計(jì)算物理學(xué)練習(xí)題及參考解答.pdfVIP

1 計(jì)算物理學(xué)練習(xí)題及參考解答計(jì)算物理學(xué)練習(xí)題及參考解答 1計(jì)算物理學(xué)的英文表示：computatioal physics 或者 computer physics 2什么是計(jì)算物理學(xué)？它與理論物理、實(shí)驗(yàn)物理有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 答：計(jì)算物理是指以計(jì)算機(jī)及計(jì)算機(jī)技術(shù)為工具和手段，運(yùn)用計(jì)算數(shù)學(xué)的方法解決復(fù)雜物理問(wèn)題的一門應(yīng) 用科學(xué)。 計(jì)算物理方法是除理論方法和實(shí)驗(yàn)方法之外的第三種研究手段，計(jì)算物理現(xiàn)已成為物理學(xué)研究的三大支柱 之一，它與實(shí)驗(yàn)物理和理論物理的關(guān)系如下圖： 3計(jì)算物理學(xué)是物理學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)三者結(jié)合的產(chǎn)物，它也是物理學(xué)的一個(gè)分支，與理論物理、 實(shí)驗(yàn)物理有著密切的聯(lián)系。 4計(jì)算機(jī)在物理學(xué)中有哪些應(yīng)用？ 答：計(jì)算機(jī)數(shù)值分析、計(jì)算機(jī)符號(hào)處理、計(jì)算機(jī)模擬、計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制 5計(jì)算機(jī)技術(shù)有各種各樣的算法，可以概括為最基本的兩類：串行計(jì)算和并行計(jì)算。 6理論物理在實(shí)際計(jì)算中遇到許多困難：非線性問(wèn)題求解和非對(duì)稱問(wèn)題的求解；自變量較多問(wèn)題求解； 非規(guī)則界面問(wèn)題求解等。 7計(jì)算物理的優(yōu)點(diǎn)有：省時(shí)省錢；具有更大的自由度和靈活性；能夠模擬極端條件下的實(shí)驗(yàn)。 8第一原理方法是基于量子力學(xué)基本原理建立起來(lái)的；分子動(dòng)力學(xué)方法是基于經(jīng)典力學(xué)基本原理建立起 來(lái)的；蒙特卡羅方法是基于統(tǒng)計(jì)力學(xué)基本原理建立來(lái)的。 9計(jì)算機(jī)模擬一般有哪兩種類型？ 答：隨機(jī)模擬和確定性模擬，比如蒙特卡羅模擬和分子動(dòng)力學(xué)模擬。 10什么是蒙特卡羅模擬？它的應(yīng)用一般有哪三種形式？ 答：通過(guò)不斷產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列來(lái)模擬過(guò)程。直接蒙特卡羅模擬、蒙特卡羅積分、Metropolis 蒙特卡羅模擬。 11蒙特卡洛方法的理論依據(jù) 答： （1）大數(shù)法則：人們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)隨機(jī)事件中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個(gè)穩(wěn) 定值；人們同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，在對(duì)物理量的測(cè)量實(shí)踐中，測(cè)定值的算術(shù)平均也具有穩(wěn)定性。大數(shù)法則反映了大 量隨機(jī)數(shù)之和的性質(zhì)。 （2）中心極限定理：中心極限定理，是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定 理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。中心 極限定理告訴我們：在有足夠大，但又有限的抽樣數(shù) n 的情況下，蒙特卡洛估計(jì)值是如何分布的。 12請(qǐng)簡(jiǎn)述著名的巴夫昂（Buffon）投針實(shí)驗(yàn)。并寫(xiě)出用 Matlab 實(shí)現(xiàn)的代碼。 （給出方程、算法框圖、程 序） 答：在平滑桌面上畫(huà)一組相距為 s 的平行線，向此桌面隨意地投擲長(zhǎng)度sl 的細(xì)針，那么從針與平行線相 2 交的概率就可以得到的數(shù)值。 