分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型及其數(shù)值算法.pdf

E m a i l ：j i g i r s a a c c n w e b s t e ：w w W l c 豇g c n 1 I e | ：0 10 6 4 8 0 7 9 9 5 中國圖象圖形學(xué)報 J O U R N A Lo FI M A G EA N DG R A P H I C S 中國圖象圖形學(xué)報版權(quán)所有 中圖法分類號：T P 7 5 1 1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1 0 0 6 8 9 6 1 ( 2 0 1 4 ) 0 6 - 0 8 5 2 一0 7 論文引用格式：T i a nD ，x u eDY ，Y a n gYJ F m c t i o n a l 0 r d e rp r i m a l d u a lm o d e la n dn u m e r i c a la l g o r i t h mf o rd e n o i s i n g J J o u m a lo f I m a g ea n dG r a p h i c s ，2 0 1 4 ，1 9 ( 6 ) ：8 5 2 8 5 8 田丹，薛定宇，楊雅婕分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型及其數(shù)值算法 J 中國圖象圖形學(xué)報，2 叭4 ，1 9 ( 6 ) ：8 5 2 8 5 8 D O I ：1 0 1 1 8 3 4 j 皓2 0 1 4 0 6 0 5 分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型及其數(shù)值算法 田丹1 2 ，薛定宇1 ，楊雅婕2 1 東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽1 1 0 0 0 4 ；2 沈陽大學(xué)信息工程學(xué)院，沈陽1 1 0 0 4 4 摘要：目的結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論和對偶理論，提出了一種與分?jǐn)?shù)階R O F 去噪模型等價的分?jǐn)?shù)階原始對偶模 型。從理論上分析了該模型與具有鞍點結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型在結(jié)構(gòu)上的相似性，從而可使用求解鞍點問題的數(shù)值算法 求解該模型。方法使用求解鞍點問題的基于預(yù)解式的原始對偶算法對提出模型進(jìn)行求解，并采用自適應(yīng)變步長 迭代優(yōu)化策略提高尋優(yōu)效率，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)數(shù)值算法對步長要求過高的缺陷。同時論證了確保算法收斂性的參數(shù)取 值范圍。結(jié)果實驗結(jié)果表明，提出的分?jǐn)?shù)階原始對偶模型能夠有效地抑制“階梯效應(yīng)”，保護(hù)紋理和細(xì)節(jié)信息，同 時采用的數(shù)值算法具有較快的收斂速度。結(jié)論提出了一種分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型，該模型可采用一種基于預(yù) 解式的原始對偶算法進(jìn)行求解。實驗結(jié)果表明，提出的模型能有效改善圖像的視覺效果，采用的數(shù)值算法能有效 快速收斂。 關(guān)鍵詞：圖像去噪；變分法；分?jǐn)?shù)階梯度；鞍點問題；原始對偶；階梯效應(yīng) F r a c t i o n a l - o r d e rp r i m a l d u a lm o d e la n dn u m e r i c a la l g o r i t h mf o rd e n o i s i n g T i a nD a n l 廣，X u eD i n g y u l ，Y a n gY a j i e 2 1 s c o o z 礦J 恐加r m i o n5 c 據(jù)M eo n dE 凡g i n e e 矗增，o n 矗e 邯e r n i 睨瑚妙，s e 7 驢增 1 1 0 0 0 4 ，吼i n n 2 0 0 2 妒J ，毛加r m o 勘凡E n g i n e e r i 增，S e n 妒昭i 塒碓i o y ，s 矗e n 弘昭1 1 0 0 4 4 ，C i n o A b s t r a c t ：O b j e c t i v eB yc o m b i n i n gf h c t i o n a lc a l c u l u sa n dd u a l i t yt h e o r y ， an o v e lf r a c t i o n a l o r d e r p r i m a l d u a lm o d e l ， w h i c hi se q u i v a l e n tw i t ht h ef h c t i o n a