孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件3.8布洛赫電子在恒定電場作用下的運(yùn)動(dòng).pptVIP

3.8 布洛赫電子在恒定電場作用下的運(yùn)動(dòng),本節(jié)主要內(nèi)容：,一、恒定電場作用下布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)圖象,二、能帶填充情況與晶體導(dǎo)電性的關(guān)系,三、近滿帶和空穴,四、導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體和類金屬的能帶論解釋,一、恒定電場作用下布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)圖像,準(zhǔn)經(jīng)典模型下,波矢 隨時(shí)間的變化滿足,因電場恒定,表明每個(gè)電子的波矢均以恒定速率變化,在恒定電場 作用下， 時(shí),方程變?yōu)椋?該方程的解為：,每個(gè)電子的波矢在恒定電場作用下,均以同一速率沿著電場的反方向移動(dòng), 就是t時(shí)刻電子波矢的增量.,對(duì)自由電子來說：,所以對(duì)自由電子有：,所以,自由電子將不斷被電場加速.,布洛赫電子的行為則完全不同,其速度是k空間的周期函數(shù).因而速度變?yōu)闀r(shí)間的有界函數(shù).,由于能帶結(jié)構(gòu)(k)通常很復(fù)雜，所以，布洛赫電子的速度vk(t)與k(t)的關(guān)系也很復(fù)雜。但在恒定電場作用下，布洛赫電子的速度總可以表示為：,當(dāng)沒有外場時(shí)，在理想的周期勢場中，布洛赫電子處在確定的本征態(tài)，它在k空間的代表點(diǎn)是靜止的，在實(shí)空間(即r空間)以速度v(k)作勻速直線運(yùn)動(dòng)。,如果晶體處在恒定的電場中，在電場力的作用下，狀態(tài)不斷發(fā)生變化，代表點(diǎn)在k空間作勻速直線運(yùn)動(dòng)，從簡約布里淵區(qū)來看，相當(dāng)于電子在k空間作循環(huán)運(yùn)動(dòng).,它將穿越各種能量的等能面,能量梯度的大小和方向都不斷變化,即電子在r空間的速度和位置將不斷變化.,代表同一狀態(tài),由于一個(gè)電子載有的電流比例于它的速度,意味著直流的外加電場將產(chǎn)生交變的電流,這種效應(yīng)稱為布洛赫振蕩(Bloch oscillation)。(仍以一維緊束縛近似為例）,布洛赫振蕩周期為：,布洛赫振蕩頻率為：,(1)一方面,電子受晶體中雜質(zhì)和缺陷及聲子散射作用,電子來不及完成振蕩運(yùn)動(dòng)就被散射破壞掉了;,(2)另一方面,一部分電子根本不會(huì)參與振蕩.按照量子力學(xué),電子遇到位壘時(shí)將有部分穿透位壘(隧道效應(yīng)),部分被反射回來.,實(shí)空間中電子的振蕩運(yùn)動(dòng)很難看到,由上述討論可看出布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)情況與能帶結(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系，為此下面我們根據(jù)電子填充能帶的情況，給出一些定義，然后討論這些能帶中電子在電場中的運(yùn)動(dòng)情況。,1. 滿帶不導(dǎo)電,根據(jù)準(zhǔn)經(jīng)典模型的速度公式可得,二、能帶填充情況與晶體導(dǎo)電性的關(guān)系,滿帶是指能帶中所有電子狀態(tài)都被電子占據(jù)的能帶。,沒有外電場時(shí),由于能帶的對(duì)稱性,(1)無外電場,如果一個(gè)能帶被電子部分填充，就稱為未滿能帶，或部分填充能帶.,亦即處在 態(tài)的電子,對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)恰好相消。,一個(gè)能帶對(duì)電流的貢獻(xiàn),是所有電子攜帶電流的和：,所以，對(duì)于滿帶也好，部分填充能帶也好，由于沒有外電場時(shí)，能帶對(duì)稱分布，導(dǎo)致總的電流密度為零。