N M p ， p 2 M 2N clear S=1; %平行線間距 L=1; %針長(zhǎng) N=1000000; %總投針次數(shù) M=0; for i=1:N x=rand*S/2; %針到最近平行線的距離 a=rand*pi/2; %偏角 if(xsin(a)*L/2) M=M+1; %統(tǒng)計(jì)相交次數(shù) end end testpi=2*N/M %pi 的實(shí)驗(yàn)值 13 在考慮蒙特卡羅模擬的精確度時(shí)， 不能只是簡(jiǎn)單地減少方差和增加模擬次數(shù)， 還要同時(shí)兼顧計(jì)算費(fèi)用， 即機(jī)時(shí)耗費(fèi)。 14假定我們研究連續(xù)的隨機(jī)變量，由隨機(jī)變量的分布可以得到它取某給定值的概率，即 )(duuuuPduug )(ug稱為u的概率密度分布函數(shù)， 它表示隨機(jī)變量 u 取u到duu 之間值的概率。 而 u dxxguG)()( 則稱為u的分布函數(shù)。 15高斯分布可以由給定的期望值和方差 2 完全確定下來(lái)，通常用),N( 2 來(lái)表示 2/)(exp 2 1 ),N( 222 x 比如期望值為 1，方差為 1 的高斯分布表達(dá)式為2/) 1(exp 2 1 ) 1 , 1N( 2 x 16對(duì)物理問(wèn)題的計(jì)算機(jī)模擬所需要的偽隨機(jī)數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足什么樣的標(biāo)準(zhǔn)？有哪些統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法？ 答：良好的統(tǒng)計(jì)分布特性；高效率；循環(huán)周期長(zhǎng)；產(chǎn)生程序可以移植性好；可以重復(fù)產(chǎn)生。 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)有：均勻性檢驗(yàn)；獨(dú)立性檢驗(yàn)；組合規(guī)律檢驗(yàn)；無(wú)連貫性檢驗(yàn)；參數(shù)檢驗(yàn)等等。 17在蒙特卡洛方法應(yīng)用中減小方差的基本技術(shù)：重要抽樣法，分層抽樣法，控制變量法和對(duì)偶變量法。 然而，單獨(dú)使用這四種減小方差的技巧仍然有其局限性。人們發(fā)展了一些復(fù)合蒙特卡洛計(jì)算技術(shù)，如 適應(yīng)性蒙特卡洛方法和多道蒙特卡洛抽樣方法等。這些蒙特卡洛技巧對(duì)于被積函數(shù)在積分范圍內(nèi)具有 多個(gè)尖峰的情況，特別具有實(shí)用價(jià)值。 18真隨機(jī)數(shù)列 答：真隨機(jī)數(shù)列是不可預(yù)測(cè)的，因而也是不能重復(fù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)序列。 19偽隨機(jī)數(shù)列 答：通過(guò)某些數(shù)學(xué)公式計(jì)算而產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)列 20同余產(chǎn)生器及程序代碼 答：一般通過(guò)如下的線性同余關(guān)系式來(lái)產(chǎn)生數(shù)列 3 )(mod(x 1n mcaxn mxn n / float Random(int n, int m, float seed, float a, float b) int i; float r; r = seed; for (i = 1; i = n; i+) r = (a * r + b) % m; return r / m; 21均勻性檢驗(yàn) 答：均勻性檢驗(yàn)又稱頻率檢驗(yàn)，它用來(lái)檢驗(yàn)用隨機(jī)數(shù)（樣本值）確定的經(jīng)驗(yàn)頻率和均勻分布頻率是否有顯 著性差異。常用的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法有 2 x檢驗(yàn)和累積頻率檢驗(yàn)（K-S 檢驗(yàn)） 。 22隨機(jī)變量抽樣 答：指的就是由給定分布函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法。首先，在0,1區(qū)間抽取均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)列，再?gòu)闹?抽取滿足給定分布密度函數(shù)的簡(jiǎn)單子樣，并且各個(gè)偽隨機(jī)數(shù)相互獨(dú)立。 23連續(xù)分布的隨機(jī)變量抽樣一般有哪些方法？ 