lR O Fm o d e l ，i sp r o p o s e d W et h e o r e t i c a l l ya n a l y z ei t ss t r u c t u r a ls i m i l a r i t yw i t ht h e s a d d l e p o i n to p t i m i z a t i o nm o d e l S ot h ea l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h es a d d l e p o i n tp r o b l e mc a nb eu s e df o rs o l v i n gt h em o d e l M e t h o dT h ep r i m a l d u a la l g o r i t h mb a s e do nr e s o l v e n tf o rs o l v i n gt h es a d d l e p o i n tp r o b l e mi su s e df o rs o l v i n gt h ep m p o s e d m o d e l T h ea d 印t i v ev a r i a b l es t e ps i z ei t e r a t i v eo p t i m i z a t i o ns t r a t e g yi su s e d ，w h i c hcani m p m v et h eo p t i m i z i n ge m c i e n c y ， a n dr e m e d yt h es t e ps i z e1 i m i t a t i o no ft h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a la l g o r i t h m s I no r d e rt og u a r a n t e et h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m ，t h er a n g eo ft h ep a r a m e t e ri sg i v e n R e s l l l tT h ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h ep m p o s e df r a c t i o n a l o r d e rp r i m a l d u a lm o d e li se f k c t i v ei na v o i d i n gt h es t a i r c a s ee f f e c ta n dp r e s e n 五n gt e x t u r ea n dd e t a i li n f b r m a t i o n ，a n dt h ea d o p t i v en u m e r i c a la l g o r i t h mh a sf a s t e rc o n v e r g e n c es p e e d C 傭c l u s i o nI nt h i sp 印e r ，w ep r o p o s eaf h c t i o n a l o r d e rp r i m a l d u a ld e n o i s i n gm o d e l ，w h i c hc a nb es o l v e db yap r i m a l d u a la l g o r i t h mb a s e do nr e s o l v e n t T h ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e d m o d e lcani m p m v et h ei m a g ev i s u a le f k c te f f e c t i v e l y ，a n dt h ea d o p t i v en u m e r i c a la l g o r i t h mh a sf a s t e rc o n V e r g e n c es p e e d K e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ； v a r i a t i o nm e t h o d ；f r a c t i o n a l o r d e rg r a d i e n t ； s a d d l e p o i n tp I D b l e m ；p r i m a l d u a l ； s t a i r c a s e P f 怡r t 收稿日期：2 0 1 3 一l O 一1 3 ；修回日期：2 0 1 4 一叭一1 4 基金項目：國家自然科學(xué)基金項目( 6 1 2 0 1 3 7 8 ) ；國家級“大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃”項目( 2 0 1 3 1 1 0 3 5 0 0 6 ) ；遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項 目( 1 2 叭3 4 4 8 ) 第一作者簡介：田丹( 1 9 8 0 一) ，女，講師，東北大學(xué)系統(tǒng)仿真與應(yīng)用專業(yè)在讀博士研究生，主要研究方向為數(shù)字圖像處理、分?jǐn)?shù)階微積分 理論的應(yīng)用。