,軸上各點(diǎn)均以完全相同的速度移動(dòng),因此并不改變均勻填充各 態(tài)的情況.從A移出去的電子同時(shí)又從A移進(jìn)來,保持整個(gè)能帶處于均勻填滿的狀況.顯然：,滿帶：,即所有電子的波矢k都以恒定速率變化：,亦即，有外電場時(shí)滿帶也不產(chǎn)生電流滿帶不導(dǎo)電,(2)有外電場,在外場作用下,電子分布將向一方移,破壞了原來的對(duì)稱分布,而有一個(gè)小的偏移,這時(shí)電子電流將只是部分抵消,而產(chǎn)生一定的電流。,2.未滿能帶（或部分填充能帶）導(dǎo)電,所以,固體材料可按照是否有部分填充的能帶而分為:導(dǎo)體和非導(dǎo)體兩大類能帶論的一大成就。,即未滿能帶(或部分填充能帶)導(dǎo)電，因而這種能帶也稱為導(dǎo)帶.,小結(jié)(關(guān)于準(zhǔn)經(jīng)典模型中布洛赫電子速度和滿帶不導(dǎo)電等問題的進(jìn)一步說明)：,是布洛赫電子在實(shí)空間的速度,沿等能面的法線方向.,給出了外場作用下電子波矢的變化速度.,當(dāng)外場為零時(shí), ,所以波矢不隨時(shí)間變化,自然,相對(duì)于每一個(gè)確定的波矢而言,電子速度 不隨時(shí)間變化,意味著電子在實(shí)空間作勻速直線運(yùn)動(dòng).,由于波矢在第一布里淵區(qū)的對(duì)稱分布,電子速度滿足 ，所以,沒有外電場時(shí),能帶電流為零.,當(dāng)外場不為零且恒定時(shí), , 此時(shí)每一個(gè)電子的波矢均隨時(shí)間勻速變化,它將穿越各種能量的等能面，能量梯度的大小和方向都不斷變化.由于波矢限制在第一布里淵區(qū)中,代表點(diǎn)到達(dá)邊界A后,接著從等價(jià)的A點(diǎn)開始,因而,每一個(gè)電子在波矢空間作循環(huán)運(yùn)動(dòng)。,而該電子速度的變化,表現(xiàn)為實(shí)空間位置的振蕩運(yùn)動(dòng).既布洛赫振蕩.,室溫下,布洛赫振蕩周期,所以,一個(gè)周期內(nèi),電子要經(jīng)歷的碰撞次數(shù)為:,所以,散射作用極易破壞這種振蕩行為.,由于每一個(gè)電子在電場的作用下,其波矢均不斷變化,將穿越各種能量的等能面,亦即,速度不斷改變,所以,對(duì)于滿帶,整體來看,波矢分布和沒有外場時(shí)一樣,自然總的電流為零;而不滿的能帶,則會(huì)出現(xiàn)波矢的不對(duì)稱分布,從而出現(xiàn)電流.,三、近滿帶和空穴,1. 非導(dǎo)體的能帶特征,對(duì)于不具有部分填充能帶的非導(dǎo)體，也就是說基態(tài)時(shí)N個(gè)電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的。則對(duì)該類材料中的能帶來說，除了所有電子狀態(tài)都被電子占據(jù)的滿帶以外，還有能帶中所有電子狀態(tài)均未被電子占據(jù)的能帶，即空帶。,對(duì)于非導(dǎo)體來說，把能量最低的空帶稱為導(dǎo)帶。并把導(dǎo)帶中能量最低的能級(jí)，定義為導(dǎo)帶底；把能量最高的滿帶定義為價(jià)帶；價(jià)帶中能量最高的能級(jí)稱為價(jià)帶頂。,導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂之間的能量范圍稱為能隙(energy gap),或叫帶隙.,對(duì)于不具有部分填充能帶的非導(dǎo)體,若導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂之間的能隙較窄,則在有限的溫度下,滿帶中(價(jià)帶頂附近)少數(shù)電子受激發(fā)而躍遷到空帶中去,使原來的滿帶變成近滿帶。,原來是空帶的導(dǎo)帶中出現(xiàn)了少量可以導(dǎo)電的電子，變成近空帶。,按照部分填充能帶中的電子可以導(dǎo)電的結(jié)論，近滿帶是導(dǎo)電的。,假設(shè)近滿帶是滿帶少了一個(gè) 電子形成的。則,2. 空穴的引入,現(xiàn)在,設(shè)想在這個(gè)能帶中放入一個(gè) 態(tài)電子,則這個(gè)電子的進(jìn)入會(huì)使其成為滿帶,因而總電流變?yōu)榱?,即：,從而：,由此可見，近滿帶的電流如同一個(gè)帶有+e 的粒子所荷載的，它具有逸失 態(tài)電子相同的速度 .