北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)三角函數(shù).docx

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：三角函數(shù)(上)【考點(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容1.角的概念的推廣，弧度制，0360間的角和任意角的三角函數(shù)。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。誘導(dǎo)公式。已知三角函數(shù)的值求角。2.用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值。正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)。余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)。函數(shù)y=asin(x+)的圖像。正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像和性質(zhì)。3.兩角和與差的三角函數(shù)。二倍角的正弦、余弦、正切。半角的正弦、余弦、正切。三角函數(shù)的積化和差與和差化積。4.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。5.反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)與反余切函數(shù)。6.最簡(jiǎn)單的三角方程的解法。二、考試要求1.理解弧度制的意義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算。2.掌握任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的符號(hào)，三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義。會(huì)求函數(shù)y= asin(x+)的周期，或者經(jīng)過簡(jiǎn)單的恒等變形可化為上述函數(shù)的三角代數(shù)式的周期。能運(yùn)用上述三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式。3.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y= asin(x+)的簡(jiǎn)圖，并能解決與正弦曲線有關(guān)的實(shí)際問題。4.能推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式。5.了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式，不要求記憶。6.能正確地運(yùn)用上述公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，求某些角的三角函數(shù)值，證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。7.掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用它們解斜三角形。8.理解反三角函數(shù)的概念，能由反三角函數(shù)的圖像得出反三角函數(shù)的性質(zhì)，能運(yùn)用反三角函數(shù)的定義、性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題。9.掌握最簡(jiǎn)單的三角方程的解法。三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析1.三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)關(guān)系表2.終邊相同的角、區(qū)間角與象限角（1）終邊相同的角是指與某個(gè)角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kz)，即|=2k+，kz，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。（2）區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如|=，。（3）象限角，的終邊落在第幾象限，就稱是第幾象限角。（4）、2之間的關(guān)系。若終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。若終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。3.三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。4.函數(shù)y= asin(x+)（a，0）的性質(zhì)（1）定義域是r；（2）值域a，a；（3）單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間，（kz）上是增函數(shù)；在區(qū)間，（kz）上是減函數(shù)；（4）奇偶性：當(dāng)=k+時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)=k時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)是非奇非偶函數(shù)（kz）；（5）周期性：是周期函數(shù)且最小正周期為t=；（6）對(duì)稱性：關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對(duì)稱，關(guān)于直線x=軸對(duì)稱。5.函數(shù)圖像變換理論（1）函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；（3）函數(shù)x=f(y)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；（4）函數(shù)x=f(y)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱； （5）函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱；（6）函數(shù)y=f(x+p)(p0)的圖像是將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移p個(gè)單位而得；（7）函數(shù)y=f(xp)(p0)的圖像是將函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移p個(gè)單位而得；（8）函數(shù)y=f(x)+q的圖像是將函數(shù)y=f(x)的圖像向上或向下平移|q|個(gè)單位而得，當(dāng)q0時(shí)，向上，q0)的圖像是將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）；（10）函數(shù)qy=f(x)(q0)即y=f(x)的圖像是將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模M坐標(biāo)不變）。6.三角函數(shù)公式內(nèi)在聯(lián)系7.