答：直接抽樣法；變換抽樣法；舍選抽樣法；復(fù)合抽樣法；近似抽樣方法 24試述離散型分布的隨機(jī)變量的直接抽樣 答：對(duì)于離散序列數(shù), 21i xxx給定每個(gè)數(shù)的取值概率, 21i ppp，則我們可定義其分布函數(shù) F(x) 如下： xx i i pxF)(。 在區(qū)間0,1上取均勻分布的隨機(jī)數(shù)，判斷滿足下式的 j 值： )()( 1jj xFxF 則抽樣值為 j x，分布符合分布函數(shù) F(x)的要求為。 25、試述連續(xù)分布的隨機(jī)變量的變換抽樣法。 答：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為)(xf。要對(duì)滿足分布密度函數(shù) f(x)的隨機(jī)變量 抽樣較難時(shí) 可考慮通過(guò)其它已知函數(shù)的抽樣來(lái)得到。考慮變換 )(xhy ，)(ygx 選擇)(y，使得 )()()()(xhxh dx dy yxf 則可對(duì))(y抽樣得到，通過(guò)變換)(g，得到滿足分布密度函數(shù))(xf的隨機(jī)抽樣。 4 更為一般的情況，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)抽樣),(的分布密度函數(shù)為),(yxf?？紤]變換 ),( 1 yxhu ，),( 2 yxhv ， JyxhyxhgJvugyxf),(),(),(),( 21 ， yvxv yuxu J / / ， 這樣就可以通過(guò)抽取滿足分布密度函數(shù)),(vug隨機(jī)抽樣),(得到待求的滿足分布密度函數(shù)),(yxf的 隨機(jī)抽樣),(，其中),( 1 h，),( 2 h。 26試給出一個(gè)用隨機(jī)數(shù)計(jì)算的 Matlab 程序。（10 分） 解：物理模型： 如圖第一項(xiàng)限中單位正方形內(nèi)投點(diǎn)在圓內(nèi)的概率即為單位圓面積的四分之一。 數(shù)學(xué)方程： 1 0 1 0 2 2 2 121 )1 (4xxdxdx 算法框圖： 產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn) （， ） M 個(gè)； 統(tǒng)計(jì)其中滿足條件1 22 的點(diǎn)的個(gè)數(shù) N； 計(jì)算值MN /4。 Matlab 程序：P=4/100000*length(find(sum(rand(2,100000).2)1) 27對(duì)指數(shù)分布 其他0 00,xe f(x) - 直接抽樣 答：第一步：求分布函數(shù) xx x - e1dxef(x)dxF(x) 第二步：抽樣 1 , 0 第三步：計(jì)算分布函數(shù)的反函數(shù) - e-1)F( )1ln( 1 28梅氏游走法計(jì)算氦原子中兩電子間庫(kù)倫作用的平均值。（給出動(dòng)力學(xué)方程、數(shù)值解方程、算法框圖、 程序） 答：! 梅氏游走法計(jì)算氦原子中兩電子間庫(kù)倫作用的平均值 program main dimension x(6) !輸入抽樣參數(shù) Nt,Ng,Nf,Ns,dx Nt=1000 !熱化步數(shù) 5 Ng=100 !樣本組數(shù) Nf=10 !抽樣間隔 Ns=10000 !每組抽樣個(gè)數(shù) dx=0.1 !游走步長(zhǎng) !初始化：隨機(jī)設(shè)置初始值 x do 10 i=1,6 call random(RND) 10 x(i)=0.01*(rnd-0.5) !兩電子在核附近 !熱化：消除初始化影響，趨于平衡分布 do 20 j=1,Nt 20 call walk(RND,dx,x) !分組間隔抽樣，計(jì)算平均值和誤差 su=0 su2=0 sdu=0 do 40 ig=1,Ng !樣本分成 Ng 個(gè)組 ug=0 ug2=0 do 30 k=1,Ns !Ns 間隔 Nf 抽樣，Ns 個(gè)樣本為一組 call walk(RND,dx,x) if(mod(k,Nf).ne.0) goto 30 x12=x(1)-x(4) y12=x(2)-x(5) z12=x(3)-x(6) r12=dist(x12,y12,z12) u=1/r12 ug=ug+u ug2=ug2+u*u !組內(nèi)求和 30 continue ug=ug/Ns sigmag2=ug2/Ns-ug*ug dug=sqrt(sigmag2/Ns) !組內(nèi)平均、方差和誤差 su=su+ug su2=su2+ug*ug 40 sdu=sdu+dug !