E m a i l ：w w w s l t d 2 0 0 8 1 6 3 c o m 萬方數(shù)據(jù) 第1 9 卷第6 期2 0 1 4 年6 月田丹，薛定字，楊雅婕分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型及其數(shù)值算法 0 引言 圖像去噪是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的重要研究課題 之一，其主要目的是改善圖像質(zhì)量，便于圖像處理后 續(xù)工作的進(jìn)行。目前，該領(lǐng)域的研究熱點和難點之 一，是圖像噪聲和邊緣均屬于圖像中的高頻信息，如 何尋找既能有效消除噪聲，又能同時保留圖像邊緣 等細(xì)節(jié)特征的去噪方法。為了解決這一問題，1 9 9 2 年R u d i n 等人提出了著名的全變分正則化模型， 又稱R O F 模型。該模型通過引入能量函數(shù)，將圖像 去噪問題轉(zhuǎn)化為泛函求極值問題。所采用的函數(shù)空 間允許存在跳躍間斷，因此可以較好地保持圖像的 邊緣。然而該模型建立在有界變差( B V ) 空問，而 B V 空間的函數(shù)具有分段平滑特性，所以去噪后易產(chǎn) 生“階梯效應(yīng)”，即出現(xiàn)分段平滑現(xiàn)象。近年來，綜 合考慮具有一階正則項的R O F 模型易產(chǎn)生“階梯效 應(yīng)”，而具有高階正則項的變分模型雖能抑制“階梯 效應(yīng)”，但去噪效果不佳的缺點2 圳，一些學(xué)者將分 數(shù)階微分理論引入到變分模型中，以解決該新衍生 的問題，取得了較好的效果。例如，z h a n g 等人1 提 出了一種分?jǐn)?shù)階多尺度圖像去噪模型，并采用 C h a m b 0 1 1 e 的投影算法1 求解模型。z h a n g 等人“ J 提出了一種分?jǐn)?shù)階變分圖像修復(fù)模型，并采用梯度 下降算法舊。求解模型。此外，c h e n 等人一1 提出了一 種分?jǐn)?shù)階T V 1 2 圖像去噪模型，并采用B i o u c a s 的 M M ( m a j o r i z a t i o n - m i n i m i z a t i o n ) 算法叫求解模型。 本文重點研究分?jǐn)?shù)階變分圖像去噪模型的數(shù)值 計算。研究發(fā)現(xiàn)通過對分?jǐn)?shù)階R O F 去噪模型作等價 變換可得到一種分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型，該模型在 結(jié)構(gòu)上與具有鞍點結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型形式相近，可建立 對應(yīng)關(guān)系，故可采用一種求解鞍點問題的更為靈活且 收斂速度較陜的原始對偶算法“求解。針對算法中 定義的參數(shù)，結(jié)合分?jǐn)?shù)階梯度算子的性質(zhì)，給出了其 取值范圍，以保證算法的收斂性。實驗結(jié)果表明，提 出的分?jǐn)?shù)階原始對偶模型和現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階去噪模型具 有相同的特眭，即能有效抑制“階梯效應(yīng)”，保留更多的 圖像細(xì)節(jié)特征。同時采用的原始對偶算法與一些現(xiàn)有 的求解分?jǐn)?shù)階問題的變分算法相比，收斂速度更快。 1 分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型的提出 1 1 R O F 去噪模型 1 9 9 2 年，R u d i n 、0 s h e r 和F a t e m i 提出了著名的 全變分正則化模型，又稱R O F 模型，將圖像去噪問 題建模為優(yōu)化問題，表示為 鯉 l I 。+ 害忪一gl ( 1 ) 式中，x 表示有限維向量空間，| | 憶表示穢范數(shù)， V 表示梯度算子，H 表示去噪后圖像，g 表示觀測圖 像，A 表示正則化參數(shù)。 模型中第一項稱為正則項，在優(yōu)化過程中起到 抑制噪聲的作用。第二項稱為保真項，主要作用是 保持去噪后圖像與觀測圖像的相似性，從而保持圖 像的邊緣特征。而正則化參數(shù)A 用于平衡正則項 與保真項的作用。 下面給出正則項離散形式的定義。假定待處理 圖像的大小為M ，則變分模型中梯度算子的離 散化形式為 ( 沌) 。= ( ( 沌) ；”( 沌) ；。) ( 2 ) 式中 c 酬。= 廠叱。；篡 c 蛾。= 皆一蠔。； 一 則正則項的離散形式可具體定義為 I l 沌憶= l ( 沌) i 。l ( 4 ) 式中 l ( 沌) 。J = ( ( 沌) ；。) 