張量分析初學(xué)者必看.ppt

A-1 指標(biāo)符號,附A 張量分析,例如, 三維空間任意一點(diǎn)P在笛卡兒坐標(biāo)系,用指標(biāo)符號表示為,i指標(biāo)取值范圍為小于或等于n的所有正整數(shù) n維數(shù),數(shù),變量,指標(biāo)符號,一、求和約定和啞指標(biāo), A-1 指標(biāo)符號,A 張量分析,約定,求和指標(biāo)與所用的字母無關(guān) 指標(biāo)重復(fù)只能一次 指標(biāo)范圍,用拉丁字母表示3維，希臘字母表2維, A-1 指標(biāo)符號,代表27項的和式,一、求和約定和啞指標(biāo),雙重求和,二、自由指標(biāo),筒寫為,j 啞指標(biāo) i自由指標(biāo)，在每一項中只出現(xiàn)一次，一個公式中必須相同, A-1 指標(biāo)符號,三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號),Kronecker-符號定義, A-1 指標(biāo)符號,三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號),Kronecker-符號定義, A-1 指標(biāo)符號,直角坐標(biāo)系的基矢量,三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號),Ricci符號定義, A-1 指標(biāo)符號,偶次置換,奇次置換,三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號),Ricci符號定義, A-1 指標(biāo)符號,Kronecker-和Ricci符號的關(guān)系,A-2 矢量的基本運(yùn)算,在三維空間中, 任意矢量都可以表示為三個基矢量的線性組合,ai為矢量a在基矢量ei下的分解系數(shù), 也稱矢量的分量,一、矢量點(diǎn)積,A 張量分析,一、矢量點(diǎn)積,二、矢量叉積,A 張量分析,A-2 矢量的基本運(yùn)算,二、矢量叉積,A 張量分析,證明,A-2 矢量的基本運(yùn)算,二、矢量叉積,A 張量分析,三、矢量的混合積,A-2 矢量的基本運(yùn)算,Ricci符號,A 張量分析,四、矢量的并乘(并矢),A-2 矢量的基本運(yùn)算,A 張量分析,并乘,A-3 坐標(biāo)變換與張量的定義,A 張量分析,坐標(biāo)變換式,A-3 坐標(biāo)變換與張量的定義,A 張量分析,互逆、正交矩陣,基矢量變換式,任意向量變換式,A 張量分析,A-3 坐標(biāo)變換與張量的定義,坐標(biāo)變換系數(shù),張量的定義在坐標(biāo)系變換時,滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量,張量的階自由指標(biāo)的數(shù)目,不變性記法,A 張量分析,A-3 坐標(biāo)變換與張量的定義,一、加(減)法,二、矢量與張量的點(diǎn)積(點(diǎn)乘),左點(diǎn)乘,A 張量分析,A-3 坐標(biāo)變換與張量的定義,矢量與張量點(diǎn)乘的結(jié)果仍為張量,新張量b比原張量 T的階數(shù)降低一階,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,右點(diǎn)乘,對稱張量兩者才相等,A 張量分析,三、矢量與張量的叉積,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,左叉乘,A 張量分析,矢量與張量叉乘的結(jié)果仍為張量, 新張量與原張量同階,右叉乘,三、矢量與張量的叉積,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,四、兩個張量的點(diǎn)積,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,兩個張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減 2,兩個二階張量點(diǎn)積的結(jié)果為一個新的二階張量,這相當(dāng)于矩陣相乘,五、張量的雙點(diǎn)積,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,兩個張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減 4,六、張量的雙叉乘,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,七、張量的縮并,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,在張量的不變性記法中, 將某兩個基矢量點(diǎn)乘, 其結(jié)果是一個較原張量低二階的新張量, 這種運(yùn)算稱為縮并,八、指標(biāo)置換,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,若對該張量的分量中任意兩個指標(biāo)交換次序, 得到一個與原張量同階的新張量,九、對稱化和反對稱化,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,若張量的任意兩個指標(biāo)經(jīng)置換后所得的張量與原張量相同, 則稱該張量關(guān)于這兩個指標(biāo)為對稱, 若與原張量相差一符號, 則稱該張量關(guān)于這兩個指標(biāo)為反稱。