riemann猜想漫談(十二)

Riemann 猜想漫談 (十二)作者：盧昌海Montgomery關(guān)于Riemann函數(shù)非平凡零點分布的論文于1973年發(fā)表在了美國數(shù)學(xué)學(xué)會的系列出版物純數(shù)學(xué)專題討論文集(Proc.Symp.PureMath.)上。但最初幾年里它并沒有吸引多少眼球，因為這種存在于零點分布與隨機矩陣理論之間的關(guān)聯(lián)無論有多么奇妙，在當(dāng)時都還只是一個純粹的猜測，既沒有嚴格的數(shù)學(xué)證明，也沒有直接的數(shù)值證據(jù)。我們在第十三、十四兩節(jié)中曾經(jīng)介紹過對Riemann函數(shù)非平凡零點進行大規(guī)模計算的部分歷史。在Montgomery的論文發(fā)表之初，人們對零點的計算還只進行到幾百萬個，而且如我們在第十五節(jié)中所說那些計算大都只是驗證了“前N個零點”位于臨界線上，卻不曾涉及零點的具體數(shù)值。既然沒有具體數(shù)值，自然也就無法用來檢驗Montgomery的對關(guān)聯(lián)假設(shè)了。更何況如我們在第十六節(jié)中所說為了檢驗后者，我們需要研究虛部很大的零點，這顯然也是當(dāng)時的計算所遠遠不能觸及的。因此當(dāng)時就連Montgomery自己也覺得對他的猜測進行數(shù)值驗證將是極為遙遠的將來的事情。但是Montgomery和我們在第十四節(jié)中提到過的那位輸?shù)袅似咸丫频腪agier一樣大大低估了計算機領(lǐng)域的發(fā)展速度。在Montgomery的論文發(fā)表五年之后的某一天，他又來到了普林斯頓。不過這次不是為了覲見Selberg，而是來做一個有關(guān)Riemann函數(shù)零點分布的演講。在那次演講的聽眾中有一位來自32英里外的貝爾實驗室(BellLabs)的年輕人，他被Montgomery所講述的零點分布與隨機矩陣理論間的關(guān)聯(lián)深深地吸引住了。這位年輕人所在的實驗室恰好擁有當(dāng)時著名的Cray巨型計算機。這位年輕人就是我們在第十六節(jié)中提到的Odlyzko。普林斯頓真是Montgomery的福地，五年前與Dyson在這里的相遇，使他了解到了零點分布與隨機矩陣理論之間的神秘關(guān)聯(lián)，從而為他的研究注入了一種奇異的魅力。五年后又是在這里，這種奇異的魅力打動了Odlyzko，從而有了我們在第十六節(jié)中介紹過的Odlyzko對Riemann函數(shù)非平凡零點的大規(guī)模計算分析。這些計算為Montgomery所猜測的零點分布與隨機矩陣理論間的關(guān)聯(lián)提供了大量的數(shù)值證據(jù)注一。這種關(guān)聯(lián)，即經(jīng)過適當(dāng)?shù)臍w一化之后的Riemann函數(shù)非平凡零點的間距分布與Gauss幺正系綜(參閱第十八節(jié))的本征值間距分布相同，也因此漸漸地被人們稱為了Montgomery-Odlyzko定律(Montgomery-OdlyzkoLaw)注二。Montgomery-Odlyzko定律雖然是用Gauss幺正系綜來表述的，但我們在第十八節(jié)中曾經(jīng)提到過，隨機矩陣理論的本征值分布在矩陣階數(shù)N時具有普適性。因此Montgomery-Odlyzko定律所給出的關(guān)聯(lián)并不限于Gauss幺正系綜。不僅如此，這種本征值分布的普適性還有一層含義，那就是它不僅在各種系綜下都相同，而且對系綜中任何一個典型的系統(tǒng)即任何一個典型的隨機厄密矩陣都相同。換句話說，我們不僅不需要指定系綜的分布函數(shù)，甚至連系綜本身都不需要，只要隨便取出一個隨機厄密矩陣就可以了。因此Montgomery-Odlyzko定律實際上意味著Riemann函數(shù)非平凡零點的分布可以用任何一個典型隨機厄密矩陣的本征值分布來描述注三。Montgomery當(dāng)初的研究如我們在第十六節(jié)中介紹的只涉及零點分布的對關(guān)聯(lián)函數(shù)。在他之后，人們對零點分布的高階關(guān)聯(lián)函數(shù)也作了研究。2019年，Z.Rudnick與P.Sarnak及E.B.Bogomolny與J.P.Keating分別“證明”了零點分布的高階關(guān)聯(lián)函數(shù)也與相應(yīng)的隨機厄密矩陣的本征值關(guān)聯(lián)函數(shù)相同。美中不足的是，我們不得不對這種“證明”加上引號，因為它們和Montgomery的研究一樣，并不是真正嚴格的證明，它們或是引進了額外的限制條件(如Z.Rudnick與P.Sarnak的研究)，或是運用了本身尚未得到證明的Riemann猜想及強孿生素數(shù)猜想(如E.B.Bogomolny與J.P.Keating的研究)。