2 + ( ( 沌) ；，) 2 ( 5 ) 1 2 分?jǐn)?shù)階R o F 去噪模型 在分?jǐn)?shù)階微分理論發(fā)展過程中，出現(xiàn)了多種函 數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分定義。利用其中的G m n w a l d L e t n i k o v ( G L ) 定義2 1 構(gòu)造分?jǐn)?shù)階梯度算子，其離散形 式為 ( 驢H ) i 。= ( ( ? 比) ( ；H ) 。) ( 6 ) 式中 ( ? 比) 。= ( 一1 ) c 池噸， ( ；比) u = ( 一1 ) c ；M 。一 ( 7 ) 恥幣囂 ( 8 ) 式中，K 表示分?jǐn)?shù)階梯度算子的展開項數(shù)，廠( ) 表 示G a m m a 函數(shù)。 將R O F 去噪模型的正則項由一階擴(kuò)展到分?jǐn)?shù) 階可得到分?jǐn)?shù)階R O F 去噪模型，其離散形式可表 示為 0 髓3 萬方數(shù)據(jù) 中國圖象圖形學(xué)報 J o U R N A L0 FI M A G EA N DG R A P H I C S 鯉 ( | 1 驢H 憶+ 害I lM g 旺) ( 9 ) 模型中分?jǐn)?shù)階正則項的離散形式可具體定義為 I | 驢比I I 。= 1 ( P H ) “l(fā) ( 1 0 ) 式中 l ( 驢H ) 。jl = ( ( ? ) 巧) 2 + ( ( ；H ) i J ) 2 ( 1 1 ) 不難看出，一階梯度算子是由有限項組成的局 域算子，而分?jǐn)?shù)階梯度算子是由無限項組成的全局 算子，故分?jǐn)?shù)階R o F 模型較經(jīng)典的一階R O F 模型 考慮了更多的圖像鄰域信息，能保護(hù)更多的圖像細(xì) 節(jié)特征。 1 3 分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型及其與鞍點優(yōu)化模 型的關(guān)系 結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論和對偶理論，等價變換 分?jǐn)?shù)階R O F 去噪模型，提出一種分?jǐn)?shù)階原始對偶去 噪模型。首先給出分?jǐn)?shù)階散度的定義： 定義1對于任意的2 維變量p = ( p 1 ，p 2 ) y ，y 表 示有限維向量空間，分?jǐn)?shù)階散度的離散形式可定 義為 d i v = ( d i v 肇) “ ( 1 2 ) 江1 ，2 ，M ；，= 1 ，2 ， 式中 ( d i v ) i = ( 一1 ) “( 一1 ) c 融幻+ ( 一1 ) “( 一1 ) c 壤m(xù) ( 1 3 ) 文獻(xiàn) 5 中證明了分?jǐn)?shù)階R O F 模型中的分?jǐn)?shù)階 正則項可作如下等價變換，即 | | F HI l1 = s u p ( p ，驢H ) y = L s u p ( ( 一1 ) “d i V ，比) x 6 ，c p ，= 0 + o 。：莖： c ，6 ， 而分?jǐn)?shù)階R O F 圖像去噪模型對偶描述的推導(dǎo)， 可令式( 1 5 ) 原始對偶模型中對偶變量p 固定，對原 始變量H 求導(dǎo)，得 g 一半d i v 肇 ( 1 7 ) 再代回到式( 1 5 ) ，可得到對偶問題描述，即 鼉1 a 圣( ( ( 一1 ) “d i v ，g ) y p V 一 1 一 六I l ( 一1 ) “d i v 肇幔一鄙( p ) ) ( 1 8 ) 厶幾 下面分析提出的分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型與具 有鞍點結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型在形式上的相似性。具有鞍 點結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題可描述為1 1 。 m i nm a ) 【( ( A x ，y ) + G ( z ) 一F + ( y ) ) ( 1 9 ) 式中，x 、y 表示有限維實向量空問，( ，) 表示內(nèi) 積，A 表示任意線性算子，G 和F 表示任意函數(shù)，F(xiàn) + 表示F 的拓?fù)鋵ε肌?將優(yōu)化模型中變量戈看成原始變量，變量y 看 成對偶變量，則可將此鞍點問題看成是如下原始問 題和對偶問題的原始對偶描述。其中，原始問題可 表示為 m i n ( F ( A z ) + G ( z ) )( 2 0 ) 對偶問題可表示為 m a 謄一( G + ( 一A + y ) + F + ( j ，) ) ( 2 1 ) 不難看出，如將原始問題式( 2 0 ) 與分?jǐn)?shù)階R O F 模型建立對應(yīng)關(guān)系，即令F ( A 戈) 對應(yīng)分?jǐn)?shù)階正則 項，G ( 戈) 對應(yīng)保真項。則提出的分?jǐn)?shù)階原始對偶去 噪模型可與鞍點優(yōu)化模型建立對應(yīng)關(guān)系，即A = 一 l ( 一1 ) “d i v “，G ( H ) = 1 IH g1 | ；，F(xiàn) + ( p ) = 6 ，( p ) 。 