級數(shù)的概念和性質(zhì)-2.ppt

1,第八章 無窮級數(shù),2,無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具.,一、級數(shù)的基本概念,計算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,第一節(jié) 級數(shù)的概念和性質(zhì),3,1、級數(shù)的定義:, (常數(shù)項)無窮級數(shù),一般項,部分和數(shù)列,級數(shù)的部分和,4,2、級數(shù)的收斂與發(fā)散:,5,解,收斂,發(fā)散,例1,討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)),的收斂性.,6,發(fā)散,發(fā)散,綜上所述,7,公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：,如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米,如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結(jié)論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？,齊諾悖論阿基里斯與烏龜,8,如果我們從級數(shù)的角度來分析這個問題,齊諾的這個悖論就會不攻自破.,9,10,解,例2,討論無窮級數(shù),的收斂性.,11,解,例3,所以級數(shù)發(fā)散.,12,二、級數(shù)的重要性質(zhì),性質(zhì)1 (級數(shù)收斂的必要條件),證明,13,說明：,1、如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散；,級數(shù)發(fā)散；,級數(shù)發(fā)散。,14,2、必要條件不充分：,再舉一個重要例子：,但級數(shù)發(fā)散。,調(diào)和級數(shù),15,討論,于是,矛盾，,調(diào)和級數(shù),16,由級數(shù)收斂的定義，以及極限的性質(zhì)，不難證明。,也收斂,且有,性質(zhì)2 線性運算性質(zhì),17,注:,證,矛盾.,18,性質(zhì)3,收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.,證略。,注,收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,推論 如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散.,例如,例如，,則級數(shù),且和不變.,19,去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項,不會影響,性質(zhì)4,它的斂散性(但收斂級數(shù)的和可能要改變).,證略。,20,解,例4,由性質(zhì)3，,由性質(zhì)2，,所以,注意：不能去括號,21,由性質(zhì)2，,所以,于是,解,例4,22,例5,判斷下列級數(shù)的斂散性：,故原級數(shù)