向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩.ppt

12.4向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩,上一頁,下一頁,27,*4 向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩,在第十一章中我們意已講過了矩陣的概念。它于本節(jié)說講的向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩有什么聯(lián)系呢？我們先引入其概念。,定義1 設(shè)有向量組T，如果,T中任意r+1個向量（若有的話）都線性相關(guān)。,在T中有r個向量,(i),(ii),那么稱 是向量組T的一個極大無關(guān)組。,例1 設(shè)向量組,因,線性無關(guān)，而,線性相關(guān)，既有,所以,是一個極大無關(guān)組。同樣 、,也是極大無關(guān)組。 ,由例1可看出，一個向量組的極大無關(guān)組有多個，但它們所包含向量的個數(shù)卻是相同的，即有如下命題成立。 命題12。9 在一個向量中，它的所有極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)都相同。,證 設(shè),與,都是向量組T的極大無關(guān)組。,若st，不妨設(shè)st，則因,為極大無關(guān)組，所以每一個,都是,的線性組合，由3中的結(jié)論三知,上一頁,下一頁,28,必線性相關(guān)，這和,是極大無關(guān)組相關(guān)矛盾。,所以s=t。 ,定義2 向量組T的極大無關(guān)中所含向量的個數(shù)稱為向量組T的秩。且規(guī)定只含零向量的向量組的秩為0.,現(xiàn)在的問題是:給定一個向量組T我們?nèi)绾吻蟪鯰的一個極大無關(guān)組以及T的秩呢?,在第十一章的6節(jié)中,我們已介紹了求一個矩陣的方法.為此,我們可以設(shè)想把一個向量組T中的向量,作為矩陣A的列向量,爾后利用初等行變換把,矩陣A化為階梯形矩陣,那么階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r就是矩陣A的秩,也即為向,量組T的秩;而所有非零的行所對應(yīng)的r個向量所組成的向量組,就是矩陣列向量組的一個極大無關(guān)組.由此,還要再要證明如下二個命題.,命題12.10 矩陣A的列向量組通過初等行變換不改變相關(guān)性.,證 設(shè)向量T:,是矩陣A的列向量組。由定義知，向量組,若線性相關(guān)，即存在不全,上一頁,下一頁,29,為零的一組數(shù),，使,亦即齊次線性方程組,有非零解.,上面的齊次線性方程組可寫成,現(xiàn)設(shè),由命題12.1知,同解.所以向量組,的線性相關(guān)性相同. ,由此我們知道,矩陣A的秩就是列向量組T中極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù).又會命題11.11顯然下面的命題成立.,命題12.11 矩陣A的秩=矩陣A向量組的秩=矩陣A行向量組的秩.,例2 設(shè)向量組,上一頁,下一頁,30,求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組,并求出另外的向量由該極大無關(guān)組線性表出的表達(dá)式.,解 因為,由命題12.11知,向量組的秩等于3,且,就是一個極大無關(guān)組.下面球,關(guān)于極大無關(guān)組,的線性表達(dá)式,先令,即,所以,上一頁,下一頁,31,同理可求得,一個向量由它所在的向量組中的極大無關(guān)組線性表示,其線性表達(dá)式是否唯一呢?我們有下面的命題.,命題12.12 一個向量由它所在向量組中極大無關(guān)組線性表示,其表達(dá)式唯一.,證 設(shè),是向量組T中的一個極大無關(guān)組, 是向量組T中任