武漢大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)題庫(kù).doc

1-1 判斷下列信號(hào)是否是能量信號(hào)，功率信號(hào)，或者都不是。注意這里圓括號(hào)和方括號(hào)表示其分別對(duì)應(yīng)連續(xù)和離散信號(hào)，下同。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。解 (1) 對(duì)于，因此,是能量信號(hào)。(2) 如果是基本周期為的周期信號(hào),則的歸一化平均功率與任意時(shí)間間隔的的平均功率是相同的，正弦信號(hào)是周期為的周期信號(hào)，所以的平均功率為因此，是功率信號(hào)。注意，一般情況下，周期信號(hào)都是功率信號(hào)。(3) 對(duì)， 因此，既不是能量信號(hào)，也不是功率信號(hào)。(4) 對(duì)，根據(jù)能量信號(hào)定義得因此，是能量信號(hào)。(5) 對(duì)，由功率信號(hào)定義得因此，是功率信號(hào)。(6) 因?yàn)?，所以因此，是功率信?hào)。1-2 驗(yàn)證下式：(1) ；(2)。解 可以根據(jù)以下等效性質(zhì)來(lái)證明：設(shè)是廣義函數(shù)，則對(duì)于所定義的測(cè)試函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這就是等效性質(zhì)。(1) 對(duì)可變的變量,設(shè),則，可以得到以下等式：所以，考慮到是的偶函數(shù)，因而有。(2) 令 ，由得1-3 計(jì)算下列積分 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)。解 (1)(2)(3)(4)(5)1-4 如下圖所示的系統(tǒng)是(1)無(wú)記憶的；(2)因果的；(3)線(xiàn)性的；(4)時(shí)不變的；(5)穩(wěn)定的。解(1) 由圖得，因?yàn)檩敵龅闹祪H取決于輸入當(dāng)前的值，所以系統(tǒng)是無(wú)記憶的。(2) 因?yàn)檩敵霾蝗Q于輸出將來(lái)的值，所以系統(tǒng)是因果的。(3) 設(shè)，則有其中所以系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加性質(zhì)，是線(xiàn)性的。(4) 設(shè)，而，因?yàn)椋韵到y(tǒng)是時(shí)變的。(5) 因?yàn)?，若輸入是有界的，則輸出也是有界的，系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。1-5 如果可以通過(guò)觀察系統(tǒng)的輸出信號(hào)來(lái)惟一的確定輸入信號(hào)，則該系統(tǒng)稱(chēng)為可逆的，如下圖所示。試確定以下的系統(tǒng)是否是可逆的，如果是，給出其逆系統(tǒng)。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)。解(1) 可逆，。(2) 不可逆。(3) 可逆，。(4) 可逆，(5) 不可逆。1-6 如下圖所示的網(wǎng)絡(luò)中，已知?jiǎng)?lì)磁信號(hào)為，單位為，電阻（單位），電感（單位）均為常數(shù)，電容器是一個(gè)伺服機(jī)械帶動(dòng)的空氣可變電容器，其容量的變化規(guī)律為。試列出該網(wǎng)絡(luò)輸出電壓的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并說(shuō)明該網(wǎng)絡(luò)屬于哪類(lèi)系統(tǒng)。解 電容器上的電荷，所以回路電流（即電容器中的電流）為:電阻兩端的電壓為：電感兩端的電壓為：基于KVL，可得，得由數(shù)學(xué)模型可知該系統(tǒng)是線(xiàn)性時(shí)變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。1-7 建立下圖所示電路的數(shù)學(xué)模型，指出該電路產(chǎn)于哪種系統(tǒng)。若將圖中的開(kāi)關(guān)在開(kāi)啟，在閉合，開(kāi)啟，如此不斷重復(fù)，試問(wèn)該網(wǎng)絡(luò)是什么樣的系統(tǒng)?