但即便如此，所有這些理論及計算的結(jié)果還是非常清楚地顯示出Riemann函數(shù)非平凡零點的分布與隨機厄密矩陣的本征值分布從而與由隨機厄密矩陣理論所描述的一系列復(fù)雜物理體系的性質(zhì)之間的確存在著令人矚目的關(guān)聯(lián)。Montgomery-Odlyzko定律在“經(jīng)驗”意義上的成立幾乎已是一個毋庸置疑的事實。二十.Hilbert-Plya猜想那么在Riemann函數(shù)非平凡零點這樣的純數(shù)學(xué)客體與由隨機矩陣理論所描述的純物理現(xiàn)象之間為什么會出現(xiàn)像Montgomery-Odlyzko定律那樣的關(guān)聯(lián)呢？很遺憾，這是一個我們至今也未能完全理解的謎團。不過有意思的是，雖然在與Montgomery論文的發(fā)表已相隔幾十年的今天我們?nèi)晕茨軓氐桌斫釳ontgomery-Odlyzko定律的本質(zhì)，可是遠在Montgomery的論文發(fā)表之前六十余年前的二十世紀一、二十年代，數(shù)學(xué)界就曾經(jīng)流傳過一個與Montgomery-Odlyzko定律極有淵源的猜想，這個猜想也是用兩個人的名字命名的，叫做Hilbert-Plya猜想(Hilbert-Plyaconjecture)，它的內(nèi)容是這樣的：Hilbert-Plya猜想：Riemann函數(shù)的非平凡零點與某個厄密算符的本征值相對應(yīng)。當(dāng)然，確切地講，Hilbert-Plya猜想指的是：如果把Riemann函數(shù)的非平凡零點寫成=1/2+it的形式，則那些t與某個厄密算符的本征值一一對應(yīng)注四。我們知道，厄密算符的本征值全都是實數(shù)。因此如果那些t與某個厄密算符的本征值相對應(yīng)，則它們必定全都是實數(shù)，從而意味著所有非平凡零點=1/2+it的實部都等于1/2，這正是Riemann猜想的內(nèi)容。因此如果Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann猜想也必定成立。我們在上節(jié)中提到，Montgomery-Odlyzko定律表明Riemann函數(shù)非平凡零點的分布可以用任何一個典型隨機厄密矩陣的本征值分布來描述。這種描述雖然奇妙，終究只是統(tǒng)計意義上的描述。但如果Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann函數(shù)的非平凡零點干脆就直接與某個厄密矩陣的本征值一一對應(yīng)了。這是嚴格意義上的對應(yīng)，有了這種對應(yīng)，統(tǒng)計意義上的對應(yīng)自然就不在話下。因此Hilbert-Plya猜想雖然比Montgomery-Odlyzko定律早了六十余年，卻是一個比Montgomery-Odlyzko定律更強的命題！歷史真是富有戲劇性，從二十世紀早期開始流傳的Hilbert-Plya猜想居然在無形之中與半個多世紀之后才出現(xiàn)的Montgomery-Odlyzko定律做了跨越時間的遙遠呼應(yīng)。但這一呼應(yīng)實在是太遙遠了，Montgomery的論文尚且因為缺乏證據(jù)而遭到冷場，Hilbert-Plya猜想自然就更無人問津了。這種冷落是如此徹底，以至于當(dāng)Montgomery的論文及后續(xù)研究重新燃起人們對Hilbert-Plya猜想的興趣，并開始追溯它的起源時，大家驚訝地發(fā)現(xiàn)不僅Hilbert和GeorgePlya(1887-1985)兩人不曾在人們找尋得到的任何發(fā)表物或手稿之中留下過一絲一毫有關(guān)Hilbert-Plya猜想的內(nèi)容。而且在Montgomery之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何與這一猜想有關(guān)的敘述。一個隱約流傳了大半個世紀的數(shù)學(xué)猜想竟似乎沒有落下過半點文字記錄，卻一直流傳了下來，真是一個奇跡！但Odlyzko執(zhí)著地想要探尋這一奇跡的起點。那時候Hilbert早已去世，Plya卻還健在。1981年12月8日，Odlyzko給Plya發(fā)去了一封信，詢問Hilbert-Plya猜想的來龍去脈。當(dāng)時Plya已是九十四歲的高齡，臥病在床，基本不再執(zhí)筆回復(fù)信件了，但Odlyzko的信卻很及時地得到了他的親筆回復(fù)。畢竟，對一位數(shù)學(xué)家來說，自己的名字能夠與偉大的Hilbert出現(xiàn)在同一個猜想中是一種巨大的榮耀。