當(dāng)且僅當(dāng)慨= ( p ，) 2 + ( p 乙) 2 1 ( 1 4 )2分?jǐn)?shù)階原始對偶數(shù)值算法 式中，( ) 表示共軛運(yùn)算。 依據(jù)該特性提出一種分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模 型，即分?jǐn)?shù)階R O F 去噪模型的原始對偶描述，表 示為 m i 望m a 圣( ( 一1 ) “d i v ，H ) x + HE X 口y J J 比一gI J ；一6 D ( p ) ( 1 5 ) 式中，P = p y pI I 。= m 尋xh ，1 表示對偶 空間。艿。( ) 是對偶空間中的指示函數(shù)，即分?jǐn)?shù)階正 則項的拓?fù)鋵ε?，表示?針對具有鞍點結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題，文獻(xiàn) 1 1 中提 出了一種基于預(yù)解式的原始對偶數(shù)值計算方法。令 原始變量戈固定，對對偶變量y 求導(dǎo)，可得到變量y 的預(yù)解式為 y = ( J + V F + ) 一1 ( j ，+ A 工) ( 2 2 ) 同理，令對偶變量y 固定，對原始變量工求導(dǎo)， 可得到變量x 的預(yù)解式為 z = ( J + V G ) 一1 ( z A y ) ( 2 3 ) 式中，W4 和V G 分別對應(yīng)函數(shù)F + 和G 的梯度。定 萬方數(shù)據(jù) 第1 9 卷第6 期2 0 1 4 年6 月 田丹，薛定宇，楊雅婕分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型及其數(shù)值算法 義參數(shù)L = l lAl l = m a X l l 觸l Ix x ，I | xl I 1 ，則當(dāng)函數(shù)F + 和G 中至少有一個為凸函數(shù)時，算 法可描述如下： 1 ) 初始化。給定初始步長丁。 0 ，盯。 0 ，且滿 足丁。盯。三2 1 。令( z o ，y o ) x y ，；o = z o 。 2 ) 計算 y “”= ( J + 盯。W + ) 。1 ( y “+ 盯。Ai ”) 工“+ 1 = ( J + 丁。V G ) 一1 ( z “一J 。A4 y “+ 1 ) p 。= 1 l + 2 y 丁。，丁。+ l = 咿。下。，盯。+ 1 = 盯p 。 【i ”+ 1 = z “+ 1 + p 。( 工“+ 1 一z ”) ( 2 4 ) 3 ) 計算原始對偶間隔，定義為 f ( z ，y ) 2 熘( ( y 7 ，舭) 一F + ( J ，7 ) + G ( z ) ) 一 毋i 已( ( y ，觸) 一F + ( y ) + G ( x ) ) ( 2 5 ) 當(dāng)該指標(biāo)滿足給定的迭代終止條件時，迭代終 止；否則，令n = n + 1 ，轉(zhuǎn)步驟2 ) 。 不難看出，原始對偶間隔是對偶問題和原始問 題的目標(biāo)函數(shù)差值。該差值在鞍點處可達(dá)到最 小1 1 ，故以該指標(biāo)設(shè)定閾值，可保證算法收斂到最 優(yōu)解。 考慮到提出的分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型與具有 鞍點結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型在形式上的相似性，并且去噪 模型中保真項G ( 比) = 睪l l 一g 忙為凸函數(shù)，滿足 算法的前提條件，故可采用上述數(shù)值算法實現(xiàn)圖像 去噪的優(yōu)化過程。該算法實現(xiàn)了自適應(yīng)變步長迭 代，可有效提高尋優(yōu)效率，彌補(bǔ)了一些傳統(tǒng)數(shù)值算法 對步長要求過高的缺陷。 在數(shù)值算法實現(xiàn)中，需要確定預(yù)解算子( J + 盯即。) ，( J + 丁VG ) - 1 和線性算子A 。因為 F + ( p ) = 6 ，( p ) ，G ( “) = l lH g0 ；，所以 p = ( J + 盯W4 ) 。1 ( F ) 甘 p ：j ! 止一 ( 2 6 ) ” m a x ( 1 ，l 磊，J ) H = ( J + rV G ) 一1 ( 五) 車亭 u 驢芻半導(dǎo) ( 2 7 ) u 巧2 i j 廣 L 川J 式中，F(xiàn) = p + D 。A 云，五= 比一租+ p ，A = ( 一1 ) 。d i v “。 下面具體給出求解提出的分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪 模型的算法流程： 1 ) 初始化。給定初始步長 0 ，盯。 0 ，且滿 p “= ( p 8 + 盯。A 云“) m a x ( 1 ，I p ”+ 盯。A 云“1 ) 4 + 1 = ( 比“一7 - 。A + p “+ ：+ 丁。A g ) ( 1 + r 。A ) p 。= 1 以而，丁n + l = 口。下。，盯n 十l = 盯。9 。 云川= H 川+ 臼。