,有6個獨(dú)立分量,有3個獨(dú)立分量,九、對稱化和反對稱化,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,對稱化：對已知張量的N個指標(biāo)進(jìn)行N!次不同的置換, 并取所得的N!個新張量的算術(shù)平均值的運(yùn)算。其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為對稱。將指標(biāo)放在圓括弧內(nèi)表示對稱化運(yùn)算。,九、對稱化和反對稱化,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,反稱化: 對已知張量的 N 個指標(biāo)進(jìn)行N!次不同的置換,并將其中指標(biāo)經(jīng)過奇次置換的新張量取反號,再求算術(shù)平均值, 這種運(yùn)算稱張量的反稱化,其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標(biāo)為反稱。將指標(biāo)放在方括弧內(nèi)表示反稱運(yùn)算。,十、商法則,若在某坐標(biāo)系中按某規(guī)律給出 33=27 個數(shù) A(ijk), 且A(ijk)bk=Cij, 其中bk 是與A(ijk)無關(guān)的任意矢量 , Cij是張量 , 那么 , A(ijk)必為比Cij高一階的張量。,A-4 張量的代數(shù)運(yùn)算,A 張量分析,用于判定某些量的張量性！,A-5 二階張量（仿射量）,A 張量分析,B的作用如同一個算子, 它使空間內(nèi)每一個向量變換為另一個向量, 或者說 B 能把一個向量空間映射為另一向量空間。,A-5 二階張量（仿射量）,A 張量分析,一、仿射量的轉(zhuǎn)置BT,對稱張量,反對稱張量,A-5 二階張量（仿射量）,A 張量分析,一、仿射量的轉(zhuǎn)置BT,和b為任意向量,A 張量分析,A-5 二階張量（仿射量）,一、仿射量的逆B-1,A 張量分析,A-5 二階張量（仿射量）,三、對稱仿射量的主向和主值,對于仿射量B, 若存在三個相互垂直的方向i,j,k, 其映象 Bi,Bj,Bk也相互垂直, 則稱該三個方向為 B 的主向。對稱仿射量T 必存在三個主向和三個相應(yīng)的主值。主值S 滿足如下特征方程。,A 張量分析,A-5 二階張量（仿射量）,三、對稱仿射量的主向和主值,A 張量分析,A-5 二階張量（仿射量）,三、對稱仿射量的主向和主值,三、對稱仿射量的主向和主值,笛卡兒坐標(biāo),A 張量分析,A-5 二階張量（仿射量）,A 張量分析,A-5 二階張量（仿射量）,四、各向同性張量,各向同性張量在坐標(biāo)任意變換時, 各分量保持不變的張量,零階張量(標(biāo)量)總是各向同性的。一階張量(即矢量) 總不是各向同性的。對于對稱二階張量T,如果其三個主值相等, 即S1=S2=S3=,則是各向同性的。,A-5 二階張量（仿射量）,四、各向同性張量,證明：,(1)4個指標(biāo)都相同的分量有3個,A-5 二階張量（仿射量）,四、各向同性張量,證明：,(2) 4個指標(biāo)有3個相同的分量有24個,以A1112 為例。如繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標(biāo)變換系數(shù)為,要使新坐標(biāo)的分量A1112 與原坐標(biāo)中的分量A1112 相等， A1112 。必為零。,所以 A1123=0。其它都為零。,(3) 4個指標(biāo)中有2個相同的分量有36個,以A1123 為例。坐標(biāo)仍繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標(biāo)變換系數(shù)同上，則,將此三類分量用統(tǒng)一形式表示為：,(3) 4個指標(biāo)中有2對指標(biāo)重復(fù)的分量有18個?？煞譃?類，每6個分量相等。,在空間所論域內(nèi), 每點(diǎn)定義的同階張量, 構(gòu)成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張量分析的領(lǐng)域。笛卡兒坐標(biāo)系中的張量分析。