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第一節(jié) 中值定理,第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,預(yù)備知識(shí),一、羅爾(Rolle)定理,(幾何解釋）,羅爾定理,若函數(shù) f(x)滿足,證：,證,即為方程的小于1的正實(shí)根.,矛盾,一個(gè)小于1 的正實(shí)根,例1 證明方程,有且僅有,注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(幾何解釋),拉格朗日定理,若函數(shù) f (x) 滿足,拉格朗日中值公式,推論,若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi),恒有,則函數(shù) f(x) 在a,b上是一個(gè)常數(shù).,故 f(x) 是一個(gè)常數(shù), f(x) 在x1,x2連續(xù)，在(x1,x2)可導(dǎo)，,例2,證,例3,證:,由上式得, f(t) 在0,x連續(xù)，在(0,x)可導(dǎo)，,三、柯西(Cauchy)中值定理,柯西定理,如果函數(shù) f (x)、F(x)滿足,使等式 成立,（1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù),（2）在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)處,均不為零，,則在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn) ,分析:,證 設(shè),羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,注：,四：小結(jié),幾何解釋： 一條連續(xù)曲線AB ，若除端點(diǎn)外，處處有不垂直于x 軸切線，則該曲線上至少有一點(diǎn)的切線平

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