組間求和 avu=su/Ng sigma2=su2/Ng-avu*avu du1=sqrt(sigma2/Ng) du2=sdu/Ng del=du1-du2 !組間平均、方差和誤差 !輸出 avu,du1,du2,del 100 open(12,file=out.dat) write(12,1000) Nt,Ng,Nf,Ns,dx,avu,du1,du2,del close(12) 6 1000 format(4i10,5f15.4) end ! 計(jì)算距離的函數(shù)子程序 function dist(x,y,z) dist=sqrt(x*x+y*y+z*z) return end ! 計(jì)算權(quán)重的函數(shù)子程序 subroutine weight(x,f) dimension x(6) r1=dist(x(1),x(2),x(3) r2=dist(x(4),x(5),x(6) f=exp(-3.375*(r1+r2) return end ! 梅氏游動(dòng)一步的子程序 subroutine walk(RND,dx,x) dimension x(6),x0(6) call weight(x,f0) do 10 i=1,6 x0(i)=x(i) call random(RND) ! 存舊 10 x(i)=x(i)+dx*(RND-0.5) ! 生新 call weight(x,f) call random(RND) if(f.ge.f0*RND) goto 30 !游動(dòng) do 20 i=1,6 20 x(i)=x0(i) !不動(dòng) 30 return End 29有限差分法 答：微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法?；舅枷胧前堰B續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來(lái) 代替，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù) 來(lái)近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來(lái)近似，積分用積分和來(lái)近似，于是原微分方程和定解條件 就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組 ，解此方程組就可以得到原問(wèn)題在離散點(diǎn)上的近似解。 然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問(wèn)題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。 30采用有限差分法求解微分方程時(shí)可以用直接法、隨機(jī)游走法和迭代求解法。其中迭代法被廣泛采用， 有直接迭代法、高斯賽德?tīng)柕ê统沙诘ā?)( 4 1 , 2)( 1, )( 1, )( , 1 )( , 1 1)(k ji,ji k ji k ji k ji k ji qh 直接迭代式 )( 4 1 , 2)1( 1, )1( 1, )( , 1 )( , 1 1)(k ji,ji k ji k ji k ji k ji qh 高斯賽德?tīng)柕?7 )4( 4 )1 ( )( , 2)1( 1, )1( 1, )( , 1 )( , 1 )( , )( , )1( , 1)(k ji, k jiji k ji k ji k ji k ji k ji k ji k ji qh 超松弛迭代式 31有限元素方法 答：求解微分方程，特別是橢圓型邊值問(wèn)題的一種離散化方法，其基礎(chǔ)是變分原理和剖分逼近。有限元方 法是傳統(tǒng)的里茨加廖金方法的發(fā)展，并融會(huì)了差分法的優(yōu)點(diǎn)，處理上統(tǒng)一，適應(yīng)能力強(qiáng)，已廣泛應(yīng)用于 科學(xué)與工程中龐大復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題。 32采用有限元素法對(duì)場(chǎng)域進(jìn)行三角形元素劃分，下圖所示劃分是否允許（ ） y x 0 y x y x 0 33有限元素法的一般步驟 答： （1）推導(dǎo)出與給定邊界條件的偏微分方程等價(jià)的泛函； （2）把求解的區(qū)域用三角形元素劃分為小的單元，并對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)和三角形元素按照約定的規(guī)則進(jìn)行編號(hào)； (3) 利用公式計(jì)算出各個(gè)三角形元素(e)的系數(shù)矩陣 e K)(和 e P)(； 將各個(gè)三角形單元的系數(shù)矩陣 e K)(和 e P)(裝配成總矩陣)(K和)(P，形成有限元方程組，然后利用強(qiáng)加 邊界條件法對(duì)有限元方程組進(jìn)行修正； (4) 最后，利用超松弛迭代法求解有限元方程組，則得到區(qū)域內(nèi)各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。 