這個(gè)假想的粒子稱為空穴(hole)。,一個(gè)缺少了少數(shù)電子的近滿帶的性質(zhì)應(yīng)該由剩下的所有電子來決定，現(xiàn)在可以用少數(shù)空穴去代替它，所以，空穴概念的引入可以大大簡化對(duì)近滿帶有關(guān)問題的處理。,空穴在外場中的行為猶如它帶有正電荷+e。所以對(duì)于近滿帶中的空穴(hole),可以看成是帶 +e 的粒子。其實(shí)真正運(yùn)動(dòng)的是電子，且電子的運(yùn)動(dòng)滿足：,由于空穴一般位于帶頂附近, m* 0, 所以,上式改為,則上式可看成是質(zhì)量為 ，帶電為 +e 的粒子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程，即空穴的運(yùn)動(dòng)方程。,空穴概念的引入可以大大簡化對(duì)近滿帶有關(guān)問題的處理。,假設(shè)價(jià)帶中只有一個(gè) 態(tài)未被電子填充,這時(shí)含有2N-1個(gè)電子的價(jià)帶的總電流密度為 ,設(shè)想若在這個(gè)空的 態(tài)放入一個(gè)電子,則該電子將產(chǎn)生電流 ,而這個(gè)電子的進(jìn)入會(huì)使得價(jià)帶成為滿帶,因而總電流變?yōu)榱?,則有,設(shè)能帶中有一個(gè) 態(tài)沒有電子,即能帶中出現(xiàn)一個(gè)空穴,空穴的波矢用 表示.則存在以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：,所以，2N-1個(gè)電子的集體運(yùn)動(dòng)效果與一個(gè)空穴的運(yùn)動(dòng)效果一樣。,所以:,3. 空穴的性質(zhì),按照空穴的定義，一個(gè)空穴和能帶中其它電子的總效果相同，所以空穴的波矢滿足,空穴的能量應(yīng)該等于滿帶中逸失一個(gè)ke態(tài)電子后系統(tǒng)能量的變化，因此,利用空穴的性質(zhì)(1)和(2) ，可得,按照有效質(zhì)量的定義,例： 半導(dǎo)體材料的價(jià)帶基本上填滿了電子(近滿帶)，價(jià)帶中電子能量表示式(k)=-1.01610-34k2(J)，其中能量頂點(diǎn)取在價(jià)帶頂,這時(shí)若k=1 106/cm處電子被激發(fā)到更高的能帶(導(dǎo)帶)，而在該處產(chǎn)生一個(gè)空穴，試求出此空穴的有效質(zhì)量，波矢，準(zhǔn)動(dòng)量，共有化運(yùn)動(dòng)速度和能量。,解:,(2)準(zhǔn)動(dòng)量：,(3),(4),(5),由于近滿帶、近空帶的出現(xiàn),是電子的熱激發(fā)形成的,所以,這兩個(gè)能帶的導(dǎo)電能力將隨溫度的升高按指數(shù)增加(see p237)。,顯然,半導(dǎo)體與絕緣體之間并不存在嚴(yán)格的界限,典型半導(dǎo)體的能隙:,對(duì)于能隙較窄的非導(dǎo)體,電子比較容易從價(jià)帶熱激發(fā)到導(dǎo)帶,形成近滿帶、近空帶,稱這類材料為半導(dǎo)體。,絕緣體,半導(dǎo)體,如果能隙很大,以致很難將電子從價(jià)帶熱激發(fā)到導(dǎo)帶,則這類材料幾乎完全不導(dǎo)電,稱為絕緣體.,四、導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體的能帶論解釋,有部分填充能帶,導(dǎo)帶,導(dǎo)體,在晶體周期場中運(yùn)動(dòng)的N個(gè)電子，它們的單電子能級(jí)用 表示，分成一系列能帶，N個(gè)電子按能量最低原理來填充。,電子的填充情況有兩類：,1. 電子恰好填滿最低的一系列能帶,再高的各帶全都是空的.最高的滿帶稱為價(jià)帶,最低的空帶稱為導(dǎo)帶,價(jià)帶最高能級(jí)(價(jià)帶頂)與導(dǎo)帶最低能級(jí)(導(dǎo)帶底)之間的能量范圍稱為帶隙.與這種情況相對(duì)應(yīng)的就是絕緣體和半導(dǎo)體.帶隙寬度大的為絕緣體(如10 eV ),帶隙寬度小的為半導(dǎo)體(如 1 eV ).,2. 