解 當(dāng)開(kāi)關(guān)開(kāi)啟不動(dòng)時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型為：這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程，所以該系統(tǒng)為線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)開(kāi)關(guān)按函數(shù)動(dòng)作時(shí),顯然這時(shí)網(wǎng)絡(luò)的電量是時(shí)間的函數(shù),所以該系統(tǒng)為線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)。2-1 設(shè)，證明。證明 由卷積公式有設(shè)，代入上式得2-2 設(shè)為下圖中(a)所示的三角形脈沖，為單位脈沖串，如圖中(b)所示，表示為，試確定并畫(huà)出當(dāng)為以下各值時(shí)的：(1) ；(2) ；(3) 。解 利用卷積公式可得(1) 時(shí)，(2) 時(shí)，(3) 時(shí)，2-3 設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)為，求出并畫(huà)出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，該系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)？解 利用卷積公式可以表示為因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為由右圖及上式可看出，當(dāng)時(shí)，因此系統(tǒng)不是因果的。2-4 如下圖中(a)所示，系統(tǒng)是通過(guò)連接兩個(gè)相疊的系統(tǒng)構(gòu)成的，這兩個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為和，且，。求出圖中(b)所示整個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，并判斷系統(tǒng)是否為BIBO穩(wěn)定的。解 設(shè)是第一個(gè)系統(tǒng)的輸出，則，有根據(jù)卷積的結(jié)合律，有因此，整個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為因?yàn)樗韵到y(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。2-5 如下圖所示，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)由兩個(gè)積分器和兩個(gè)比例乘法器構(gòu)成，寫(xiě)出輸入和輸出之間的微分方程。解 設(shè)和分別為圖中第一個(gè)積分器的輸入和輸出，則因?yàn)槭菆D中第二個(gè)積分器的輸入，則有，得這就是要求的二階線(xiàn)性微分方程。注意：一般情況下，由相互連接的積分器和比例乘法器構(gòu)成的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的階數(shù)等于系統(tǒng)中積分器的個(gè)數(shù)。2-6 設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系為，其中是常數(shù)。(1) 若，求；(2) 用零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)方式表示。解 設(shè)，其中是滿(mǎn)足的特解，是滿(mǎn)足式的一般解。假設(shè)，代入，得，由此可得，故要得到，可以假設(shè)，代入，得，可得，故將和組合起來(lái)，得結(jié)合輔助條件，得，則如果，有，因此又得，由輔助條件得，則，所以可以用零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的形式表示為：2-7 對(duì)習(xí)題2-6中的系統(tǒng)求其沖激響應(yīng)。解 沖激響應(yīng)應(yīng)該滿(mǎn)足微分方程(2-7-1) 式(2-7-1)的一般解為，可以假設(shè)，代入式(2-7-1)得，可得，故。可以預(yù)測(cè)，的特解為零，因?yàn)椴话?，否則，將是的導(dǎo)數(shù)從而不滿(mǎn)足方程，因此，代入式(2-7-1)得可得，從而得該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2-8 對(duì)習(xí)題2-6中的系統(tǒng)，若。(1) 不利用沖激響應(yīng)，找出該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。