34有限元素法與有限差分法的比較 答： （1）數(shù)學(xué)方法上，有限元素法從泛函的變分開(kāi)始，而有限差分法從物理模型的偏微分方程開(kāi)始； （2）區(qū)域的離散化方法上，有限元素法采用三角形元素劃分，而有限差分法一般采用矩形網(wǎng)絡(luò)劃分； （3）有限元素法采用統(tǒng)一的觀點(diǎn)對(duì)區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)列出計(jì)算格式，而有限差分法則是孤立地對(duì) 微分方程及定解條件分別列差分方程； （4）有限元素法要求計(jì)算機(jī)的內(nèi)存量比較大，需要輸入的數(shù)據(jù)量也比較大，而有限差分法的適用范圍要 廣，特別是在邊界形狀比較規(guī)則時(shí)。 35關(guān)于分子動(dòng)力學(xué)下面的各種說(shuō)法中正確的有（ ） A分子動(dòng)力學(xué)方法的英文名稱是 molecular dynamics method； B分子動(dòng)力學(xué)方法是按照體系內(nèi)部的內(nèi)稟動(dòng)力學(xué)規(guī)律來(lái)計(jì)算并確定位形的轉(zhuǎn)變； C分子動(dòng)力學(xué)模擬方法可以看作是體系在一段時(shí)間內(nèi)的發(fā)展過(guò)程的模擬，這個(gè)過(guò)程不存在任何隨機(jī)因素； D原則上，分子動(dòng)力學(xué)方法所適用的微觀物理體系并無(wú)什么限制，既可以是少體系統(tǒng)，也可以是多體系 統(tǒng)；既可以是點(diǎn)粒子體系，也可以是具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的體系；處理的微觀客體既可以是分子，也可以是其他 的微觀粒子。 （1）分子動(dòng)力學(xué)是在原子、分子水平上求解多體問(wèn)題的重要的計(jì)算機(jī)模擬方法。 （2）通過(guò)求解所有粒子的運(yùn)動(dòng)方程，分子動(dòng)力學(xué)方法可以用于模擬與原子運(yùn)動(dòng)路徑相關(guān)的基本過(guò)程。 （3）在分子動(dòng)力學(xué)中，粒子的運(yùn)動(dòng)行為是通過(guò)經(jīng)典的 Newton 運(yùn)動(dòng)方程所描述。 8 （4）可以處理非平衡態(tài)問(wèn)題。但是使用該方法的程序較復(fù)雜，計(jì)算量大，占內(nèi)存也多。 （5）分子動(dòng)力學(xué)方法中不存在任何隨機(jī)因素。 36分子動(dòng)力學(xué) 答：分子動(dòng)力學(xué)是一門結(jié)合物理，數(shù)學(xué)和化學(xué)的綜合技術(shù)。分子動(dòng)力學(xué)是一套分子模擬方法，該方法主要 是依靠牛頓力學(xué)來(lái)模擬分子體系的運(yùn)動(dòng)，以在由分子體系的不同狀態(tài)構(gòu)成的系綜中抽取樣本，從而計(jì)算體 系的構(gòu)型積分，并以構(gòu)型積分的結(jié)果為基礎(chǔ)進(jìn)一步計(jì)算體系的熱力學(xué)量和其他宏觀性質(zhì)。 37采用分子動(dòng)力學(xué)方法，必需對(duì)被計(jì)算的粒子系統(tǒng)給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。這些邊界條件大致可分成自由 表面邊界、固定邊界、柔性邊界、周期性邊界四種。 38系統(tǒng)達(dá)到平衡所需的時(shí)間稱為弛豫時(shí)間。 39系綜調(diào)節(jié)主要是指在進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算過(guò)程中，對(duì)溫度和壓力參數(shù)的調(diào)節(jié)，分為調(diào)溫技術(shù)和調(diào)壓技 術(shù)。 40分子間作用力主要有長(zhǎng)程的引力和短程的斥力。 