常用的三角恒等式（1）sin2sin2=sin(+)sin()（2）cos2cos2=sin()sin(+)（3）cos+cos+cos=（4）sin3=3sin4sin3（5）cos3=4cos33cos（6）sin2(+)=cos2+cos22coscoscos(+)（7）sin+sin(+)+sin(+)=0（8）sin2+sin2 (+)+sin2 (+)= （9）sin3+sin3 (+)+sin3 (+)= sin3（10）cos3+cos3 (+)+cos3 (+)=cos3（11）sin6+cos6=+cos4（12）sin()sin()+sin()sin()+sin() sin()=0（13）sin+sin+sinsin(+) =4sinsinsin（14）cos+cos+cos+cos(+) =4coscoscos（15）tantan2+tan2tan3+tan(n1)tann=n8.在abc中常用的恒等式（1）tana+tanb+tanc=tanatanbtanc（2）cotacotb+cotbcotc+cotccota=1（3）tantan+tantan+tantan=1（4）+=1（5）sina+sinb+sinc=4coscoscos（6）cosa+cosb+cosc=1+4sinsinsin9.三角形中的公式（1）正弦定理： =2r（2）余弦定理：a2+b2c2=2abcoscb2+c2a2=2bccosac2+a2b2=2cacosb正弦定理、余弦定理溝通了角與邊的關(guān)系，可使邊轉(zhuǎn)化為角，也可使角化為邊。（3）三角形的面積公式，設(shè)abc的面積為，則=absinc=bcsina=acsinb=2r2sinasinbsinc=pr其中p為abc周長(zhǎng)的一半，即p=(a+b+c),r與r分別為abc的外接圓與內(nèi)切圓的半徑。（4）若在abc中，三邊a、b、c成等差數(shù)列，則有下列結(jié)論：a+c=2bsina+sinc=2sinbcos=2cos（4）tantan=（5）0sin，那么下列命題成立的是（ ）a.若、是第一象限角，則coscosb.若、是第二象限，則tantanc.若、是第三象限角，則coscosd.若、是第四象限角，則tantan（2）下列命題中正確的是（ ）a.y=tanx是增函數(shù)b.y=sinx在第一象限是增函數(shù)c.y=arccosx是奇函數(shù)d.y=sinx的反函數(shù)是y=arcsinx（3）函數(shù)y=sin(2x+)的圖象是由函數(shù)y=sin2x的圖像（ ）a.向左平移單位b.向右平移單位c.向左平移單位d.向右平移單位解析 （1）當(dāng)，（0，）時(shí)，由sinsin得，此時(shí)cossin得,，此時(shí)tansin得，此時(shí)cossinsin2sin21cos2cos2tan2tan2 tan0,tantan。故答案選d。（2）y=tanx在每一個(gè)定義區(qū)間上都是增函數(shù)，但在其定義域內(nèi)并不是增函數(shù)；y=sinx在第一象限的每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)，但在第一象限上并不是增函數(shù)；y=arcsinx只是y=sinx，x,的反函數(shù)；令f(x)= arccosx,則f(x)= arccos(x)=arccosx= f(x)所以y=arccosx是奇函數(shù)。故答案選c。（3）y=sin2x圖像向左平移單位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+);y=sin2x圖像，向右平移單位后得y=sin2(x)=sin(2x);y=sin2x圖象向左平移單位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x);y=sin2x圖像向右平移單位后得：y=sin2(x)=sin(2x)=sin(2x+)，故答案選d。例2 已知函數(shù)f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定義域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）判定方程f(x)=tan在區(qū)間（，）上解的個(gè)數(shù)。解 （1）1sinx1 sinx。又函數(shù)y=tanx在x=k+(kz)處無定義，且 （，）,（, ），令sinx=，則sinx=解之得：x=k (kz)f(x)的定義域是a=x|xr，且xk，kztanx在（，）內(nèi)的值域?yàn)椋ǎ?），而當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)y=sinx的值域b滿足（，）bf(x)的值域是（，+）。（2）由f(x)的定義域知，f(x)在0，中的x=和x=處無定義。設(shè)t=sinx，則當(dāng)x0, )（，）（，）時(shí)，t0, (,，且以t為自變量的函數(shù)y=tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調(diào)遞增。又當(dāng)x0，時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t0, 當(dāng)x（，時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t（, 當(dāng)x，時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t（, 當(dāng)x（，）時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t（0，）f(x)=tan(sinx)在區(qū)間0，,（,上分別是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù)。又f(x)是奇函數(shù)，所以區(qū)間（，0，也是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間。故在區(qū)間（，）中,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，（，），（，單調(diào)遞減區(qū)間為。（3）由f(x)=tan得：tan(sinx)=tan()sinx=k+ （kz）sinx=k+(kz)又1sinx1，k=0或k= 1當(dāng)k=0時(shí)，從得方程sinx=當(dāng)k=1時(shí)，從得方程sinx= +顯然方程sinx=,sinx= +，在（, ）上各有2個(gè)解，故f(x)=tan在區(qū)間（，）上共有4個(gè)解。注 本題是正弦函數(shù)與正切函數(shù)的復(fù)合。（1）求f(x)的定義域和值域，應(yīng)當(dāng)先搞清楚y=sinx的值域與y=tanx的定義域的交集；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，必須先搞清f(x)的基本性質(zhì)。如奇偶性、周期性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等。例3 化簡(jiǎn)下列各式(1)cos3a+cos3(+a)+cos3(a);(2) +。 解 （1）由三倍角公式cos3=4cos33cos得：原式=cos3a+cosa+cos3（+a）+cos（+a）+cos3（a）+cos（a）=cos3a+cos3a+cos3a+ cosa+cos(+a)+cos(a)cosa+cos(+a)+cos(a)=cosa+2coscosa=0原式=cos3a(2) = = =cotcot2+=cotcot2+cot2cot4+cot4cot8+cot32cot64=cotcot64=注 本題（1）主要是降冪，通過降冪達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。