(2) 利用習(xí)題2-7的沖激響應(yīng)，找出該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。(3) 根據(jù)找出沖激響應(yīng)。解 (1) 在習(xí)題2-6中,。令，則，有(2) 利用習(xí)題七中的結(jié)論，可得階躍響應(yīng)為(3) 由階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的關(guān)系可得，沖激響應(yīng)為2-9 求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解 沖激響應(yīng)應(yīng)滿(mǎn)足微分方程(2-9-1) 設(shè)式(2-9-1)的一般解為，特解為，則其完全解為(2-9-2)代入式(2-9-1)，可得，從而有解得，代入式(2-9-2)，可得系統(tǒng)沖激響應(yīng)為3-1 如果信號(hào)集的兩個(gè)子集和在區(qū)間滿(mǎn)足則稱(chēng)信號(hào)集為正交信號(hào)集，式中*表示共軛。證明間隔為周期的復(fù)指數(shù)集是正交的。證明 對(duì)于任意的，時(shí)，有可得：所以復(fù)指數(shù)集是正交的。3-2 求下列信號(hào)的指數(shù)傅里葉冪級(jí)數(shù)表示。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)。解 本題主要根據(jù)歐拉公式求解。 (1)根據(jù)歐拉公式，有由此可得其傅里葉系數(shù)為。(2)根據(jù)歐拉公式，有由此可得其傅里葉系數(shù)為。(3) 的基本角頻率是2，根據(jù)歐拉公式，有由此可得其傅里葉系數(shù)為。(4)根據(jù)歐拉公式，有由此可得其傅里葉系數(shù)為。(5)根據(jù)歐拉公式，有由此可得其傅里葉系數(shù)為。3-3 求如圖3-3(a)所示的三角波的三角傅里葉級(jí)數(shù)。圖3-3(a)圖3-3(b)解 圖3-3(a)所示的三角波的導(dǎo)數(shù)如圖3-3(b)所示，可表示為由沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)，上式可寫(xiě)為與已知的三角信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式求導(dǎo)后的所得結(jié)果相比較可得由3-3(a)知，代入三角型傅里葉級(jí)數(shù)式，得到3-4 已知的傅里葉變換為如右圖所示，求并粗略畫(huà)出其波形示意圖。解 由調(diào)制定理和門(mén)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)得波形示意圖如右圖所示。3-5 求高斯脈沖的傅里葉變換。解 由傅里葉變換定義有上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，可得因?yàn)樗杂?，從而，即可?jiàn)高斯脈沖信號(hào)的傅里葉變換也是一個(gè)高斯脈沖，如下圖所示。3-6 利用傅里葉變換的性質(zhì)求如下圖所示各個(gè)信號(hào)的頻譜函數(shù)。(1)(2)(3)(4)解(1) 對(duì)于，有由延時(shí)特性得，故又，由微分特性得(2) 因?yàn)?，根?jù)尺度變換特性和延時(shí)特性可得(3) 因?yàn)?，根?jù)尺度變換特性可得(4) 因?yàn)?，根?jù)移頻特性可得3-7 已知系統(tǒng)的輸入為如下圖中(a)所示的周期信號(hào)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)如圖中(b)所示，其相位特性，求系統(tǒng)響應(yīng)。解 首先將周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以求響?yīng)時(shí)只需取即可：可得3-8 如下圖中(a)所示周期信號(hào)，其基波頻率為，若將該信號(hào)作用于圖(b)所示的LC并聯(lián)諧振電路，其轉(zhuǎn)移函數(shù)為，其中，若要使輸出信號(hào)中主要為的正弦信號(hào)，其余各頻率分量的幅度均等于或小于信號(hào)幅度的，試求的值。解 將展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由于中主要為的正弦信號(hào)，即回路對(duì)三次諧波調(diào)諧，其鄰近諧波為基波和五次諧波，而五次諧波的幅度小于基波的幅度，故只需考慮基波幅度小于三次諧波的即可。