學案函數、基本初等函數的圖像與性質.ppt

1.理解函數的概念，特別是定義域、值域、對應法 則. 2.準確理解函數的性質,奇偶性、單調性、周期性. 3.靈活掌握函數圖象的變換，平移、對稱、翻折、 旋轉等. 4.理解二次函數、并能熟練解決二次函數的有關問 題. 5.理解指數函數、對數函數、冪函數的概念及性質, 并能利用性質解決數學問題. 6.了解分段函數，并能簡單應用.,學案6 函數、基本初等函數的圖象與性質,1.(2009全國)設函數f(x)的定義域為R，若f(x+1) 與f(x-1)都是奇函數，則 （ ） A.f(x)是偶函數 B.f(x)是奇函數 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數 解析 由函數y=f(x+1)是奇函數知， f(x+1)=-f(-x+1), 由函數y=f(x-1)是奇函數知， f(x-1)=-f(-x-1). 由知，f(-x)=-f(2+x), 由知，f(-x)=-f(x-2),f(2+x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x). 函數y=f(x)是以4為周期的函數， 由知，f(x-1+4)=-f(-x-1+4). f(x+3)=-f(-x+3),函數f(x+3)是奇函數. 答案 D 2.(2009全國)函數 的圖象（ ） A.關于原點對稱 B.關于直線y=-x對稱 C.關于y軸對稱 D.關于直線y=x對稱 解析 由于定義域為（-2，2）關于原點對稱，又 f(x)=-f(-x),故函數為奇函數,圖象關于原點對稱.,A,3.（2009天津）設函數 則不等 式f(x)f(1)的解集是 （ ） A.(-3,1)(3,+) B.(-3,1)(2,+) C.(-1,1)(3,+) D.(-,-3)(1,3) 解析 由已知，函數先增后減再增 當x0，f（x）2，f（1）=3， 令f(x)=3,解得x=1,x=3. 當xf(1)=3, 解得-33.,A,4.(2009廣東)已知甲、乙兩車由同一起點同時出 發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的 速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示).那么對于圖中 給定的t0和t1,下列判斷中一定正確的是 （ ） A.在t1時刻，甲車在乙車前面 B.t1時刻后，甲車在乙車后面 C.在t0時刻，兩車的位置相同 D.t0時刻后，乙車在甲車前面 解析 由圖象可知，曲線v甲比v乙在0t0、0 t1與x 軸所圍成圖形面積大，則在t0、t1時刻，甲車均在 乙車前面.,A,題型一 求函數的定義域和值域 【例1】(1)(2009江西)函數 的定義 域為 ( ) A.-4,1 B.-4,0) C.(0,1 D.-4,0)(0,1 (2)若函數y=f(x)的值域是 則函數F(x)=f(x)+ 的值域是 （ ） A. B. C. D.,解析 (1)由題意知 解得-4x0,得1t3;由y0,得 因此 在(1,3上是增函數.,t=3時,ymax= ;t=1時,ymin=1+1=2. 答案 (1)D (2)B 【探究拓展】求解這類問題時,一般有兩種方法:一是 先求外函數的定義域,再把內函數代入;二是直接代 入,寫出復合函數的解析式,使復合函數有意義即可, 這兩種方法實際上都采用了整體代入的基本思想.,變式訓練1 (1)(2008湖北)函數f(x)= 的定義域為 （ ） A.(-,-42,+) B.(-4,0)(0,1) C.-4,0)(0,1 D.-4,0)(0,1) (2)設 g(x)是二次函數,若fg(x)的 值域是0,+),則g(x)的值域是 ( ) A.(-,-1)1,+) B.(-,-10,+) C.0,+) D.1,+),解析 (1)不等式組 的解集為-4,0)(0,1). 所以函數f(x)的定義域為-4,0)(0,1). (2)由題意可知,fg(x)的值域是0,+), 所以函數g(x)的值域是0,+),又g(x)是二次函數, 則選項A,B都不可能,若g(x)的值域是1,+), 則fg(x)的值域也是1,+). 答案 (1)D (2)C,題型二 函數的性質(單調性、奇偶性、周期性) 【例2】(1)(2009山東)已知定義在R上的奇函數 f(x),滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間0,2上是增函 數，則 （ ） A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11) (2)已知函數 若f(0)=2 010，則 f(2 010)=_.,解析（1）因為f(x)滿足f(x-4)=-f(x)， 所以f(x-8)=f(x), 所以函數是以8為周期的周期函數， 則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3), 又因為f(x)在R上是奇函數，f(0)=0， 得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1), 而由f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3) =-f(-3)=-f(1-4)=f(1), 又因為f(x)在區(qū)間0，2上是增函數， 所以f(1)f(0)=0,所以-f(1)0， 即f(-25)f(80)f(11).,（2）因為 