數(shù)字信號處理中山學院信息工程李飛鵬第7章.ppsVIP

第七章 頻域處理,7.1 頻域世界與頻域變換 7.2 傅立葉變換 7.3 頻域變換的一般表達式 7.4 離散余弦變換 7.5 離散沃爾什哈達瑪變換 7.6圖像變換的MATLAB實現(xiàn) 7.7 小波變換簡介,7.1 頻域世界與頻域變換,圖7-1 任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和,圖7-2 正弦波的振幅A和相位,圖7-3 圖7-1（a）波形的頻域表示 (a) 幅頻特性； (b) 相頻特性,時域和頻域之間的變換可用數(shù)學公式表示如下：,為能同時表示信號的振幅和相位，通常采用復(fù)數(shù)表示法，因此式（7-1）可用復(fù)數(shù)表示為,完成這種變換， 一般采用的方法是線性正交變換。,(7-1),(7-2),7.2 傅 立 葉 變 換,7.2.1 連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 若把一個一維信號作一維傅立葉變換， 該信號就被變換到頻域上， 即得到了構(gòu)成該信號的頻譜，頻譜反映了信號由哪些頻率構(gòu)成。 這是分析與處理一維信號的重要手段。 當一維信號 f(x) 滿足狄里赫萊條件，即 f(x) 1）具有有限個間斷點；2）具有有限個極值點；3）絕對可積。,則其傅立葉變換對（正變換和逆變換）一定存在。在實際應(yīng)用中，這些條件一般總是可以滿足的。 一維傅立葉變換對的定義為,式中： ，x 為時域變量，u 為頻域變量。,一維變換可以很容易地推廣到二維，如果二維函數(shù)f(x, y)滿足狄里赫萊條件，則其二維傅立葉變換對為,(7-5),(7-6),式中：x, y為時域變量；u, v為頻域變量。,思考:怎樣用一句話來表達一般意義上的數(shù)學變換?,7.2.2 離散傅立葉變換 要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換， 需解決兩個問題：一是數(shù)學上的 f(x) 為連續(xù)（模擬）信號， 而計算機處理的是數(shù)字信號；二是數(shù)學上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常， 將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT)。設(shè)f(x)|f(0), f(1), f(2), , f(N-1)為一維信號f(x)的N個抽樣， 其離散傅立葉變換對為,(7-7),(7-8),式中：x，u=0， 1， 2， , N1。,注：式（7-8）中的系數(shù)1/N也可以放在式（7-7）中， 有時可在正變換和逆變換前分別乘以 ， 只要正變換和逆變換前系數(shù)乘積等于 1/N 即可。,由歐拉公式可知,(7-9),代入式 （7-7）并利用cos() = cos()，可得,(7-10),可見，離散序列的傅立葉變換仍是一離散序列，每個u對應(yīng)的變換結(jié)果是輸入序列f(x)的加權(quán)和（乘以不同頻率的正弦和余弦值）。,通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式， 即,(7-11),R(u)和I(u)分別是實部和虛部。也可表示成指數(shù)形式： F(u)=|F(u) |ej(u),(7-12),其中,(7-13),(7-14),通常稱|F(u)|為f(x)的頻譜或幅度譜，(u)為f(x)的相位譜。頻譜的平方稱為能量譜或功率譜:,(7-15),考慮到兩個變量，很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對定義為 :,(7-16),(7-17),式中：u, x= 0, 1, 2, , M-1；v, y= 0, 1, 2, , N-1； x, y為空域變量，u, v為頻域變量。系數(shù)1/MN可以在正或逆變換中 。 二維傅立葉頻譜、 相位譜和能量譜分別為:,(7-18),(7-19),(7-20),R(u, v) 和 I(u, v) 分別是 F(u, v) 的實部和虛部。,1. 可分離性: 二維傅立葉變換可分解為兩步進行，其中每一步都是一個一維變換。先對f(x, y)按行進行變換得到 F(x, v)，再對F(x, v)按列進行變換，便可得到F(u, v)，如下圖所示。,圖7-4 用兩次一維DFT計算二維DFT,7.2.3 離散傅立葉變換的性質(zhì),2. 平移性質(zhì): 只要將f(x, y)乘以因子(1)x+y，再進行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點由（0，0）移動到（M2, N2）處。圖7-5是簡單方塊圖像平移的結(jié)果。,圖7-5 傅立葉頻譜平移示意圖 (a) 原圖像； (b)無平移的頻譜； (c)平移后的頻譜,3. 旋轉(zhuǎn)不變性: 如果時域中函數(shù)旋轉(zhuǎn)0角度，則在變換域中的變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖7-6所示。