平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例(5).ppt

第 3 講 平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例,1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向 量的垂直關(guān)系 5會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題 6會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題,1兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b(如圖)， 作 b，則AOB叫做向量a與b的夾 角其中兩個(gè)向量夾角范圍是 特別地， 時(shí)，a與b同向； 時(shí)，a與b反向. 如果a與b的夾角是 ，我們說a與b垂直，記作ab. 2向量數(shù)量積的概念 (1)向量的數(shù)量積： (2)向量的投影：|b|cosa，b即 叫做b在a的方向上的 (3)數(shù)量積的幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的長(zhǎng)度與另一個(gè)向量在 這個(gè)向量方向上的投 影的乘積,0，,0,投影,ab|a|b|cosa，b,3向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，為a 與b(或e)的夾角則 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|， 特殊的，aa|a2|或者 (4)cos (0180) (5)|ab|a|b|. (6),ab0,4向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)abba(交換律) (2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律) (3)(ab)cacbc(分配律) 注意：數(shù)量積運(yùn)算不滿足(ab)ca(bc)，因?yàn)樽筮叡硎九cc共線的向 量，右邊表示與a共線的向量，而c與a不一定共線 5設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a與b的夾角為， 則ab 特別地，a2aaxy. ab ， ab ，,x1x2 y1y2,x1x2y1y20.,x1y2x2y10.,6若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，則 (平面內(nèi)兩 點(diǎn)間的距離公式) 聯(lián)動(dòng)思考 想一想：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，它的符號(hào)是怎樣確定的？ 答案：當(dāng)a，b為非零向量時(shí)，ab的符號(hào)由夾角的余弦來確定；當(dāng) 00；當(dāng)90180時(shí)，ab0；當(dāng)a與b至少有 一個(gè)為零向量或90時(shí)，ab0.,聯(lián)動(dòng)體驗(yàn) 1已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b上的投影為 ( ) 解析：設(shè)a和b的夾角為，|a|cos |a| 答案：C 2(2010新課標(biāo)全國(guó)卷)a，b為平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，則 a，b夾角的余弦值等于 ( ) 解析：設(shè)b(x，y)，則有2ab(8x,6y)(3,18)， 解得b(5,12)，故cosa，b 答案：C,3設(shè)向量a和b的長(zhǎng)度分別為4和3，夾角為60，則|ab|的值為 ( ) 解析：|ab|2a22ab|b|2 a22|a|b|cos 60|b|2 162439 37 |ab| . 答案：C 4向量m(x5,1)，n(4，x)，mn，則x等于 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：由mn0，得4(x5)x0，x4. 答案：D 5已知向量a和向量b的夾角為30，|a|2，|b| ，則向量a和向量b的數(shù)量 積ab_. 答案：3,【例1】 (1)在直角三角形ABC中，C90，AB5，AC4，求 ； (2)若a(3，4)，b(2,1)，試求(a2b)(2a3b) 解：(1)在ABC中，C90，AB5，AC4，故BC3， 且cos ABC ， 的夾角ABC， cos ABC53 9. (2)方法一：a2b(3，4)2(2,1)(1，6)， 2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)， (a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)18. 方法二：(a2b)(2a3b)2a2ab6b2232(4)232 (4)16(2212)18.,考向一 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角，二是利 用坐標(biāo)來計(jì)算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇 遷移發(fā)散 1已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin ) 若 1，求sin 2的值 解： (cos 3，sin )， (cos ，sin 3)， cos (cos 3)sin (sin 3)13(cos sin )1. sin cos ，兩邊平方得sin 2 .,考向二 利用平面向量的數(shù)量積解決垂直問題,【例2】 已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t為正實(shí)數(shù)，向量xa (t21)b， ykab，且xy，求k的最小值 解：a(1,2)，b(2,1)，ab0， t為正實(shí)數(shù)，k 2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)，k2，k的最小值為2.,反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣 1兩個(gè)非零向量互相垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零因此，可以將證兩向量 的垂直問題，轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)向量的數(shù)量積為零 2向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算可以大大簡(jiǎn)化數(shù)量積的運(yùn)算，由于有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直 的問題可以利用向量的數(shù)量積來解決，因此，我們可以利用向量的坐標(biāo)研究有關(guān) 長(zhǎng)度、角度和垂直問題,遷移發(fā)散 2在直角ABC中，已知(2,3)，(1，k)，求k的值,考向三 平面向量的夾角與模的問題,反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣 1求向量的夾角的兩種表示方式 當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得ab及|a|，|b|或得出它 們的關(guān)系 若已知a與b的坐標(biāo)，則可直接利用公式 來求夾角 2利用數(shù)量積求向量的模，可考慮以下方法 a|a|2a2aa； b|ab|2a22abb2； c若a(x，y)，則|a|,考向四 平面向量的數(shù)量積與三角交匯問題,【例4】 (2010青島二模)設(shè)角A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，已知向量m(sin Asin C，sin Bsin A)，n(sin Asin C，sin B)，且mn. (1)求角C的大?。?(2)若向量s(0，1)，t(cos A,2cos2 )，試求|st|的取值范圍,反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣 向量與三角結(jié)合是高考考查的重點(diǎn)，常以向量為載體，利用向量的數(shù)量積的運(yùn) 算，向量的垂直等條件來進(jìn)行三角的考查，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重視,課堂總結(jié) 感悟提升 1向量數(shù)量積ab與實(shí)數(shù)a，b乘積ab不同由ab0，并不能得出a0或b 0，因?yàn)閮煞橇阆蛄繆A角為90時(shí)，數(shù)量積也為0. 2可以用向量的數(shù)量積公式解決有關(guān)夾角和垂直問題，但要注意兩種公式的靈活運(yùn) 用 3利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問題，常建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 得到簡(jiǎn)單的向量坐標(biāo)表示，減少運(yùn)算量