對(duì)于三次諧波，對(duì)于基波，依題意，有代入已知條件得3-9 求如下圖所示三角形調(diào)幅信號(hào)的頻譜。解 設(shè)三角脈沖信號(hào)為則。根據(jù)傅里葉變換的頻移性質(zhì)得3-10 求圖示截平斜變信號(hào)的頻譜。截平斜變信號(hào)微分信號(hào)解 因?yàn)榍宜?，可以使用傅氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)得：3-11 利用微分性質(zhì)求如下圖所示的梯形脈沖的傅里葉變換,并大致畫(huà)出時(shí)的頻譜圖。解 因?yàn)?，所以可以利用傅里葉變換的時(shí)域微分性質(zhì)求解。其一階、二階導(dǎo)數(shù)如下圖所示。時(shí)，其波形如下所示。3-12 求圖示信號(hào)的頻譜(包絡(luò)為三角脈沖，載波為對(duì)稱(chēng)方波)，并說(shuō)明與題3-12的信號(hào)頻譜的區(qū)別。解 又有 所以 比較：題3-12中，載波只有一個(gè)頻率，故調(diào)制后是將頻譜搬移到處，而在本題中周期方波有無(wú)數(shù)奇次諧波分量，故被三角脈沖調(diào)制后，將把三角脈沖的頻譜加權(quán)移位到各奇次諧波以后迭加。3-13 雜例41找出下列信號(hào)的拉普拉斯變換，畫(huà)出零極點(diǎn)圖和收斂域。解(a)由可以看出收斂域有重疊，因此則在處有一個(gè)零點(diǎn)，在處有兩個(gè)極點(diǎn)，收斂域?yàn)?，如圖(a)所示。(b)由可以看出收斂域有重疊，因此則，沒(méi)有零點(diǎn)，在處有兩個(gè)極點(diǎn)，收斂域?yàn)?，如圖(b)所示。(c)由可以看出收斂域沒(méi)有重疊，沒(méi)有公共收斂域。因此，沒(méi)有拉普拉斯變換。42設(shè)，找出，畫(huà)出零極點(diǎn)圖以及a0和a0和a0,可以看出，收斂域有重疊，因此則沒(méi)有零點(diǎn)，在處有兩個(gè)極點(diǎn)，收斂域?yàn)?，如圖(c)所示，如果a0。若系統(tǒng)具有=的特性。（1）求。（2）若使是穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，求K值范圍。 解 由圖可列方程 解方程可得系統(tǒng)函數(shù)：所以因?yàn)橐浑A穩(wěn)定系統(tǒng)，所以要求3-K0，則 K3。411 已知系統(tǒng)函數(shù)為，在下列信號(hào)激勵(lì)時(shí)，分別求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解由于激勵(lì)函數(shù)為單一頻率，所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)像一響應(yīng)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。因?yàn)?，所以，則：412 電路如下圖所示，寫(xiě)出策動(dòng)端導(dǎo)納函數(shù)，并對(duì)下列各激勵(lì)信號(hào)求系統(tǒng)響應(yīng)。解由電路圖可構(gòu)造s模型可得出導(dǎo)納函數(shù)則可寫(xiě)出系統(tǒng)響應(yīng)51 已知系統(tǒng)函數(shù)，激勵(lì)信號(hào)，試用傅里葉分析法求響應(yīng)。解激勵(lì)信號(hào)的傅里葉變換為響應(yīng)的傅里葉變換為傅里葉反變換為52 激勵(lì)信號(hào)為周期性鋸齒波，經(jīng)RC高通網(wǎng)絡(luò)傳，如題圖5-2所示。題圖5-2解由網(wǎng)絡(luò)圖可列出系統(tǒng)傳輸函數(shù)的傅里葉變換由于激勵(lì)信號(hào)為周期信號(hào)，所以激勵(lì)信號(hào)的傅里葉變換可通過(guò)傅氏級(jí)數(shù)表示，而傅氏級(jí)數(shù)又可通過(guò)一個(gè)周期內(nèi)的傅氏變換表示，先求得一周期內(nèi)的傅氏變換，根據(jù)傅氏變換的微分特性，有可得信號(hào)一個(gè)周期的傅氏變換為求得傅氏級(jí)數(shù)為因?yàn)?所以 。激勵(lì)信號(hào)的傅氏變換響應(yīng)信號(hào)的傅氏表示53 若線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如題圖5-3所示題圖5-3(1)證明該系統(tǒng)具有線(xiàn)性相位特性。(2)若系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為，求輸出響應(yīng)，討論傳輸是否引起失真。