常微分方程數(shù)值解法.ppt

第6章 常微分方程數(shù)值解法,本章主要介紹一階方程初值問(wèn)題,的數(shù)值解法。它是尋求解曲線y(x)在一系列離散節(jié)點(diǎn) x1x2xnxn+1 上準(zhǔn)確值y(xi)的近似值yI(i=0,1,2,)相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距h=xi+1-xi稱為步長(zhǎng)。今后如不特別說(shuō)明，總是假定h為定數(shù)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)為 xi=x0+ih(i=0,1,2,) 初值問(wèn)題的數(shù)值解法有個(gè)基本特點(diǎn)，它們都采取“步進(jìn)式”，即求解過(guò)程順著節(jié)點(diǎn)排列的次序一步一步地向前推進(jìn)。描述這類算法，只要給出用已知信息yn,yn-1,yn-2計(jì)算yn+1的遞推公式即可。,6.1 歐拉方法 6.2 龍格-庫(kù)塔方法 6.3 一階方程組 6.4 應(yīng)用實(shí)例,6.1 歐拉方法,1. 方向場(chǎng) 我們把x,y看作一平面上的直角坐標(biāo)，并設(shè)方程(6.1)右端的函數(shù)f(x,y)在此平面上某域G內(nèi)有定義。 所謂等斜線就是這樣的點(diǎn)的軌跡，在這些點(diǎn)處方向場(chǎng)中方向的斜率取向一值c,2 . Euler方法 Euler方法是解方程(61)的最簡(jiǎn)單的數(shù)值方法。 3. 誤差 為簡(jiǎn)化分析，人們常在yn為準(zhǔn)確的假定下(即yn=y(xn)，估計(jì)誤差 en+1=y(xn+1)-y(xn)+hfxn, y(xn) 這種誤差稱為局部截?cái)嗾`差。如果不作這一假定，累積了n步的誤差，稱為整體截?cái)嗾`差。其表達(dá)式為 En+1=y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-yn+hf(xn, yn),例1證明Euler方法能準(zhǔn)確地求解以下初值問(wèn)題： 分析：因?yàn)闇?zhǔn)確解 ,所以 由Euler公式得y0=y(x0)，假定yn=y(xn)， 往證,證明： 由Euler 公式得,證 明 完 畢,6.2 龍格-庫(kù)塔方法,我們已經(jīng)知道，Euler方法是一階方法。它是在假定yn=y(xn)的情況下，對(duì)解曲線y(x)在xn點(diǎn)Taylor展開(kāi)取線性部分的結(jié)果。如果我們將Taylor展開(kāi)多取幾項(xiàng)，就可以得到更高精度的方法：龍格-庫(kù)塔（Runge-kutta)方法。 Runge-kutta方法要用到高等數(shù)學(xué)中的二元Taylor公式和二元函數(shù)求導(dǎo)法則。,例4 證明對(duì)于任意參數(shù)，下列格式都是二階的：,證明完畢,6.3 一階方程組,例6已知一火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推力p(t)=2000kg，燃?xì)鈬娚渌俣葀r=2000m/s，空氣阻力函數(shù) 火箭在t=0.1s時(shí)從傾角045的發(fā)射架射出，此時(shí)火箭的重量q0=45kg，速度v0=50m/s，若發(fā)動(dòng)機(jī)在一秒鐘后(t=1.1s)關(guān)車(chē)停止工作，求此時(shí)火箭所具有的速度v和方向角，要求精度為0.1m/s及0.0003rad。,解：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本原理，火箭在主動(dòng)飛行段理想運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微分方程為,這里v(t)是火箭運(yùn)動(dòng)速度，(t)是火箭運(yùn)動(dòng)方向與水平方向的夾角，g=9.8m/s是重力加速度，火箭質(zhì)量 這實(shí)際上就是在t=0.1s時(shí)v0=50m/s，0=45的初始條件下求上面微分方程組在t=1.1s時(shí)速度v和方向角(上機(jī)計(jì)算留為作業(yè))。,6.4 應(yīng)用實(shí)例,例7衛(wèi)星圍繞地球和月球飛行(假定三者在同一平面上)，忽略大氣阻力，地球的扁球性等微小作用，則衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：,其中，=1-， 初始條件：,這里，y1，y2是衛(wèi)星相對(duì)于地球和月球的坐標(biāo)。假定衛(wèi)星圍繞地球和月球旋轉(zhuǎn)時(shí)，能使地球和月球總位于y1軸上，自變量x是時(shí)間，它不明顯地在上述方程中出現(xiàn)。選擇長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的單位，以使地球位于(y1，y2)=(-，0)，月球位于(y1，y2)=(1-)，0)。常數(shù)是月球質(zhì)量與月球加上地球的總質(zhì)量之比，如果令m1=地球質(zhì)量，m2=月球質(zhì)量，則 。坐標(biāo)系如圖6-4所示。,圖6