,圖7-6 離散傅立葉變換 的旋轉(zhuǎn)不變性 （a） 原始圖像； （b） 原始圖像的頻譜； （c） 旋轉(zhuǎn)45后圖像； （d） 旋轉(zhuǎn)圖像的頻譜;,7.2.4 快速離散傅立葉變換 離散傅立葉變換運算量非常大(運算次數(shù)正比于N2，特別是當 N 較大時，其運算時間將迅速增長)。為此，研究和提出了多種快速算法(FFT）。 由于二維離散傅立葉變換具有可分離性， 即它可由兩次一維離散傅立葉變換計算得到。因此，有了一維變換的快速算法，也相當于有了二維變換的快速算法。,7.3 頻域變換的一般表達式,7.3.1 可分離變換 二維序列的數(shù)學變換可用通用關(guān)系式來表示：,(7-36),(7-37),式中：g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分別稱為正向變換核和反向變換核。,如果,g(x, y, u, v)=g1(x, u)g2(y, v) (7-38) h(x, y, u, v)=h1(x, u)h2(y, v) (7-39),則稱正、反變換核是可分離的。進一步，如果g1和g2，h1和h2在函數(shù)形式上一樣，則稱該變換核是對稱的。二維傅立葉變換對也是這樣， 它們的核為,它們都是可分離的和對稱的, 即是正交變換。 如前所述，二維傅立葉變換可以利用變換核的可分離性， 用兩次一維變換來實現(xiàn)，即可先對f(x, y)的按行進行一維變換得到F(x, v)，再對F(x, v)按列進行一維變換得到F(u, v)。也可先對f(x, y)的按列進行一維變換得到F(y, u)，再對F(y, u)按行進行一維變換得到F(u, v)。該結(jié)論對反變換也適用。,7.3.2 圖像變換的矩陣表示 數(shù)字圖像都是實數(shù)矩陣， 設(shè)f(x, y)為MN的圖像灰度矩陣， 為了分析方便，可將可分離變換寫成矩陣的形式： F =P f Q , f =P-1 F Q-1,F、f是MxN的矩陣；P是MxM矩陣；Q是NxN矩陣。,(7-44),(7-43),(7-42),式中，u=0, 1, 2, , M1，v=0, 1, 2, , N1。,對二維離散傅立葉變換，則有,(7-45),(7-46),實踐中，除了 DFT 變換之外， 還采用許多其他的正交變換。例如：DCT (離散余弦變換)、W-H (沃爾什-哈達瑪變換) 、K-L 變換等，下面將對常用的變換作一簡要介紹。,7.4 離散余弦變換（DCT）,離散余弦變換(Discrete Cosine Transform，DCT)的變換核為余弦函數(shù)。除了一般的正交變換性質(zhì)外， 它的變換陣的基向量能很好地描述語音和圖像信號的相關(guān)特征。因此，在對語音、圖像信號的變換中，DCT變換被認為是一種準最佳變換。已頒布的系列圖像視頻壓縮編碼國際標準中，都把DCT作為一個基本的處理模塊。 另外，DCT還是一種可分離的變換。,7.4.1 一維離散余弦變換 一維DCT的變換核定義為,x, u=0, 1, 2, , N1；,(7-47),(7-48),一維序列 f(x)|x=0, 1, , N-1 的 DCT 定義為:,(7-49),將變換式展開整理后，可以寫成矩陣的形式， 即,F=G f, 其中,一維DCT的逆變換IDCT定義為,(7-52),式中， x, u=0, 1, 2, , N1。可見一維DCT的逆變換核與正變換核是相同的。,7.4.2 二維離散余弦變換,考慮到兩個變量，很容易將一維 DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為,(7-53),式中，C(u)和C(v)的定義同式(7-48)；x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 對MxN的數(shù)字圖像f(x, y),其二維DCT定義如下：,(7-54),式中： x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。二維DCT逆變換定義如下：,(7-55),式中：x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 類似一維矩陣形式的DCT，二維DCT的矩陣形式如下： F = G f GT, f = GT F G (7-56),由式(7-55)和式(7-54)可知二維DCT的逆變換核與正變換核也相同，且是可分離的，即,(7-57),C(u) 和 C(v) 的定義同式（7-48）。 根據(jù)可分離性， 二維DCT可用兩次一維DCT來完成，其算法流程與DFT類似。,7.4.3 快速離散余弦變換 DCT變換的計算量雖比DFT小, 但仍然相當大。正如DFT有它的快速算法FFT一樣，DCT也需要有它的快速算法FCT。 由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此也可以利用它們實現(xiàn) FCT 及 IFCT。不過，由于FFT 及 IFFT中要涉及到復(fù)數(shù)運算， 因此這種FCT及IFCT算法并不是最佳的。