除去完全被電子填滿的一系列能帶外,還有只是部分地被電子填充的能帶,后者即所謂的導(dǎo)帶.這時(shí)最高占據(jù)能級(jí)為費(fèi)米能級(jí),它位于一個(gè)或幾個(gè)能帶的能量范圍之內(nèi).在每一個(gè)部分占據(jù)的能帶中,k空間都有一個(gè)占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面,所有這些表面的集合就是費(fèi)米面.與這種情況相對(duì)應(yīng)的就是金屬導(dǎo)體.,假設(shè)晶體由N個(gè)原胞組成，則每個(gè)能帶可以容納2N個(gè)電子。因此每個(gè)原胞有奇數(shù)個(gè)價(jià)電子的晶體一定是導(dǎo)體，對(duì)于每個(gè)原胞有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子的晶體，如果存在能帶的交疊，則是導(dǎo)體；如果沒有能帶交疊，則能隙小的是半導(dǎo)體；能隙大的是絕緣體。,比如堿金屬，屬于體心立方晶格，每個(gè)原胞有一個(gè)原子，提供一個(gè)價(jià)電子，ns電子只占一半能帶，為導(dǎo)體；,對(duì)于堿土金屬，每個(gè)原胞提供兩個(gè)價(jià)電子，ns電子填滿了ns能帶，但ns能帶與上面np能帶形成能帶交疊，故仍為導(dǎo)體。,堿金屬(體心立方晶格,每個(gè)原胞有一個(gè)原子),Li,Na,K,ns電子只占一半能帶,為導(dǎo)體.,堿土金屬,Be,Mg,Ca,ns電子填滿了ns能帶,但ns能帶與上面np 能帶形成能帶交疊,故仍為導(dǎo)體.,每個(gè)原胞提供一個(gè)價(jià)電子,能帶為半滿,每個(gè)原胞提供兩個(gè)價(jià)電子,滿帶但能帶有交疊,Ge、Si和金剛石晶體,Ge、Si和金剛石晶體,具有fcc點(diǎn)陣的復(fù)式晶格,價(jià)電子的組態(tài)為ns2 np2,每個(gè)原胞有8個(gè)價(jià)電子,構(gòu)成滿帶且能帶不交疊.但是禁帶寬度不同, Si和Ge禁帶寬度分別為1.17 eV 和 0.744 eV,因此是半導(dǎo)體;但金剛石的禁帶寬度為5.4 eV，所以是絕緣體.,在金屬和半導(dǎo)體之間存在一種稱為類金屬的中間情況,即:導(dǎo)帶底與價(jià)帶頂具有相同的能量(零帶隙寬度)或?qū)c價(jià)帶發(fā)生少量交疊(負(fù)帶隙寬度).從而導(dǎo)致導(dǎo)帶中存在一定數(shù)量的電子(其濃度遠(yuǎn)小于典型的金屬,但遠(yuǎn)大于典型的半導(dǎo)體),其價(jià)帶中存在一定數(shù)量的空穴.,屬于類金屬有石墨(C)、砷(As)、銻(Sb)、鉍(Bi)等,其電子密度比金屬小幾個(gè)數(shù)量級(jí),但是遠(yuǎn)大于半導(dǎo)體.,零帶隙寬度,負(fù)帶隙寬度,一般固體書上把上述類金屬(Semi-metal)叫半金屬,但是如今人們發(fā)現(xiàn)了一種新型的磁性材料,其獨(dú)特之處在于它只有一種自旋方向的電子處于費(fèi)米面呈現(xiàn)金屬性;而與其相反的自旋取向的電子態(tài)密度在費(fèi)米面為零,顯示出絕緣或半導(dǎo)體性質(zhì),其英文稱作Half-metal,為此我們把Semi-metal譯作類金屬,而把Half-metal譯作半金屬。,例： 晶格常量為a的一維晶格，其價(jià)帶頂附近的色散關(guān)系為,其中,，在導(dǎo)帶底附近的,色散關(guān)系為,求:,(1)禁帶寬度；,(2)導(dǎo)帶底電子的有效質(zhì)量和價(jià)帶頂空穴的有效質(zhì)量;,(3)電子由價(jià)帶頂激發(fā)到導(dǎo)帶底時(shí)，準(zhǔn)動(dòng)量的變化；,(4)在外電場作用下，導(dǎo)帶底的電子和價(jià)帶頂空穴的加速度；,(5)設(shè)a=0.25nm，E=100v/m，請(qǐng)求出空穴自價(jià)帶頂漂移到k0處所需的時(shí)間。,價(jià)帶頂,導(dǎo)帶底,(1)導(dǎo)帶底,價(jià)帶頂,(2)導(dǎo)帶底電子的有效質(zhì)量為：,則禁帶寬度：,價(jià)帶頂,(3)電子由價(jià)帶頂激