【高考輔導(dǎo)資料】高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)17__三角形中的三角函數(shù)式

難點(diǎn)17 三角形中的三角函數(shù)式三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.難點(diǎn)磁場()已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.案例探究例1在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測得一輪船在島北30東，俯角為60的B處，到11時(shí)10分又測得該船在島北60西、俯角為30的C處。(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識，以及學(xué)生的識圖能力和綜合運(yùn)用三角知識解決實(shí)際問題的能力.知識依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系.錯(cuò)解分析：考生對方位角識別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò).技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題.解：(1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，AC= (千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30.在ACD中，據(jù)正弦定理得，答：此時(shí)船距島A為千米.例2已知ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB().(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；(3)求這個(gè)函數(shù)的值域.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用三角知識解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力，屬級題目.知識依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題.錯(cuò)解分析：考生對三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時(shí)要注意|的范圍.解：(1)A+C=2B，B=60，A+C=1200|60，x=cos(，1又4x230，x，定義域?yàn)?，)(，1.(2)設(shè)x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，則4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，則4x1230.4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù).(3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2.故f(x)的值域?yàn)?，)2，+.錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()給出四個(gè)命題：(1)若sin2A=sin2B，則ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，則ABC為鈍角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，則ABC為正三角形.以上正確命題的個(gè)數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題2.()在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_.3.()在ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，則cos2(B+C)=_.三、解答題4.()已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.5.()如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？6.()在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，.(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.7.()在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又AC=，試求A、B、C的值.8.()在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值.參考答案難點(diǎn)磁場解法一：由題設(shè)條件知B=60，A+C=120.設(shè)=，則AC=2，可得A=60+，C=60，依題設(shè)條件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2cos+30，2cos=0.從而得cos.解法二：由題設(shè)條件知B=60，A+C=120，把式化為cosA+cosC=2cosAcosC ，利用和差化積及積化和差公式，式可化為 ， 將cos=cos60=，cos(A+C)=代入式得：將cos(AC)=2cos2()1代入 ：4cos2()+2cos3=0，(*)， 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：其中(3）(4）正確.答案： B二、2.解析：A+B+C=，A+C=2B，答案：3.解析：A為最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=，sin(2A+C)=.C為最大角，B為銳角，又sinB=.故cosB=.即sin(A+C)=，cos(A+C)=.cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C)=2cos2(B+C)1=.答案：三、4.解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0A180，A=120故S=16sin120=8.5.解：R=rcos，由此得：，7.解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b2=3acsin2B=3sinCsinA=3()cos(A+C)cos(AC)B=(A+C).sin2(A+C)=cos(A+C)cos即1cos2(A+C)=cos(A+C)，解得cos(A+C)=.0A+C，A+C=.又AC=A=，B=，C=. 8.解：按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折