目前已有多種快速FCT算法, 這里不再做介紹。,圖7-11所示為DCT與DFT的差別。對DCT而言，(0, 0)點對應(yīng)于頻譜的低頻成分，(N-1, N-1)點對應(yīng)于高頻成分，這被稱作能量集中特性;而DFT中， (N2, N2)點對應(yīng)于高頻成分。,圖7-11 DFT和DCT的頻譜分布 （a）DFT頻譜分布； （b） DCT頻譜分布,7.5 離散沃爾什-哈達瑪變換（WHT）,7.5.1 一維離散沃爾什-哈達瑪變換 1. 沃爾什函數(shù)與哈達瑪矩陣 沃爾什函數(shù)是數(shù)學家沃爾什提出的一個正交函數(shù)系，其值只取1和1。有多種排列方式。由于哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)是由2n哈達瑪矩陣（Hadamard Matrix）得到的，而其最大優(yōu)點在于具有簡單的遞推關(guān)系， 即高階矩陣可用兩個低階矩陣的克羅內(nèi)克積求得，因此在此只介紹哈達瑪排列定義的沃爾什變換。,N=2n階哈達瑪矩陣每一行的符號變化規(guī)律對應(yīng)于某一個沃爾什函數(shù)的符號變化規(guī)律，即哈達瑪矩陣的一行對應(yīng)于一個離散沃爾什函數(shù)。形式如下：,(7-64),(7-65),(7-66),哈達瑪矩陣的階數(shù)是按N2n(n0, 1, 2, )規(guī)律排列的，階數(shù)較高的哈達瑪矩陣，可以利用矩陣的克羅內(nèi)克積運算，由低階哈達瑪矩陣遞推得到，即,（7-67）,矩陣的克羅內(nèi)克積(Kronecker Product) 的運算規(guī)律如下：設(shè),則,(7-68),(7-69),2. 離散沃爾什-哈達瑪變換 一維離散沃爾什變換定義為,(7-70),一維離散沃爾什逆變換定義為,(7-71),其中Walsh(u,x)為沃爾什函數(shù)。若用哈達瑪矩陣表示，則式（7-70）和式（7-71）的矩陣形式分別為:,和,(7-72),(7-73),式中，HN為N階哈達瑪矩陣。,由哈達瑪矩陣的特點可知，沃爾什-哈達瑪變換的本質(zhì)是將離散序列f(x)的各項值的符號按一定規(guī)律改變后，進行加減運算，因此，它比采用復(fù)數(shù)運算的DFT和采用余弦運算的DCT要簡單得多。,7.5.2 二維離散沃爾什變換 很容易將一維 WHT 的定義推廣到二維 WHT。二維WHT的正變換和逆變換分別為,(7-74),(7-75),式中：x, u= 0, 1, 2, , M1; y, v= 0, 1, 2, , N1。,其矩陣形式為: F = (1/MN) H f HT , f = HT F H 例如,二維離散序列的矩陣表達式為,和,求這兩個信號的二維WHT。,根據(jù)題意，M=N=4， 其二維WHT變換核為,所以,圖7-12 是一幅數(shù)字圖像的二維WHT變換的結(jié)果。,圖7-12 二維WHT結(jié)果 （a）原圖像； （b）WHT結(jié)果,從上例看出，與二維DCT一樣,二維WHT也具有能量集中的特性，而且原始數(shù)據(jù)越是均勻分布，變換后數(shù)據(jù)越集中于矩陣的左上角。因此，二維WHT可用于壓縮圖像信息。 類似于FFT，WHT也有快速算法FWHT，WHT的變換核是可分離和對稱的， 因此二維FWHT也可分為兩個一維的FWHT進行。 WHT是實數(shù)運算，運算速度比FFT快得多。因此，在圖像傳輸、 通信技術(shù)和數(shù)據(jù)壓縮中被廣泛使用。,7.6 圖像變換的MATLAB實現(xiàn),7.6.1離散傅立葉變換DFT 1. 一維快速DFT(Fast DFT, FFT)函數(shù): fft, ifft. 用法 Y=fft(X); Y是X的傅立葉變換. Z=ifft(Y); Z是Y的傅立葉逆變換. 例 X=1 1 1 1 1 1 1 1; Y=fft(X); Z=ifft(Y); %執(zhí)行后Z和X有什么關(guān)系？ 又例 X=1 0 0 1 0 0 3 -1; Y=fft(X); %執(zhí)行后Y的元素為復(fù)數(shù),2維快速DFT函數(shù):fft2(2維傅立葉變換) ifft2 (2維傅立葉逆變換) 用法: Y=fft2(X); Y是X的2維傅立葉變換 Z=ifft2(Y); Z是Y的2維傅立葉逆變換 例: X=3 -1 2;1 4 6; %X為2行3列 Y=fft2(X); %Y為X的傅立葉變換 Z=ifft2(Y); %Z的結(jié)果應(yīng)等于X A=abs(Y); %A為X的頻譜(幅度譜) P=Y.*conj(Y); %P為X的功率譜,又例: 圖像的2維傅立葉變換 f = zeros(200,200); f(50:150,80:120) = 1; imshow(f ); %定義并顯示圖像 f F = fft2(f); %F為f的傅立葉變換 A = log(abs(F); %A為f的頻譜(對數(shù)譜) figure; imshow(A,); %顯示頻譜 F2 = fftshift(F); %F2為變換平移 figure; imshow(log(abs(F2),); %顯示平移譜,7.6.2離散余弦變換DCT 1. 