( 比川一H “) ( 2 8 ) 式中，A = ( 一1 ) 。d i v “。 3 ) 計算原始對偶間隔，定義如下： f ( H ，p ) = 啤a 蕃( ( p7 ，A H ) 一F + ( p ) + G ( ) ) 一 m i 已( ( p ，A H ) 一F + ( p ) + G ( M ) ) ( 2 9 ) 當(dāng)該指標(biāo)滿足給定的迭代終止條件時，迭代終 止；否則，令n = n + 1 ，轉(zhuǎn)步驟2 ) 。 下面考慮算法的收斂性問題，文獻(xiàn) 1 1 中已給 出了收斂性證明，但需滿足參數(shù)的定義，故這里求 取參數(shù)L 的取值范圍。 因為 I I ( 一1 ) 。d i V 曠= ( 塒。p ；+ 刪l p l l + + 伽K 一1 p ；+ K l J + I J 。u o p ：，j + 刪1 p ；，+ 1 + + z u x 一1 p ；，+ K 一1 ) 。 ，、 2 K ( 訓(xùn)。磚) 2 + ( 伽。盛) 2 + ( 加。山。) 2 + t ，i ( 側(cè)。p ；。+ 。) 2 + + ( 伽K 一。p ：+ K 一。，j ) 2 + ( 刪。一，p ：J + 。一，) 2 2 K ( 加；+ 訓(xùn)；+ + 訓(xùn)；一。) | | p | | 2 所以 7 = I Al = | | ( 一1 ) “d i v “J | 以雨可可葡了_ 而 ( 3 0 ) 式中，叫i = ( 一1 ) i c ? ，K 表示分?jǐn)?shù)階散度定義中展開 項的項數(shù)。 3 數(shù)值實驗與分析 基于預(yù)解式的原始對偶算法中，需要計算分?jǐn)?shù) 階算子A = ( 一1 ) “d i v 。的伴隨算子A + ，如將圖像視 為向量，根據(jù)線性代數(shù)理論，可得出作用于向量時A 的伴隨矩陣等于A 的轉(zhuǎn)置。為了方便算法的實現(xiàn)， H = 一距yY p 比 令 算r 汁肌 r 足 萬方數(shù)據(jù) 圃 V O I1 9 N 0 6 J u n 2 0 1 4 實驗中首先對圖像進(jìn)行向量化處理。即通過逐行掃 描的方式，將圖像矩陣轉(zhuǎn)換為列向量，這樣對于M 的圖像，圖像矩陣的位置( i ，) 對應(yīng)列向量中的位 置( i 一1 ) + J 。 算法參數(shù)設(shè)定如下，分?jǐn)?shù)階散度算子中令K = 2 0 ，算法初始步長盯。= 丁。= 1 。為了保證數(shù)據(jù)項 G ( 比) 的一致凸特性，應(yīng)滿足7 = c A ，其中，c ( o ， 1 ，這里令c = 0 3 5 。A 表示R O F 模型的調(diào)整參數(shù)， 即保真項的權(quán)值，該值受噪聲強(qiáng)度、圖像內(nèi)容、灰度 值范圍等因素的影響。但對于某一特定圖像，只有 在某個值的鄰域內(nèi)，去噪效果才會比較好。用試錯 法進(jìn)行確定，前提條件是保證去噪圖像峰值信噪比 盡可能大。 3 1 分?jǐn)?shù)階原始對偶模型去噪效果的分析 首先，從頻域角度分析模型中分?jǐn)?shù)階次的選取范 圍。圖1 中給出了分?jǐn)?shù)階微分在幾個典型階次儀下 的幅頻特性響應(yīng)曲線。不難看出，隨著階次的增加， 信號的中頻和高頻成分能有效增強(qiáng)。針對圖像，中頻 成分對應(yīng)圖像的紋理部分，高頻成分對應(yīng)圖像的邊緣 和噪聲部分。綜合考慮模型對噪聲的抑制能力和對 圖像細(xì)節(jié)特征的保護(hù)能力，本文選取“( 1 ，2 ) 。 8 圖1 幅頻特性響應(yīng)曲線 F i 昏1A m p l i t u d e f r e q u e n c yr e s p o n s e 為了分析模型的去噪性能，首先選取臨床心臟 超聲圖像作為測試圖像，定性分析不同分?jǐn)?shù)階次下， 模型的去噪效果，如圖2 所示。實驗中設(shè)定迭代次 數(shù)n = 2 0 0 ，調(diào)整參數(shù)A = 8 。 圖2 中可清晰看出分?jǐn)?shù)階模型較一階模型能有 效抑制“階梯效應(yīng)”，即分段平滑現(xiàn)象。而與二階模 型相比，能更有效地去除噪聲。隨著分?jǐn)?shù)階次的增 加，圖像的細(xì)節(jié)保護(hù)能力能有效增強(qiáng)，但也殘留更多 的噪聲成分。這一結(jié)果符合前面關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分的 ( f ) a = 1 8 圖2 不同階次下心臟超聲圖像去噪效果比較 F i g 2C o m p a r i s o no fd e n o i s e dr e s u l t su n d e r d i e r e mo r d e r so nac a r d i a cu l t r a s o u n di m a g e 頻率特性分析。 采用峰值信噪比( P S N R ) 作為量化指標(biāo)，進(jìn)行 評價和定量分析模型的去噪性能。 。燃l ( M ok l 。 1 i 塒。、，J 。 P s N R = 1 0 1 9 _ 等L 一( 3 1 ) 贏 ( M 。) i 。