411924 年，Lennard-Jones 發(fā)表了著名的負(fù)冪函數(shù)式的勢(shì)函數(shù)的解析式為) r (-) r (4U(r) 612 。 42系綜(ensemble)是指在一定的宏觀條件下(約束條件)，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的、處于各種運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)的、各自獨(dú)立的系統(tǒng)的集合。 43、請(qǐng)寫(xiě)出分子動(dòng)力學(xué)模擬的實(shí)際步驟。 答：分子動(dòng)力學(xué)模擬的實(shí)際步驟可以劃分為四步： （1）設(shè)定模擬所采用的模型模型的設(shè)定，也就是勢(shì)函數(shù)的選取。勢(shì)函數(shù)的研究和物理系統(tǒng)上對(duì)物質(zhì)的描 述研究息息相關(guān)。 （2）給定初始條件。運(yùn)動(dòng)方程的求解需要知道粒子的初始位置和速度，不同的算法要求不同的初始條件。 如：verlet 算法需要兩組坐標(biāo)來(lái)啟動(dòng)計(jì)算，一組零時(shí)刻的坐標(biāo)，一組是前進(jìn)一個(gè)時(shí)間步的坐標(biāo)或者一組零 時(shí)刻的速度值。 （3）趨于平衡的計(jì)算過(guò)程。為使得系統(tǒng)平衡，模擬中設(shè)計(jì)一個(gè)趨衡過(guò)程，即在這個(gè)過(guò)程中，增加或者從 系統(tǒng)中移出能量，直到持續(xù)給出確定的能量值。稱這時(shí)的系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到平衡。 （4）宏觀物理量的計(jì)算。實(shí)際計(jì)算宏觀物理量往往是在分子動(dòng)力學(xué)模擬的最后階段進(jìn)行的。它是沿著相 空間軌跡求平均來(lái)計(jì)算得到的。 44實(shí)際上，分子動(dòng)力學(xué)模擬方法和隨機(jī)模擬方法一樣都面臨著兩個(gè)基本限制： (1)有限觀測(cè)時(shí)間的限制； (2)有限系統(tǒng)大小的限制。 通常人們感興趣的是體系在熱力學(xué)極限下（即粒子數(shù)目趨于無(wú)窮時(shí)）的性質(zhì)。但是計(jì)算機(jī)模擬允許的體系 大小要比熱力學(xué)極限小得多，因此可能會(huì)出現(xiàn)有限尺寸效應(yīng)。為了減小有限尺寸效應(yīng)，人們往往引入周期 性、全反射、漫反射等邊界條件。當(dāng)然邊界條件的引入顯然會(huì)影響體系的某些性質(zhì)。 45請(qǐng)寫(xiě)出實(shí)現(xiàn)周期性邊界條件的具體操作 答：當(dāng)有一個(gè)粒子穿過(guò)基本原胞的六方體表面時(shí)；就讓這個(gè)粒子也以相同的速度穿過(guò)此表面對(duì)面的表面， 重新進(jìn)入該原胞內(nèi)。 46在考慮粒子間的相互作用時(shí)，通常采用的最小像力約定是什么？。 答：最小像力約定是：設(shè)原胞內(nèi)有 N 個(gè)粒子，在重復(fù)的分子動(dòng)力學(xué)原胞中，每一個(gè)粒子只同它所在的原胞 內(nèi)的另外 N-1 個(gè)中的每個(gè)粒子或其最鄰近的影像粒子發(fā)生相互作用。 47采用最小像力約定會(huì)使得在截?cái)嗵幜Ｗ拥氖芰τ幸粋€(gè)-函數(shù)的奇異性，這會(huì)給模擬計(jì)算帶來(lái)誤差。 怎樣減少這種誤差？ 答：為減小這種誤差，總可以將截?cái)嗵幜Ｗ拥南嗷プ饔脛?shì)能換算成 V(r)- Vc ，以保證在截?cái)嗵幭嗷プ饔?為零。 48EAM 模型是一種半經(jīng)驗(yàn)多體勢(shì)模型，其中心思想是什么？ 9 答：其中心思想是將原子周圍復(fù)雜的環(huán)境用膠凍模型簡(jiǎn)化描述（所謂膠凍指的是在均勻正電荷背景上的均 勻電子氣）。在嵌入原子勢(shì)方法中，主要的參數(shù)都放在原子的電子密度表示及相關(guān)形式中。這樣就把 “原子對(duì)間”的性質(zhì)主要?dú)w結(jié)到“原子”的性質(zhì)，大大的簡(jiǎn)化了計(jì)算。 49分子動(dòng)力學(xué)模擬的時(shí)間步長(zhǎng)如何選擇？ 答：分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算的基本思想是賦予分子體系初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之后利用分子的自然運(yùn)動(dòng)在相空間中抽取樣 本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，時(shí)間步長(zhǎng)就是抽樣的間隔，因而時(shí)間步長(zhǎng)的選取 對(duì)動(dòng)力學(xué)模擬非常重要。