一維DCT變換函數(shù): dct(正變換), idct(逆變換)。 用法: Y=dct(X); Z=idct(Y); 例 X=1 0 0 1 0 0 3 -1; Y=dct(X); %執(zhí)行后Y的元素為實數(shù) Z=idct(Y); %Z為反變換，應(yīng)與X相等,22維DCT函數(shù): dct2 與 idct2 Y=dct2(X); Z=idct2(Y); 例如二值圖像的變換： f = zeros(200,200); f(50:150,80:120) = 1; imshow(f ); %定義并顯示圖像 f D = dct2(f); %D為f的2維DCT變換 A = log(abs(D); %A為f的DCT頻譜 imshow(A,); %顯示DCT頻譜,灰度圖像DCT變換的例子： I = imread(d:testpictureslena_gray.bmp); %讀入灰度圖像 imshow(I); %顯示圖像 J = dct2(I); %進行DCT變換 imshow(log(abs(J),); %顯示DCT對數(shù)譜 K=uint8(idct2(J); %DCT逆變換 figure; Imshow(K); %顯示逆變換結(jié)果,7.6.3 離散沃爾什-哈達瑪變換DWHT I = imread(d:testpictureslena_gray.bmp); imshow(I); %讀入顯示灰度圖像 H=hadamard(256) ; %H為256階哈達瑪矩陣 I1=double(I); J=H*I1*H/(256*256); %J為I的哈達瑪變換 figure; imshow(log(abs(J),); %顯示對數(shù)譜 K=H*J*H; %K為J的哈達瑪逆變換 figure; Imshow(uint8(K),); %顯示逆變換圖像,7.7 小波變換簡介,7.7.1 小波變換的理論基礎(chǔ) 信號分析是為了獲得時間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立葉變換提供了頻率域信息，但時間域信息卻基本丟失。與傅立葉變換不同，小波變換是通過縮放母小波（Mother wavelet）的寬度來獲得信號的頻率特征， 通過平移母小波來獲得信號的時間信息?？s放和平移是為了計算小波系數(shù)，而小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)程度。,1. 連續(xù)小波變換（CWT） 小波分析就是把一個信號分解為母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)(變換核)。相當于用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波代替傅立葉變換中的正弦波。 圖7-13表示了正弦波和小波的區(qū)別，正弦波從負無窮延續(xù)到正無窮，是平滑而且是可預(yù)測的， 而小波是在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，其均值為0， 不規(guī)則、不對稱。,圖 7-13 正弦波和小波 （a） 正弦波； (b) 小波,從小波和正弦波的形狀看出，變化劇烈的信號， 用不規(guī)則的小波進行分析比用正弦波更好，即用小波更能描述信號的局部特征。連續(xù)小波變換 （Continuous Wavelet Transform， CWT）定義為:,上式表示小波變換是信號f(x)與被縮放和平移的小波函數(shù)()之積在信號存在的區(qū)間里求和的結(jié)果。變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon）的函數(shù)。,基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下： 1) 縮放。簡單地講， 就是壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖7-14所示。,圖7-14 小波的縮放操作,(2) 平移。簡單地講，就是小波的延遲或超前。如圖7-15所示。,圖7-15 小波的平移操作 (a) 小波函數(shù)(t)； (b)平移后的小波函數(shù)(t-k),CWT計算主要有如下五個步驟： 第一步：取一個小波，將其與原始信號的開始一節(jié)進行比較。 第二步：計算數(shù)值 C， C 表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，如圖7-16所示。 第三步：向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個信號，如圖7-17所示。 第四步： 伸展小波后， 重復(fù)第一至第三步, 如圖7-18所示。,圖7-16 計算相似系數(shù)C,圖7-17 計算平移后系數(shù)C,圖7-18 計算尺度伸展后系數(shù)C,第五步：對于所有縮放，重復(fù)第一至第四步。 