即f(x+4)=f(x)，所以函數f(x)是以4為周期的函數， 又2 010=5024+2, 則f(2 010)=f(5024+2)=f(2), 因為 所以f(2 010)= 答案 (1)D (2),【探究拓展】在準確理解函數性質的前提下,切記,奇 函數在原點處有定義,則f(0)=0;函數f(x)滿足: f(x+a)=-f(x),則函數f(x)是以2a為周期的函數; 則函數f(x)是以2a為周期的函數; 則函數f(x)是以4a為周期的函數.,變式訓練2 已知函數f(x)是(-,+)上的偶函數， 若對于x0,都有f(x+2)=f(x),且當x0,2)時,f(x) =log2(x+1),則f(-2 008)+f(2 009)的值為 （ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析 因為f(x+2)=f(x),所以函數f(x)是以2為周期的 函數,則f(-2 008)=f(0),f(2 009)=f(1),所以 f(-2 008)+f(2 009)=f(0)+f(1)=log21+log22=1.,C,題型三 函數的圖象問題 【例3】(2009山東)函數 的圖象大致為 ( ),解析 函數有意義,需使ex-e-x0, 其定義域為x|x0，排除C，D， 又因為 所以當x0時函數為減函數. 答案 A,【探究拓展】(1)圖象信息題可以較為全面的考查考 生的數學素質和能力,解法靈活多樣,一定要靈活掌握 圖象的變換;在利用圖象求交點個數或方程解的個數 時,作圖一定要準確，否則容易得到錯誤的結論. (2)若函數f(x)滿足:f(x+a)=f(b-x),則圖象關于直線 x=a+b對稱;f(a+x)=-f(b-x)，則圖象關于點 0)對稱;函數y=f(1+x)的圖象與函數y=f(1-x)的圖 象,關于y軸對稱.,變式訓練3 符號x表示不超過x的最大整數,如 =3,-1.1=-2，定義函數x=x-x，給出下列四個 命題:函數x的定義域是R，值域為0,1;方程 有無數解；函數x是周期函數;函數x 是增函數.其中正確的命題序號有 （ ） A. B. C. D.,解析 由題意作出函數x=x-x的圖象如圖所示, 結合圖象可知,函數x的定義域是R,值域為0,1), 故錯誤;方程 的解的個數即函數f(x)=x的 圖象與 的圖象的交點個數,交點有無數個,故 正確；正確，周期為1；由圖象易知錯誤. 答案 A,題型四 函數的綜合應用 【例4】已知函數y=f(x)定義在實數集上，且對任意 x,yR均有f(x+y)=f(x)+f(y)，又對任意的x0,都有 f(x)0,f(3)=-6. (1)判斷函數y=f(x)的奇偶性； (2)證明函數y=f(x)在R上為單調減函數； (3)試求函數y=f(x)在a,b(a,bZ,且ab0)上的值 域. (1)解 令x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0.再令y=-x, 得：f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=0,于是函數y=f(x)為奇函數.,(2)證明 對任意x,yR， f(y)+f(x-y)=fy+(x-y)=f(x)， f(x)-f(y)=f(x-y）. 設x1,x2R,且x1x2, 則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),顯然x1-x20. 而由題意可知，對任意的x0,都有f(x)0, f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2), 函數y=f(x)在R上為單調減函數.,(3)解 由于函數y=f(x)在R上為減函數， 故y=f(x)在a,b上為減函數， y=f(x)在a,b上的最大值為f(a),最小值為f(b). 又由于f(b)=f1+(b-1)=f(1)+f(b-1) =2f(1)+f(b-2)=bf(1), 同理:f(a)=af(1). 又f(3)=-6=3f(1)，f(1)=-2， f(b)=-2b,f(a)=-2a， 因此函數y=f(x)在a,b上的值域為-2b,-2a.,【探究拓展】抽象函數的綜合題一般難度較大,常涉 及到多個知識點,抽象思維程度較高,解題時需要把 握好如下三點:一是注意定義域的應用;二是利用函 數的奇偶性去掉函數符號“f”前的“符號”;三是 利用函數的單調性去掉函數符號“f”,然后再求解.,變式訓練4 定義在(-1,1)上的函數f(x)滿足:對任 意x,y(-1,1)都有f(x)+f(y)= f(x)0，當 x(-1,0)時，有f(x)0. (1)試判斷函數f(x)的奇偶性； (2)判斷函數f(x)的單調性； (3)求證： (1)解 令x=y=0，得f(0)=0, 再令y=-x,得f(x)+f(-x)=0， 所以函數f(x)是奇函數.,(2)解 設-1f(x2), 所以f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調遞減,由奇函數的性質 可知,f(x)在區(qū)間(0,1)上也是單調遞減的函數. 所以函數f(x)是定義域上的減函數.,(3)證明,【考題再現】 (2009北京)設函數f(x)=x3-3ax+b (a0). (1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2)處與直線y=8相切,求 a,b的值； (2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值點. 【解題示范】 解 (1)f(x)=3x2-3a, 2分 曲線y=f(x)在點(2,f(2)處與直線y=8相切， 6分,(2)f(x)=3(x2-a) (a0), 當a0時，f(x)0，函數f(x)在(-，+)上單 調遞增， 此時函數f(x)沒有極值點. 8分 當a0時，由f(x)=0,得x= 9分 當x(-, )時,f(x)0， 函數f(x)單調遞增， 10分 當x 時， f(x)0，函數f(x)單調遞減， 11分 當x( ,+)時， f(x)0，函數f(x)單調遞增， 12分 此時 是f(x)的極大值點, 是f(x)的極小值點. 14分,1.定義法是論證函數單調性的基本方法,而用導數法 論證則更快捷、省力、省時. 2.要正確理解奇函數和偶函數的定義,首先定義域要 關于原點對稱,其次在定義域內應滿足:f(x)=-f(-x) 或f(x)=f(-x). 3.奇函數的圖象關于原點對稱;偶函數的圖象關于y軸 對稱,反之亦然.因此也可以根據函數圖象的對稱性, 判斷函數的奇偶性. 4.函數最值(極值)的求解類比于函數值域問題的求 解,方法頗多,導數法尤為重要.,一、選擇題 1.(2009天津)設 則 ( ) A.abc B.acb C.bca D.bac 解析 acb.,B,2.(2008山東)函數y=ln cos x 的圖象是 （ ） 解析 y=ln cos x為偶函數,且函數圖象在 上單 調遞減.,A,3.(2008安徽)在同一平面直角坐標系中，函數 y=g(x)的圖象與y=ex的圖象關于直線y=x對稱,而函數 y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關于y軸對稱，若f(m) =-1,則m的值為 （ ） A.-e B. C.e D. 解析 由題意知y=g(x)應為y=ex的反函數,即y=g(x)= ln x,而y=f(x)與y=g(x)=ln x圖象之間關于y軸對稱, 故可得y=f(x)=ln(-x),又f(m)=-1, 所以ln(-m)=-1,得-m=e-1,即m= .,B,4.(2009山東)定義在R上的函數f(x)滿足：f(x)= 則f(3)的值為 （ ） A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析 由已知得f(-1)=log25,f(0)=log24=2, f(1)=f(0)-f(-1)=2-log25, f(2)=f(1)-f(0)=-log25, f(3)=f(2)-f(1)=-log25-(2-log25)=-2.,B,5.已知函數f(x)=logsin 1(x2+ax+3)在區(qū)間(-,1)上遞 增，則實數a的取值范圍是 ( ) A.(-4,-2 B.-4,-2 C.(-4,+) D.(-,-2 解析 0sin 11, 1,即a-2, 又12+a1+30,a-4,a-4，-2.,B,6.設a1,若對于任意的xa,2a,都有ya,a2滿 足方程logax+logay=3,這時a的取值集合為 （ ） A.a|1a2 B.a|a2 C.a|2a3 D.2,3 解析 因為logax+logay=3，所以xy=a3, 即 又當xa,2a時,ya，a2,B,二、填空題 7.設a1,函數f(x)=logax在區(qū)間a,2a上的最大值與 最小值之差為 則a=_. 解析 因為a1,函數f(x)=logax在區(qū)間a,2a上的最 大值與最小值分別為loga2a,logaa=1,它們的差為 則loga2= a=4.,4,8.設函數 的值為 _. 解析 因為 所以f(2)=22+2-2=4,則,9.如果函數f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0,a1)在區(qū)間0, +)上是增函數,那么實數a的取值范圍是_. 解析 f(x)=ax(2ax-3a2-1)ln a, 由題意知f(x)0對x0,+)恒成立. 當a1時，ln a0，所以2ax-3a2-10對x0, +)恒成立，則3a22ax-1,在0,+)上恒成立. a2 與a1矛盾.無解. 當0a1時，ln a0， 所以2ax-3a2-10對x0,+)恒成立， 則3a22ax-1在x0,+)上恒成立.,10.已知函數f(x)(xR)滿足：f(x+1)=f(x)+f(x+2),且 f(1)=1,f(2)=2 010.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 009)= _. 解析 f(x+1)=f(x)+f(x+2), f(x+2)=f(x+1)+f(x+3), 由得，f(x)=-f(x+3), 則f(x+3)=-f(x+6)， 所以f(x+6)=f(x),即f(x)是以6為周期的函數， 由f(x)=-f(x+3)可得 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 又2 009=6334+5,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2 009) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=f(3)=2 009.,2 009,三、解答題 11.已知函數f(x)的定義域為R,對任意實數m、n都有 (1)判斷函數f(x)的單調性，并證明你的結論; (2)若對任意實數x,不等式f(ax2+ax+1)f(2x