,A-6 張量分析,一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子),設(shè)有標(biāo)量場(x), 當(dāng)位置點(diǎn)r(x)變到r(x+dx)時, 的增量d 命為,梯度算子,矢量算子,A-6 張量分析,一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子),A-6 張量分析,1. 標(biāo)量場的梯度,2. 矢量場u的散度,一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子),A-6 張量分析,3. 矢量的旋度,二、張量場的微分,A-6 張量分析,1. 張量A的梯度,左梯度,右梯度,張量的梯度為比原張量高一階的新張量,二、張量場的微分,A-6 張量分析,1. 張量A的散度,左散度,右散度,張量的散度為比原張量低一階的新張量,二、張量場的微分,A-6 張量分析,3. 張量A的旋度,左旋度,二、張量場的微分,A-6 張量分析,3. 張量A的旋度,右旋度,三、散度定理,A-6 張量分析,高斯積分公式為,三、散度定理,A-6 張量分析,高斯積分公式為任意階張量,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,一般討論的張量, 都是在笛卡兒坐標(biāo)系下進(jìn)行的, 在解決具體問題時, 往往要求更復(fù)雜的坐標(biāo)系。,一、曲線坐標(biāo),在笛卡兒坐標(biāo)系 , 空間任一點(diǎn) P 的向徑是,設(shè)在三維空間某連通區(qū)域, 給定了笛氏坐標(biāo)的三個連續(xù)可微的單值函數(shù),反函數(shù),A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,若函數(shù)不是線性函數(shù), 則稱其為曲線坐標(biāo)系,用于編排指標(biāo)i的次序,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,二、局部基矢量,在笛卡兒坐標(biāo)系, 空間任意向量(張量)都可以在基上分解。這種做法可進(jìn)行兩種不同的解釋: (l) 空間里只有一個固定在原點(diǎn)的基ei, 先將向量(張量)平行移至原點(diǎn), 然后在這基上分解。 (2)在定義區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)都有一個與ei相同的基, 即局部基, 向量(張量)在本作用點(diǎn)的局部基上就地分解。,在曲線坐標(biāo)系, 如果只用一個固定基的做法, 就會使曲線坐標(biāo)的引人成為無的放矢。我們采用第二種做法, 在空間每一點(diǎn)都建立局部基。,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,二、局部基矢量,取一點(diǎn)處坐標(biāo)曲線的切向量,自然基,度量張量,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,二、局部基矢量,求圓柱坐標(biāo)系的自然基gi 和度量張量gij,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,二、局部基矢量,求圓柱坐標(biāo)系的自然基gi 和度量張量gij,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,二、局部基矢量,笛卡兒坐標(biāo)系中關(guān)于張量的定義和張量的運(yùn)算等,可以推廣到曲線坐標(biāo)系, 區(qū)別只在于這時的基矢量gi及變換系數(shù)ii是空間點(diǎn)位置的函數(shù)。如張量A在曲線坐標(biāo)系可以寫成,由于在曲線坐標(biāo)系并非所有坐標(biāo)都具有長度量綱 , 例如 , 圓柱坐標(biāo)中的。因此 , 相對 應(yīng)的自然基矢量就不是無量綱的單位矢量。具有一定物理意義的向量 ( 張量 ) 在這樣的基上 的各分量并不具有物理量綱, 從而給直接的物理解釋帶來不便。,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,二、局部基矢量,為了使張量在每個具體坐標(biāo)系里能取得具有物理量綱的分量 , 在正交曲線坐標(biāo)系 , 取切 于坐標(biāo)曲線的無量綱單位矢量作為基矢量 , 即,正交單位標(biāo)架為物理標(biāo)架, 或稱物理基,在物理標(biāo)架上分解的張量, 其相應(yīng)的各分量能取得相同的物理量綱,圓柱坐標(biāo)下的張量分析,圓柱坐標(biāo)下的張量分析,A-7 曲線坐標(biāo)下的張量分析,三、張量對曲線坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)