解 由傅氏變換的微分特性，有則當(dāng)由頻率響應(yīng)原理，所以輸出響應(yīng)為：54 電路如題圖5-4所示，在電流源激勵(lì)作用下，得到輸出電壓。寫(xiě)出聯(lián)系與的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。若要使與波形一樣，試確定和。輸出過(guò)程有無(wú)時(shí)間延時(shí)。題圖5-4 解由電路圖可寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)由無(wú)失真系統(tǒng)傳輸條件可得：則系統(tǒng)函數(shù)為所以系統(tǒng)無(wú)延時(shí)。5-5 已知理想低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示式而激勵(lì)信號(hào)的傅氏變換式,利用時(shí)域卷積定理求響應(yīng)的時(shí)間函數(shù)表示式。 解由卷積定理所以5-6 題圖5-6所示系統(tǒng)中，為理想低通濾波特性，題圖5-6(1) 若為單位階躍信號(hào),寫(xiě)出的表示式。(2) 若,寫(xiě)出的表示式。解:(1)由框圖則為：(2)由框圖知?jiǎng)t為：5-7 若題圖5-7-1所示系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)是周期性矩形脈沖,周期為,脈寬為，和的波形如題圖5-7-2所示。理想低通濾波器的截止頻率。求響應(yīng)中包含哪些頻率分量?圖5-7-1圖5-7-2解由波形圖可得： ,和異或運(yùn)算后能通過(guò)理想低通的非零頻率分量有。5-8某低通濾波器具有升余弦幅度傳輸特性,即其中為理想低通傳輸特性。試求此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，并與理想低通濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行比較。解由定義求傅氏反變換：和理想低通濾波器的沖激響應(yīng)相比，此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)收斂的更快。5-9 已知分別為(1) ,且有一零點(diǎn)；(2) 。求對(duì)應(yīng)的。解(1)由可得一般認(rèn)為系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，所以零級(jí)點(diǎn)都在虛軸左側(cè)因?yàn)橛幸涣泓c(diǎn)，為使系統(tǒng)的幅頻頻特性相同，可乘上一個(gè)全通函數(shù)。所以：(2)同理又因?yàn)樗?-10 試求時(shí)巴特沃茲特性低通濾波器的階躍響應(yīng)，并粗略畫(huà)出波形。解由查表可知時(shí)的歸一化函數(shù)為將代入，得系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)為時(shí)巴特沃茲特性低通濾波器的階躍響應(yīng)為：波形如下圖5-11 已知是因果性實(shí)時(shí)間信號(hào),它的傅氏變換為設(shè)，求對(duì)應(yīng)的及相應(yīng)的反變換。解由希伯來(lái)變換對(duì)特性反變換為5-12 已知如題圖5-12所示系統(tǒng)，題圖5-12 (1) 求此系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。(2) 如果用一臺(tái)示波器和一臺(tái)脈沖寬度可以從1毫秒調(diào)到1秒的脈沖信號(hào)發(fā)生器，是否可以近似地測(cè)出此系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)？說(shuō)明理由。解由框圖可求得系統(tǒng)函數(shù)為：沖激響應(yīng)的脈寬近似為?？山茰y(cè)出沖激響應(yīng)。5-13 求下列函數(shù)的拉氏變換解利用頻移定理求解:,則有：根據(jù)頻域積分定理求解，條件是。本題中，所以有。5-14 求函數(shù)的拉氏反變換。 解:5-15 電路如題圖5-15所示，求：題圖5-15 （1）系統(tǒng)函數(shù)；（2）當(dāng)為何值使系統(tǒng)穩(wěn)定；（3）設(shè)，若激勵(lì)，求；（4）設(shè), 重復(fù)（3）中所問(wèn)。