一“i 。 2 M 臺芻“一” 一u 。 式中，表示無噪聲的原始圖像，u 表示去噪后 圖像。 該指標(biāo)適用于原始圖像已知情況下，去噪性能 的測試。這里選取標(biāo)準(zhǔn)L e n a 圖像作為測試圖像，并 加人均值為0 ，標(biāo)準(zhǔn)差分別為1 0 、2 0 和3 0 的高斯白 噪聲。設(shè)定實驗的迭代次數(shù)凡= 2 0 0 ，比較不同分?jǐn)?shù) 階次作用下的去噪效果。圖3 中給出了標(biāo)準(zhǔn)差為 萬方數(shù)據(jù) 第1 9 卷第6 期2 0 1 4 年6 月 田丹，薛定字，楊雅婕分?jǐn)?shù)階原始對偶去噪模型及其數(shù)值算法 2 0 時，幾個典型階次作用下，去噪效果圖及其局部 圖的比較。表1 中給出了去噪圖像峰值信噪比的 比較。 ( 曲a = 1 8 的去噪圖像( h ) a = 1 8 的去噪圖像局部圖 圖3典型階次下去噪效果及其局部效果的比較 F i g 3C o m p a r i s o no fd e n o i s e dr e s u l t sa n dt h e i r l o c a le n l a r g e m e n t su n d e rc l a s s i c a lo r d e r s 圖3 中可清晰看出分?jǐn)?shù)階較一階情況能有效抑 制“階梯效應(yīng)”，并且在發(fā)絲部位能明顯看出分?jǐn)?shù)階 能保留更多的圖像細(xì)節(jié)特征，但隨著分?jǐn)?shù)階次的增 加，會殘留更多的圖像噪聲。 實驗結(jié)果表明，峰值信噪比呈現(xiàn)先增大后減小 的變化規(guī)律。這驗證了選取d 范圍的合理性。 表1 不同階次下去噪圖像峰值信噪比的比較 T a b l e1 C o m p a r i s o no fP s N Ra td i 骶r e n to r d e r d B d 11 21 41 61 82 0 1 03 2 2 7 583 2 3 1 0 13 2 3 9 0 5 3 2 4 5 6 53 2 5 6 373 2 5 5 0 6 2 03 0 3 8 4 33 0 3 9 313 0 4 5 103 0 4 8 313 0 6 囈2 弧5 6 9 2 3 02 8 3 7 532 8 5 3 552 8 5 9 0 82 8 7 3 8 12 8 8 2 832 8 7 4 4 1 3 2 算法的性能分析和比較 本節(jié)定量分析采用的基于預(yù)解式的原始對偶算 法的收斂性和收斂速度。首先跟蹤模型對應(yīng)的原始 問題和對偶問題的能量函數(shù)差值，即原始對偶間隔 的變化情況。從理論上講，原始對偶間隔等于零時， 模型的解可收斂于鞍點，即達(dá)到最優(yōu)解。選取含有 均值為0 ，標(biāo)準(zhǔn)差為3 0 高斯白噪聲的L e n a 圖像作為 測試圖像，設(shè)置參數(shù)A = 8 。圖4 中給出了幾個典型 分?jǐn)?shù)階次作用下去噪迭代過程中原始對偶間隔的變 化曲線。結(jié)果表明，當(dāng)1 d 1 5 時，算法能有效快 速收斂于鞍點，而當(dāng)1 5 “ 2 時，算法收斂速度明 顯減慢。該結(jié)論進(jìn)一步驗證了，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次增加 時，去噪模型在保護(hù)更多圖像細(xì)節(jié)和邊緣特征的同 時，也殘留了更多的圖像噪聲，噪聲去除能力減弱。 圖4 不同分?jǐn)?shù)階次時模型的收斂性比較 F i g 4C o m p a r i s o no fc o n v e r g e n c e u n d e rd i f I b r e n tf h c t i o n a lo r d e r s 此外，為了說明該算法在變分?jǐn)?shù)值算法中的快 速性優(yōu)勢，將其與一些經(jīng)典算法進(jìn)行比較，包括 c h 砌b o l l e 的投影算法，B i o u c a s 的M M 算法和B e c k 的快速梯度算法3 1 。選取L e n a 圖像作為測試圖 像，加入均值為0 ，標(biāo)準(zhǔn)差( 盯) 分別為1 0 、2 0 和3 0 的 高斯白噪聲。表2 中給出了當(dāng)僅= 1 o ，A = 8 ，解的 均方根誤差占1 0 一時幾種變分?jǐn)?shù)值算法的迭代次 數(shù)和C P U 時間的比較。 圈 萬方數(shù)據(jù) 中國圖象圖形學(xué)報 J o U R N A LO Fl M A G EA N DG R A P H l C SV O 1 9 N 0 6 J u n 2 0 1 4 表2 幾種變分算法迭代次數(shù)和C P u 時間( f ) 的比較 T a b l e2C o m p a s 蚰o ft h en 咖b e r0 fi t e r a t i 蛐sa n dt h e C P Ut i m e s 徹s e v e 瑚lv a a t i _ D na l g o t h m s 不難看出，本文采用的基于預(yù)解式的原始對偶 算法收斂速度明顯優(yōu)于其他測試算法。 