太長(zhǎng)的時(shí)間 步長(zhǎng)會(huì)造成分子間的激烈碰撞，體系數(shù)據(jù)溢出；太短的時(shí)間步長(zhǎng)會(huì)降低模擬過(guò)程搜索相空間的能力，一般 來(lái)說(shuō)，時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)該設(shè)為分子運(yùn)動(dòng)的最小振動(dòng)周期的 1/10 左右為宜。 50Verlet 算法中分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算的簡(jiǎn)單步驟是什么？ 答：Verlet 算法，速度項(xiàng)相消，計(jì)算坐標(biāo)時(shí)無(wú)需速度出現(xiàn)。 簡(jiǎn)單步驟： 設(shè)定粒子的初始位置和速度； 根據(jù)粒子的位置計(jì)算每個(gè)粒子的受力； 根據(jù)粒子的位置、速度和受力，計(jì)算粒子的新位置和新速度； 更新粒子的位置和速度，然后回到 2 步驟。 51簡(jiǎn)述分子動(dòng)力學(xué)模擬步驟。 答：第一步 模型的設(shè)定。 也就是勢(shì)函數(shù)的選取。勢(shì)函數(shù)的研究和物理系統(tǒng)上對(duì)物質(zhì)的描述研究息息相關(guān)。最早是硬球勢(shì)，即小于臨 界值時(shí)無(wú)窮大，大于等于臨界值時(shí)為零。常用的是 LJ 勢(shì)函數(shù)，還有 EAM 勢(shì)函數(shù)，不同的物質(zhì)狀態(tài)描述用 不同的勢(shì)函數(shù)。模型勢(shì)函數(shù)一旦確定，就可以根據(jù)物理學(xué)規(guī)律求得模擬中的守恒量。 第二步 給定初始條件。 運(yùn)動(dòng)方程的求解需要知道粒子的初始位置和速度，不同的算法要求不同的初始條件。如：verlet 算法需要 兩組坐標(biāo)來(lái)啟動(dòng)計(jì)算，一組零時(shí)刻的坐標(biāo)，一組是前進(jìn)一個(gè)時(shí)間步的坐標(biāo)或者一組零時(shí)刻的速度值。 第三步 趨于平衡計(jì)算。 在邊界條件和初始條件給定后就可以解運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)模擬。但這樣計(jì)算出的系統(tǒng)是不會(huì)具有 所要求的系統(tǒng)的能量，并且這個(gè)狀態(tài)本身也還不是一個(gè)平衡態(tài)。 為使得系統(tǒng)平衡，模擬中設(shè)計(jì)一個(gè)趨衡過(guò)程，即在這個(gè)過(guò)程中，我們?cè)黾踊蛘邚南到y(tǒng)中移出能量，直到持 續(xù)給出確定的能量值。我們稱這時(shí)的系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到平衡。這段達(dá)到平衡的時(shí)間成為馳豫時(shí)間。 第四步 宏觀物理量的計(jì)算。 實(shí)際計(jì)算宏觀的物理量往往是在模擬的最后階段進(jìn)行的。它是沿相空間軌跡求平均來(lái)計(jì)算得到的。 52神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 答：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種應(yīng)用類似于大腦神經(jīng)突觸聯(lián)接的結(jié)構(gòu)進(jìn)行信息處理的數(shù)學(xué)模型。在工程與學(xué)術(shù)界 也常直接簡(jiǎn)稱為“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”或類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種運(yùn)算模型，由大量的節(jié)點(diǎn)（或稱“神經(jīng)元” ， 或 “單元” ） 和之間相互聯(lián)接構(gòu)成。 每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一種特定的輸出函數(shù)， 稱為激勵(lì)函數(shù) （activation function） 。 