解:（1）由圖可得：（2）, 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）當(dāng)時(shí)，5-16 系統(tǒng)幅頻特性如題圖5-16所示，設(shè)描述此系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為有理函數(shù)。（1）若具有的幅頻特性能和圖示的幅頻特性相兼容，問(wèn)應(yīng)有最少的零點(diǎn)數(shù)是多少？極點(diǎn)可能分布在平面的何處？題圖5-16 （2）若有最少的零點(diǎn)，且，和處有單極點(diǎn)，無(wú)其他極點(diǎn)，又假設(shè) 是由某一輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng),其中。（3）求。解是的偶函數(shù)，且,所以分母的冪次至少比分子的冪次高一次，所以由于對(duì)所有的均為有限值，因此它們應(yīng)位于左半開(kāi)平面。5-17 寫(xiě)出如題圖5-17所示網(wǎng)絡(luò)的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)，討論其幅頻相應(yīng)特性可能為何種類(lèi)型。 解題圖5-17 其中，5-18 下題圖5-18為無(wú)損電路，求零點(diǎn)，極點(diǎn)和幅頻，相頻響應(yīng)。題圖5-18解5-19 一線(xiàn)性系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖所示，求其平率特性和相位特性，并求其階躍響應(yīng)。 解幅頻特性曲線(xiàn)5-20 控制系統(tǒng)如題圖5-20，(1)確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)值的范圍；題圖5-20 (2)若要求閉環(huán)系統(tǒng)的全部根位于垂線(xiàn)之左，求值。解(1)特征方程為：羅斯表為：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則：(2)如果要使閉環(huán)系統(tǒng)的根全部位于垂線(xiàn)之左，令代入特征方程，有：7-1 已知如圖7-1所示，試畫(huà)出的圖形，并寫(xiě)出其表達(dá)式。圖7-1解求解過(guò)程按如下過(guò)程利用后項(xiàng)差分定義及序列的運(yùn)算技巧可得7-2 已知差分方程，其初始條件為。試分別對(duì)以下幾種情況求差分方程的解：解原差分方程的特征方程為(1) (2)(3)7-3 求解差分方程，其初始條件為解求出特征根：，故齊次解為設(shè)特解為 帶入差分方程得所以 又因?yàn)?所以得故 7-4 求解下列差分方程，并指出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解(1)零輸入響應(yīng)特征根，所以又因?yàn)?，故零狀態(tài)響應(yīng)因?yàn)椋刹罘址匠痰们筇亟?，則零狀態(tài)響應(yīng)為又，得故完全響應(yīng)為(2)零輸入響應(yīng)特征根，所以由于起始狀況為零，所以 零狀態(tài)響應(yīng)由差分方程得特解為，則零狀態(tài)響應(yīng)為帶入初始條件得則故完全響應(yīng)為7-5 已知系統(tǒng)差分方程，其初始條件為。(1)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、單位樣值響應(yīng)、階躍響應(yīng)。(2)若，求零狀態(tài)響應(yīng)。解特征根(1)零輸入響應(yīng)特征根，所以又因?yàn)樗怨蕟挝粯又淀憫?yīng)由差分方程得因?yàn)楦鶕?jù)初始條件列方程求解得所以階躍響應(yīng)故由差分方程遞推得到初始條件代入根據(jù)初始條件列方程求解得因?yàn)閚=0時(shí)，所以(2)差分方程可寫(xiě)為激勵(lì)信號(hào)與方程的特征根2相同,故特解應(yīng)設(shè)為代入方程得所以由差分方程遞推得到初始條件代入根據(jù)初始條件列方程求解得因?yàn)閚=0時(shí)，所以7-6 在連續(xù)系統(tǒng)中，一個(gè)電路可以構(gòu)成低通濾波器；在抽樣系統(tǒng)里，我們可以利用電容的充放電特性來(lái)構(gòu)成開(kāi)關(guān)電容濾波器。題圖7-2是一個(gè)開(kāi)關(guān)電容濾波器的原理示意圖。如果在時(shí)刻，開(kāi)關(guān)接通，斷開(kāi)；而在時(shí)刻，開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，接通（）。