Plya在回信中這樣寫道注五：很感謝你12月8日的來信。我只能敘述一下自己的經(jīng)歷。1914年初之前的兩年里我在Gttingen。我打算向Landau學(xué)習(xí)解析數(shù)論。有一天他問我：“你學(xué)過一些物理，你知道任何物理上的原因使Riemann猜想必須成立嗎？”我回答說，如果函數(shù)的非平凡零點與某個物理問題存在這樣一種關(guān)聯(lián)，使得Riemann猜想等價于該物理問題中所有本征值都是實數(shù)這一事實，那么Riemann猜想就必須成立。三年后(1985年)Plya也離開了人世，他給Odlyzko的這封回信便成了迄今所知有關(guān)Hilbert-Plya猜想的唯一文字記錄。至于早已去世的Hilbert在什么場合下提出過類似的想法，則也許將成為數(shù)學(xué)史上一個永遠的謎團了。二十一.Riemann體系何處覓？如上所述，假如Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann函數(shù)的非平凡零點將與某個厄密算符的本征值一一對應(yīng)。我們知道厄密算符可以用來表示量子力學(xué)體系的哈密頓量，而厄密算符的本征值則對應(yīng)于該量子力學(xué)體系的能級。因此如果Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann函數(shù)的非平凡零點有可能對應(yīng)于某個量子力學(xué)體系的能級，非平凡零點的全體則對應(yīng)于該量子力學(xué)體系的能譜。我們把這一特殊的量子力學(xué)體系稱為Riemann體系，把這一體系的哈密頓量稱為Riemann算符注六。那么這個神秘的Riemann體系如果存在的話會是一個什么樣的量子力學(xué)體系呢？這個問題的答案目前當(dāng)然還不存在。不過，有關(guān)這個問題目前所知道的最重要的線索顯然是來自Montgomery-Odlyzko定律。由于Montgomery-Odlyzko定律表明Riemann函數(shù)的非平凡零點分布與隨機厄密矩陣的本征值分布相同，因此我們不難猜測，Riemann算符應(yīng)該是一個特殊的隨機厄密矩陣。那么由這個特殊的隨機厄密矩陣所描述的量子力學(xué)體系會具有什么特點呢？這個問題自二十世紀七十年代末以來有許多人研究過。1983年，法國核物理研究所(InstitutdePhysiqueNuclaire)的O.Bohigas、M.J.Giannoni和C.Schmit等人提出了一個猜想，即由隨機厄密矩陣所描述的量子體系在經(jīng)典極限下對應(yīng)于經(jīng)典混沌體系。這一猜想被稱為BohigasGiannoniSchmit(BGS)猜想注七，它獲得了一些數(shù)值計算的支持(比如對一些以經(jīng)典混沌體系為極限的特定量子體系的能級計算得出了與這一猜想相容的結(jié)果)，但迄今尚未得到嚴格證明。不過雖然尚未證明，但從物理角度上講，這一猜想具有一定的合理性，因為與經(jīng)典混沌體系相對應(yīng)的量子體系的波函數(shù)會在一定程度上秉承經(jīng)典軌跡的混沌性，從而使得哈密頓量的矩陣元呈現(xiàn)出隨機性，這正是隨機厄密矩陣的特點。由此看來，Riemann體系很可能是一個與經(jīng)典混沌體系相對應(yīng)的量子體系。那么，這個作為Riemann體系經(jīng)典近似的經(jīng)典混沌體系又具有什么樣的特征呢？這個問題人們也做過一些研究。由于我們所知道的有關(guān)Riemann體系最明確的信息是這一體系的能譜因為它與Riemann函數(shù)的非平凡零點相對應(yīng)。因此研究Riemann體系的特征顯然要從能譜入手。描述量子體系能譜的一個很有用的工具是所謂的能級密度函數(shù)：(E)=n(E-En)這里的(E-En)是所謂的Dirac函數(shù)，求和對所有能級進行。早在二十世紀六十年末和七十年代初，出生于瑞士、一度跟隨著名物理學(xué)家WolfgangPauli(1900-1958)學(xué)習(xí)過量子力學(xué)的物理學(xué)家MartinGutzwiller(1925-)就對這一能級密度函數(shù)的經(jīng)典極限進行了研究，并得到了一個我們現(xiàn)在稱之為Gutzwiller求跡公式(Gutzwillertraceformula)的結(jié)果。在對應(yīng)的經(jīng)典體系具有混沌性的情形下，Gutzwiller求跡公式為：(E)=(E)+2pkAp,kcos(2kSp/h+p)這里的h為Planck常數(shù)，(E)是一個平均密度。