每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)間的連接都代表一個(gè)對(duì)于通過(guò)該連接信號(hào)的加權(quán)值，稱之為權(quán)重（weight） ，這相當(dāng)于人工神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)的記憶。網(wǎng)絡(luò)的輸出則依網(wǎng)絡(luò)的連接方式，權(quán)重值和激勵(lì)函數(shù)的不同而不同。而網(wǎng)絡(luò)自身通常都是對(duì) 自然界某種算法或者函數(shù)的逼近，也可能是對(duì)一種邏輯策略的表達(dá)。 53計(jì)算機(jī)仿真 答：利用計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)的成果建立被仿真的系統(tǒng)的模型，并在某些實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)的 一門綜合性技術(shù)。它具有高效、安全、受環(huán)境條件的約束較少、可改變時(shí)間比例尺等優(yōu)點(diǎn)，已成為分析、 設(shè)計(jì)、運(yùn)行、評(píng)價(jià)、培訓(xùn)系統(tǒng)（尤其是復(fù)雜系統(tǒng)）的重要工具。 54并行計(jì)算有什么優(yōu)點(diǎn)？ 答案要點(diǎn)：(1) 并行計(jì)算可以大大加快運(yùn)算速度，即在更短的時(shí)間內(nèi)完成相同的計(jì)算量，或解決原來(lái)根本 不能計(jì)算的非常復(fù)雜的問(wèn)題。 (2) 提高傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度一方面受到物理上光速極限和量子效應(yīng) 的限制，另一方面計(jì)算機(jī)器件產(chǎn)品和材料的生產(chǎn)受到加工工藝的限制，其尺寸不可能做得無(wú)限小。因此我 們只能轉(zhuǎn)向并行算法。(3) 并行計(jì)算對(duì)設(shè)備的投入較低，既可以節(jié)省開(kāi)支又能完成計(jì)算任務(wù)。并行計(jì)算 (Parallel Computing)是指同時(shí)使用多臺(tái)計(jì)算機(jī)或一臺(tái)計(jì)算機(jī)多個(gè)處理器協(xié)同合作解決計(jì)算問(wèn)題的過(guò)程， 其主要目的是快速解決大型且復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題。 55Matlab 中有專門求解偏微分方程的工具箱，打開(kāi)此工具箱的命令為 pdetool 10 56.下面哪一圖是邊值問(wèn)題 xxyxuyxu yyxuyxu yxuyy cos3sin) 1,(, 0)0,( 3sin), 1(, 0), 0( 1,0, 0uxx 的解 A B 57用 simulink 仿真自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程 m x g dt dx 11 ， 1 2 x dt dx ，其中速度: 1 x，位移: 2 x。g=9.8，m=2，-1。 58用 matlab 仿真乒乓球彈跳過(guò)程（給出動(dòng)力學(xué)方程、數(shù)值解方程、算法框圖、程序） %pingpangstatefun.m function xdot=pingpangstatefun(t,x,flag) %乒乓球彈跳模型的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程 %x(1)為小球速度，x(2)為小球位移 g=9.8; %重力加速度 m=2; %乒乓球質(zhì)量 beta=-1; %空氣阻力系數(shù) rho=1.29; %空氣密度 V=1; %落體的體積 xdot=zeros(2,1); %狀態(tài)變量矩陣初始化 xdot(1)=-g+beta*x(1)/m+rho*V*g/m;%速度加速度方程 11 xdot(2)=x(1); %位移速度方程 %main.m clear; v0=0;% 球的初始態(tài) y0=1; x_state=v0,y0;% 球的初始狀態(tài)賦值到狀態(tài)變量中 dt=0.01;% 仿真步進(jìn) t=0:dt:5;% 仿真時(shí)間序列 K=1;% 碰撞衰減系數(shù) x=zeros(length(t),length(x_state);% for k=1:length(t)% 仿真