(1)對(duì)于激勵(lì)和響應(yīng)，寫(xiě)出題圖7-2系統(tǒng)的差分方程；(2)若輸入信號(hào)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，并畫(huà)出和的波形。圖7-2： 解(1)由電路圖可得則差分方程為：特征方程的特征根為：設(shè)特解為：代入求解則由差分方程可得代入求解7-7 寫(xiě)出題圖7-3所示系統(tǒng)的差分方程。圖7-3(a)圖7-3(b)解(a)由框圖(a)可列方程整理得(b)由框圖(b)可列方程整理得所以差分方程為：7-8 在數(shù)字信號(hào)傳輸中，為減弱傳輸信碼之間的串?dāng)_，常采用時(shí)域均衡器。題圖7-4是一個(gè)借助橫向?yàn)V波器來(lái)實(shí)現(xiàn)的時(shí)域均衡器。如果輸入，要求輸出時(shí)為零，即，求加權(quán)系數(shù)。圖7-4解由框圖可得可列方程不妨令，則7-9 利用差分方程求從0到n的全部整數(shù)的平方和解根據(jù)題意列寫(xiě)方程和初始條件求特征根由激勵(lì)信號(hào)可設(shè)特解代入方程解得則方程全解可設(shè)為代入初始條件，則可得7-10 已知二階線(xiàn)性移不變離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)(1)寫(xiě)出該系統(tǒng)的差分方程；(2)畫(huà)出該系統(tǒng)框圖。解由響應(yīng)可得特征根則特征方程為：系統(tǒng)的差分方程齊次方程為：設(shè)系統(tǒng)的差分方程為：代入初始條件得系統(tǒng)的差分方程為框圖如下圖8-1 求下列各式的逆變換（1）（2）（3）解(1)對(duì)原式進(jìn)行部分分式則對(duì)各分式進(jìn)行逆變換可得(2)對(duì)原式進(jìn)行部分分式對(duì)第三個(gè)分式變形則此分式的逆變換為由線(xiàn)性特性可得逆變換(3)對(duì)原式進(jìn)行部分分式由線(xiàn)性特性和時(shí)移特性可得逆變換8-2 試用圍線(xiàn)積分法證明解由反變換公式及利用留數(shù)定理8-3 已知,試證明解(1)由尺度變換原理,變換為(2)由線(xiàn)性原理和尺度變換原理,變換為(3)與(2)同理得變換為8-4 利用變換有關(guān)性質(zhì),求下列序列的變換。；解(1)易知由時(shí)移性質(zhì)可得由尺度變換性質(zhì)由微分性質(zhì)(2)原式可變形為由上題(習(xí)題三)結(jié)果可知8-5 求下列變換所表示序列的終值:解(1)由終值定理(2)由終值定理8-6 利用變換求下列各式的卷積解(1)由卷積定理(2)由卷積定理(3)由卷積定理(4)由卷積定理(5)由卷積定理8-7 用單邊變換解下列差分方程: （1）（2）（3）（4）解(1)利用時(shí)移特性對(duì)原式進(jìn)行變換解方程可得對(duì)上式進(jìn)行反變換(2)利用時(shí)移特性對(duì)原式進(jìn)行變換解方程可得對(duì)上式進(jìn)行反變換(3)由差分方程可得利用時(shí)移特性對(duì)原式進(jìn)行變換解方程可得對(duì)上式進(jìn)行反變換(4)利用時(shí)移特性對(duì)原式進(jìn)行變換解方程可得對(duì)上式進(jìn)行反變換8-8 求下列系統(tǒng)函數(shù)在兩種收斂域情況下系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng),并指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性:解原式可變形為(1)對(duì)于收斂域(1)(2)對(duì)于收斂域(2)8-9 某一階離散系統(tǒng)的方框圖如圖8-9所示,求該系統(tǒng)的(1) 單位樣值響應(yīng);(2) 單位階躍響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)響應(yīng)；(3) 復(fù)指數(shù)序列激勵(lì)下的響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)響應(yīng)；解(1)由框圖列寫(xiě)方程可得反變換可得單位樣值響應(yīng)(2)由卷積定理反變換可得階躍響應(yīng)因?yàn)樗詴簯B(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分別為：由卷積定理反變換可得響應(yīng)因?yàn)樗詴簯B(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分別為：9