由定義可知，一階梯度算子是由有限項組成的 局域算子，而分?jǐn)?shù)階梯度算子是由無限項組成的全 局算子，所以分?jǐn)?shù)階模型的實現(xiàn)在速度上要比一階 情況慢。表3 中給出了去噪L e n a 圖像，當(dāng)A = 8 ，解 的均方根誤差s 1 0 ，在不同分?jǐn)?shù)階次下分?jǐn)?shù)階 原始對偶算法的迭代次數(shù)和C P u 時間的比較。 表3 不同分?jǐn)?shù)階次下迭代次數(shù)和C P U 時間( f ) 的比較 T a b l e3 C o m p a r i s o no ft h e 肌m b e ro fi t e 陽t i o 璐a n dt h e C P Ut i m e su n d e rd i f f e r e n tf a c t i o n a lo r d e r 結(jié)果表明，隨著分?jǐn)?shù)階次的增加，算法的收斂速 度變慢。這與前面關(guān)于原始對偶間隔變化情況的測 試結(jié)論相一致。 4結(jié)論 提出了一種與分?jǐn)?shù)階R O F 去噪模型等價的分 數(shù)階原始對偶去噪模型。它與鞍點優(yōu)化模型在結(jié)構(gòu) 上具有相似性，故可采用一種求解鞍點問題的原始 對偶數(shù)值算法實現(xiàn)。該算法采用自適應(yīng)變步長迭 代，彌補(bǔ)了一些傳統(tǒng)數(shù)值算法對步長要求過高的缺 陷。實驗結(jié)果表明，提出的分?jǐn)?shù)階原始對偶模型能 有效改善圖像的視覺效果，抑制“階梯效應(yīng)”，保留 紋理和細(xì)節(jié)信息。同時采用的基于預(yù)解式的原始對 偶數(shù)值算法在特定參數(shù)取值范圍內(nèi)能有效收斂，且 收斂速度較快。 參考文獻(xiàn)( R e f e r e n c e s ) 1 R u d i nLI ，0 s h e rs ，F(xiàn) a t e m i n o i s er e m o v a la 1 9 0 r i t h m s J 2 6 8 E N o n l i n e a rt o t a lv a r i a t i o nb a s e d P h y s i c aD ，1 9 9 2 ，6 0 ( 1 4 ) ：2 5 9 一 2 M asx ，J i a n gcs An e wm e t h o df o ri m a g eb l i n dr e s t o r a t i o n b a s e do nf o u r t h o r d e rP D E J J o u m a l0 fI m a g ea n dG 憎p h i c s ， 2 0 1 0 ，1 5 ( 1 ) ：2 6 - 3 0 馬少賢，江成順基于四階偏微分方 程的盲圖像恢復(fù)模型 J 中國圖象圖形學(xué)報，2 0 l O ，1 5 ( 1 ) ： 2 6 - 3 0 3 L i ux ，H u a n gL ，G u oz A d 印t i v ef o u r t h o r d e rp a r t i a ld i f k r e n t i a le q u a t i o nf i l t e rf o ri m a g ed e n o i s i n g J A p p l M a t h L e t t e r s ， 2 0 “，2 4 ( 8 ) ：1 2 8 2 一1 2 8 8 4 s u nJ ，P a nzK ，w e iwB ，e ta 1 H i g h o r d e ri m a g ed i f f h s i o n m o d e lo ni m p l i c i ts u r f a c e s J J o u m a lo f I m a g ea n dG m p h i c s ， 2 0 1 0 ，1 5 ( 1 0 ) ：1 4 4 9 一1 4 5 3 孫軍，潘振寬，魏偉波，等隱式 曲面上圖像擴(kuò)散的高階模型 J 中國圖象圖形學(xué)報，2 0 l O ， 1 5 ( 1 0 ) ：1 4 4 9 1 4 5 3 5 z h a n gJ ，w e izH ，x i a oLA d 叩t i v ef t a c t i o n a l o r d e rm u l t i - s c a l e m e t h o df o ri m a g ed e n o i s i “g J J M a t h I m a 舀n gV i s ，2 0 1 2 ， 4 3 ：3 9 _ 4 9 6 c h a m b o l l eA A na 1 9 0 r i t h mf o rt o t a lv a r i a t i o nm i n i m i z a t i o na n d 印p l i c a t i o n s J J M a t l LI m a g i n gV i s ，2 0 0 4 ，2 0 ：8 9 _ 9 7 7 z h a n g Y ，P u YF ，H uJ R ，e ta l _ Ac l a s so f f h c t i o n a l o r d e rv a r - i a t j o n a li m a g ei n p a j n t j n