【高考輔導(dǎo)資料】高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)12__等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用

難點(diǎn)12 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的引申.應(yīng)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比，使問(wèn)題得到整體地解決，能夠在運(yùn)算時(shí)達(dá)到運(yùn)算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視.高考中也一直重點(diǎn)考查這部分內(nèi)容.難點(diǎn)磁場(chǎng)()等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_(kāi).案例探究例1已知函數(shù)f(x)= (x2).(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);(2)設(shè)a1=1, =f-1(an)(nN*),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意nN*,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.命題意圖：本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問(wèn)題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題.錯(cuò)解分析：本題首問(wèn)考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，(2)問(wèn)以數(shù)列為橋梁求an,不易突破.技巧與方法：(2)問(wèn)由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列,從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧；(3)問(wèn)運(yùn)用了函數(shù)的思想.解：(1)設(shè)y=,x0)(2)，是公差為4的等差數(shù)列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an0,an=.(3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn,設(shè)g(n)= ,g(n)= 在nN*上是減函數(shù)，g(n)的最大值是g(1)=5,m5,存在最小正整數(shù)m=6,使對(duì)任意nN*有bn成立.例2設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列l(wèi)gan的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列l(wèi)gan為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解.錯(cuò)解分析：題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項(xiàng)的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計(jì)算易出錯(cuò)；而對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方.技巧與方法：突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對(duì)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值.解法一：設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,mN*,依題意有化簡(jiǎn)得.設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n可見(jiàn)，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大.而=5,故lgan的前5項(xiàng)和最大.解法二：接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n=5.5.由于nN*,可見(jiàn)數(shù)列l(wèi)gan的前5項(xiàng)和最大.錦囊妙計(jì)1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用.2.在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.3.“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,若，則Sn等于( ) C.2D.2二、填空題2.()已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0logm(ab)0,S13a2a3a12a13,因此，在S1，S2，S12中Sk為最大值的條件為：ak0且ak+10,即a3=12,，d0,2k3d3,4,得5.5k7.因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自然數(shù)k,使得ak0,且ak+10,則Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差數(shù)列性質(zhì)得，當(dāng)m、n、p、qN*,且m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S130,a70,a7+a6=a1+a12=S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依題意得：最小時(shí)，Sn最大；d3,6(5)6.5.從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時(shí)，n (5)2最小，所以S6最大.點(diǎn)評(píng)：該題的第(1)問(wèn)通過(guò)建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.第(2)問(wèn)難度較高，為求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak+10，思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解.它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn).而思路之二則是通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解.6.解：(1)由題意知a52=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,數(shù)列的公比q=3,=a13n1又=a1+(bn1)d=由得a13n1=a1.a1=2d0,bn=23n11.(2)Tn=Cb1+Cb2+Cbn=C (2301)+C(2311)+C(23n11)=(C+C32+C3n)(C+C+C)=(1+3)n1(2n1)= 4n2n+,7.解：an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a2+a4=2a3,b2b4=b32,已知a2+a4=b3,b2b4=a3,b3=2a3,a3=b32,得b3=2b32,b30,b3=,a3=.由a1=1,a3=，知an的公差d=,S10=10a1