概率論4.1數(shù)學(xué)期望.ppt

4.1 數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 PX=xi=pi，i=1,2, 若級(jí)數(shù)xipi絕對(duì)收斂，則稱其為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（期望或均值），記為E(X)，即 E(X)= xipi 例1 設(shè)X b(1,p)，求E(X)。 例2 設(shè)X ()，求E(X)。,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例3 甲乙兩工人每天生產(chǎn)出相同數(shù)量同種類型的產(chǎn)品，用X1，X2分別表示甲乙兩人某天生產(chǎn)的次品數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到以下數(shù)據(jù)，試比較他們的技術(shù)水平的高低。,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)，在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0x1x2，則X落在小區(qū)間xi, xi+1)上的概率,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,此時(shí)，概率分布 可視為X的離散近似，服從上述分布的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若 絕對(duì)收斂，則稱該積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即 并非所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望。如柯西分布。,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例4 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(a, b)內(nèi)服從均勻分布，求E(X)。 例5 設(shè)X服從參數(shù)為（0）的指數(shù)分布，求E(X) 。 例6 設(shè)X服從Cauchy分布，求E(X) 。,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X)，且E(Y)存在，則 （1）若X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為PX=xi=pi （i=1,2,），則Y的數(shù)學(xué)期望為 （2）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(X) ，則Y的數(shù)學(xué)期望為,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,意義：求Eg(X)時(shí)，不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布即可。這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來(lái)很大的方便。 例8 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=X2的數(shù)學(xué)期望。,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,例9 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0，)內(nèi)服從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=sinX的數(shù)學(xué)期望。 例10 設(shè)XN(0,1)，求E(X)，E(X2)。,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C。 2.設(shè)