（2）利用裂項(xiàng)法求和。三角函數(shù)中最好記住一些簡(jiǎn)單的常用結(jié)論。如：=cotcot2,cosa+cos（+a）+cos（a）=0,cos2a+cos2(+a)+cos2(a)=等。這樣既可提高運(yùn)算速度又可產(chǎn)生聯(lián)想的火花。例4 已知:sin3+cos3=1，求sin+cos; sin4+cos4;sin6+cos6的值。解法一 令sin+cos=t，則sincos=sin3+cos3=(sin+cos)(sin2sincos+cos2)=t(1)=1，得：t33t+2=0(t1)2(t+2)=0t2 t=sin+cos=1，且sincos=0。sin4+cos4=(sin2+cos2)2 2sin2cos2=120=1sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4sin2cos2+cos4)=1解法二 sin3sin2,cos3cos2sin3+cos3sin2+cos2=1等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，或sin+cos=sin4+cos4=sin6+cos6=1注 （1）凡是遇到sinx+cosx與sinxcosx類的問題，均應(yīng)采用換元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。（2）三角中的恒等變形與初中所學(xué)整式的恒等變形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵所在。（3）本題還可推廣到一般情形：若k2且sin2k1+cos2k1=1，則sin=1，cos=0或sin=0,cos=1，若sin2k+cos2k=1，則sin=1，cos=0或sin=0,cos=1。例5 （1）已知sin(+)sin()=, (,)，求sin4；（2）已知cos(x+)=,x，求的值。解 （1）+=sin()=cos(+)sin(+)sin()=sin(+)cos(+)=sin(+2)= cos2= 又22,cos2=,sin2= sin4=2sin2cos2= 本題也可以這樣解：sin(+)sin()=（sin+cos）(cossin)= cos2sin2=cos2=也可以用積化和差公式：sin(+)sin()= (cos2cos)= cos2=（2）法一:由x+(,2)知sin(x+)= cosx=cos(x+)=cos(x+)cos+sin(x+)sin= 由cosx0可知，xf()證明 tanx1+ tanx2=+=x1,x2（0，），且x1x22sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,0cos(x1x2)1從而有0cos(x1+x2)+cos(x1x2)=2tan另證：以上是采用化弦，放縮后利用公式tan=加以證明的，也可以利用正切的和差角公式加以證明。左邊右邊=tanx1+tanx2tan= tanx1tan+tanx2tan=tan(x1)(1+tanx1tan)+tan(x2)(1+tanx2tan)=tan(1+tanx1tan1tanx2tan)=tantan(tanx1tanx2)(0, ) tan0又tan和tanx1tanx2在x1x2時(shí)，同為正，在x10。綜上tantan(tanx1tanx2)0，即f(x1)+f(x2)f()注 在三角函數(shù)恒等式、條件等式、不等式證明中，常采用化弦法。本題解法一是化弦，了解決把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的單角轉(zhuǎn)化為和角，同時(shí)又使函數(shù)值適當(dāng)縮小。例7 已知三角形abc的三邊a、b、c和對(duì)應(yīng)的三內(nèi)角a、b、c滿足條件：atana+btanb=(a+b)tan求證：abc是等腰三角形。證明 由atana+btanb=(a+b)tan得：a(tanatan)=b（tantanb）化弦得：a=b兩邊約去cos，及正弦定理把a(bǔ),b換成sina,sinb，則上式變?yōu)閟in=sinsin(tanatanb)=0所以,tana=tanb或者sin=0由這兩個(gè)式子都可以得到a=b，因此abc為等腰三角形。注 （1）三角形中的計(jì)算和證明是三角函數(shù)的一個(gè)重要課題，這里除了應(yīng)用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，三個(gè)內(nèi)角的互補(bǔ)關(guān)系和它們半角之間的互余關(guān)系之外，還有一些獨(dú)特的解題思路和方法，其中把角的函數(shù)化成邊或把邊化成角的函數(shù)是最基本也最常用的方法。（2）在三角形中有不少有趣的關(guān)系式，如:tana+tanb+tanc=tanatanbtanccot+cot+cot=cotcotcottantan+tantan+tantan=1sina+ sinb+ sinc=4coscoscoscosa+ cosb+ cosc=1+4sinsinsinsina+sinb+sincsinasinbsinccosa+cosb+cosccosacosbcoscsin+sin+sinsinsinsin熟悉這些關(guān)系式常常會(huì)給解某些與三角形有關(guān)的題目帶來一些方便。例8 如圖，a、b是一矩 oefg邊界上不同的兩點(diǎn)，且aob=45,oe=1,ef=，設(shè)aoe=.（1）寫出aob的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式f();（2）寫出函數(shù)f(x)的取值范圍。解 （1）oe=1，ef=eof=60當(dāng)0，15時(shí)，aob的兩頂點(diǎn)a、b在e、f上，且ae=tan,be=tan(45+)f()=saob=tan(45+)tan=當(dāng)a（15,45時(shí)，a點(diǎn)在ef上，b點(diǎn)在fg上，且oa=，ob=saob=oaobsin45=sin45=綜上得：f()= （2）由（1）得：當(dāng)0，時(shí)f()= ,1且當(dāng)=0時(shí)，f()min= =時(shí)，f()max=1當(dāng)時(shí),2f（）=,且當(dāng)=時(shí)，f() min=當(dāng)=時(shí)，f() max=所以f(x) ,。注 三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著緊密的關(guān)系，它幾乎滲透了數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支。練習(xí)時(shí)注意三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。例9 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 （xr）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(xr)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解 （1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos