點的搜索方向，這就意味著，去掉點的反射方向作為近似的優(yōu)化方向，就是梯度變化最大的方向 實際上，這個方向是一個近似的梯度最大方向，這樣的搜索結果可能導致搜索次數(shù)的增加和搜索結果精度的降低 為了解決這個問題，提出了加權形心法，加權形心法利用加權形心代替單純的反射形心，使新點的搜索方向更接近實際的最優(yōu)方向,因素1,因素2,B,C,O,E,E,O,形心點O和加權形心點O,如圖，使W、B、C三個頂點組成的一個二因素的優(yōu)化過程的一個單純形，并知W點的響應最壞，B的響應最好。 如果搜索優(yōu)化過程中函數(shù)不出現(xiàn)異常，那么搜索最優(yōu)點的方向明顯應當更靠近WB的方向，而不是靠近WC的方向。因此可以通過加權的辦法來使搜索的方向由原來的WE（反射方向）變?yōu)閃E方向（加權方向），此時用加權形心點O代替反射形心點O,7-5 單純形優(yōu)化的參數(shù)選擇,在試驗中，我們只研究優(yōu)化條件，可用基本單純形法時，首先必須確定研究的因素 由于單純形法不受因素的限制，考察的因素可以相對的多些 因素確定后，據(jù)分析儀器和試驗要求，規(guī)定因素變化的上下限，據(jù)上下限的范圍確定步長的大小。 步長較大，優(yōu)化速度加快，精度較差；步長太小試驗次數(shù)增多，優(yōu)化速度變慢,一、試驗指標 試驗指標是用于衡量和考核試驗響應的各種數(shù)值 在分析測試中可將儀器響應值作為試驗指標，但有時須轉換稱其它的數(shù)量，試驗指標是數(shù)量化的，以便直接比較結果的大小,二、初始單純形的構成 本章第一節(jié)介紹的方法是根據(jù)初始點和步長來計算初始單純形的各個頂點，各因素的步長是相同的 實際過程中，各因素步長和單位并不相同，利用這種方法會變得很麻煩，在實際應用中問題較多 我們介紹下述兩個構成初始單純形的方法,（一）long系數(shù)表法 D.E.Long提出一種用系數(shù)表構成初始單純形各頂點的方法，可以解決試驗設計中初始單純形的構成問題 使用時把表中的對應值乘上該因素的步長后，再加到初始點坐標上,Long系數(shù)表,例：有一個二因素的設計過程，其初始點為(10.0,2.0)；步長為1.0和0.5，據(jù)Long系數(shù)表來計算其余兩個頂點的坐標 頂點1： （10.0,2.0） 頂點2： （10.0+1.001.0，1.0+00.5） =（11.0,2.0） 頂點3： （10.0+0.51.0，2.0+0.8660.5） =（10.5，2.433）,（二）均勻設計表法 利用Long系數(shù)表法所構成的初始單純形各頂點在空間的分布是不均勻的，因此進行的是不均勻優(yōu)化 均勻設計表改變了這個缺點，使各頂點在空間均勻分布，這樣進行的優(yōu)化就是整體的均勻優(yōu)化 據(jù)所選因素的因素數(shù)，確定一個比較合適的均勻表，使用時把表中的對應數(shù)值乘以響應因素的步長，加到初始點坐標上即可,例：我們有一個四因素的優(yōu)化過程，因此可以選用四因素的均勻設計表。設初點為(1.0,1.0,1,0,1.0);步長為0.5,1.0,1.5,2.0。要求計算初始單純形的各頂點,四因素均勻設表U5(54),頂點1： （1.0+1 0.5,1.0+2 1.0, 1.0+3 0.5,1.0+4 2.0） =（1.5,3.0,5.5,9.0） 頂點2： （1.0+2 0.5,1.0+4 1.0, 1.0+1 0.5,1.0+32.0） =（2.0,5.0,2.5,7.0） 頂點3： （1.0+3 0.5,1.0+11.0, 1.0+4 0.5,1.0+2 2.0） =（2.5,2.0,7.0,5.0）,頂點4： （1.0+4 0.5,1.0+3 1.0, 1.0+2 0.5,1.0+1 2.0） =（3.0,4.0,4.0,3.0） 頂點5： （1.0+5 0.5,1.0+5 1.0, 1.0+5 0.5,1.0+52.0） =（3.5.6.0,8.5.11.0）,（三）