我們感興趣的是第二項，它包含了一個對經(jīng)典極限下所有閉合軌道p以及沿閉合軌道的繞轉(zhuǎn)數(shù)k(k為正整數(shù))的雙重求和。求和式中的Sp是閉合軌道p的作用量，p是一個相位，被稱為Maslov相位(Maslovphase)或Maslov指標(Maslovindex)。而Ap,k與閉合軌道的性質(zhì)有關(guān)，可以表示為：Ap,k=Tp/hdet(Mpk-I)1/2其中Tp是閉合軌道p的周期，Mp則是描述閉合軌道p的穩(wěn)定性的一個單值矩陣(monodromymatrix)。另一方面，我們也可以定義一個與量子體系的能級密度函數(shù)完全類似的Riemann函數(shù)非平凡零點的密度函數(shù)：(t)=n(t-tn)并利用Riemann函數(shù)的性質(zhì)對這一密度函數(shù)進行計算。1985年，英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家MichaelBerry(1941-)給出了這一計算的結(jié)果：(t)=(t)-2pkln(p)/2exp-kln(p)/2cosktln(p)這個公式看似尋常，卻包含了一個非常值得注意的特點，那就是：其中的k雖然是正整數(shù)，p卻受到更大的限制。事實上，這個公式中的p是素數(shù)而非一般的正整數(shù)！將這個結(jié)果與前面有關(guān)量子體系能級密度的計算相比較，我們發(fā)現(xiàn)為了使兩者一致，必須有：p=Tp=ln(p)Sp=(ht/2)TpAp,k=Tp/2exp(kTp/2)這其中最簡潔而漂亮的關(guān)系式就是Tp=ln(p)，它表明與Riemann體系相對應(yīng)的經(jīng)典體系具有周期等于素數(shù)對數(shù)ln(p)的閉合軌道！這無疑是這一體系最奇異的特征之一。研究Riemann體系的努力仍在繼續(xù)著，在一些數(shù)學(xué)物理學(xué)家的心目中，它甚至已經(jīng)成為了一種證明Riemann猜想的新的努力方向，即所謂的物理證明注八。會不會有一天人們在宇宙的某個角落里發(fā)現(xiàn)一個奇特的物理體系，它的經(jīng)典基本周期恰好是ln2,ln3,ln5？或者它的量子能譜恰好包含14.1347251,21.0220396,25.0108575(讀者們應(yīng)該還記得這些是什么數(shù)吧)？我們不知道。也許并不存在這樣的體系，但如果存在的話，它無疑是大自然最美麗的奇跡之一。只要想到像素數(shù)和Riemann函數(shù)非平凡零點這樣純粹的數(shù)學(xué)元素竟有可能出現(xiàn)在物理的天空里，變成優(yōu)美的軌道和絢麗的光譜線，我們就不能不驚嘆于數(shù)學(xué)與物理的神奇，驚嘆于大自然的無窮造化。而這一切，正是科學(xué)的偉大魅力所在。注釋1.這種數(shù)值證據(jù)之一便是我們在第十六節(jié)中給出的關(guān)于Montgomery零點對關(guān)聯(lián)函數(shù)的擬合曲線。2.這“定律”二字通常在物理學(xué)中用得比在數(shù)學(xué)中多，它很貼切地表達了這一命題雖有大量的數(shù)值證據(jù)，卻缺乏數(shù)學(xué)意義上的嚴格證明這一特點。3.當(dāng)然，別忘了N這一條件。4.自第十一節(jié)中引進s=1/2+it以來，當(dāng)我們提到Riemann函數(shù)的非平凡零點時，實際指的往往是零點虛部的大小t，這一點讀者應(yīng)該能很容易地從上下文中判斷出來。5.Plya提到的函數(shù)應(yīng)該是指我們在第五節(jié)的注釋中提到的Riemann本人所定義的函數(shù)。Riemann猜想等價于那個函數(shù)的零點為實數(shù)。6.嚴格講，量子力學(xué)中所有的可觀測量都是由厄密算符表示的，哈密頓量只是其中之一。不僅如此，由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力學(xué)中的物理量。從Plya給Odlyzko的信中也可以看到，Plya當(dāng)年并沒有對與Riemann函數(shù)非平凡零點相對應(yīng)的“物理問題”做具體的猜測。因此從Hilbert-Plya猜想到Riemann體系是后人所做的進一步猜測。之所以做這種進一步猜測，除了哈密頓量對物理體系所具有的重要性外，或許也是因為隨機矩陣理論最初是在研究原子核能級時被引入物理學(xué)中的。另一方面，量子體系的能級是自然界中含義最為深刻的離散現(xiàn)象之一，這或許也是人們把注意力集中到這一方向上的原因之一。語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課