小波縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子 scale 越小，表示小波越窄，度量的是信號的細節(jié)變化，也就是信號的高頻部分；縮放因子 scale 越大， 表示小波越寬，度量的是信號的粗糙程度，也就是信號的低頻部分。,2. 離散小波變換（DWT） 在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)， 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j0且為整數(shù)）的倍數(shù)， 就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換。通常離散小波變換（Discrete Wavelet Transform， DWT）就是指雙尺度小波變換。,離散小波變換的有效方法是使用濾波器， 由Mallat于1988年提出(Mallat算法)。實際上是一種信號分解的方法，在信號處理中常稱為雙通道子帶編碼。 具體概念如圖7-19所示。S表示原始的輸入信號， 通過兩個互補的濾波器組， 其中一個濾波器為低通濾波器， 通過該濾波器可得到信號的近似值 A（Approximations），另一個為高通濾波器， 通過該濾波器可得到信號的細節(jié)值D（Details）。,圖7-19 小波分解示意圖,在小波分析中，近似值是由大的縮放因子計算出的系數(shù)，表示信號的低頻分量，而細節(jié)值是小的縮放因子計算出的系數(shù)，表示信號的高頻分量。實際上，信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。例如一個人的聲音，如果把高頻分量去掉，聽起來會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。,由圖7-19看出,離散小波變換可以表示成由低通和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補的濾波器組進行的分解稱為一級分解，分解過程也可以不斷進行下去， 進行多級分解。如果對高頻分量不再分解，而對低頻分量繼續(xù)分解，就可以得到不同分辨率下的低頻分量， 稱為信號的多分辨率分析。如此進行下去， 就會形成圖7-20所示的信號的小波分解樹（Wavelet Decomposition Tree）。,圖7-20 多級信號分解示意圖 （a） 信號分解； (b) 小波系數(shù)； （c）小波分解樹,圖7-21 小波分解下采樣示意圖,3. 小波重構(gòu) 將信號的小波分解的分量進行處理后，一般還要根據(jù)需要把信號恢復(fù)出來，也就是利用小波分解系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為小波重構(gòu)（Wavelet Reconstruction）或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。其數(shù)學運算叫做逆離散小波變換（Inverse DWT， IDWT）。,圖7-22 小波重構(gòu)算法示意圖,1）重構(gòu)近似信號與細節(jié)信號 由圖7-22可知，由小波分解的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號的近似值或細節(jié)值，這時只要把另一半系數(shù)置為零即可。 圖7-23 是對第一層近似信號或細節(jié)信號進行重構(gòu)的示意圖。,圖7-23 重構(gòu)近似和細節(jié)信號示意 （a） 重構(gòu)近似信號； (b) 重構(gòu)細節(jié)信號,2）多層重構(gòu) 在圖7-23中，重構(gòu)出信號的近似值A(chǔ)1與細節(jié)值D1之后，則原信號可用A1D1S重構(gòu)出來。對應(yīng)于信號的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)如圖7-24所示。信號重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。分解濾波器組（L 和 H）及重構(gòu)濾波器組（L和H）構(gòu)成一個系統(tǒng)， 稱為正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系統(tǒng)， 如圖7-25所示。,圖7-24 多層小波重構(gòu)示意圖 ( A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S ),圖7-25 多層小波分解和重構(gòu)示意圖,4. 小波包分析 小波分析是將信號分解為近似與細節(jié)部分，近似部分又可以分解成第二層近似與細節(jié)，可以這樣重復(fù)下去。對于一個N層分解來說，有N+1個分解信號的途徑。而小波包分析的細節(jié)與近似部分一樣，也可以分解，對于N層分解，它產(chǎn)生2N個不同的途徑，圖 7-26 是一個小波包分解示意圖。,圖7-