東北林業(yè)大學(xué)概率課件.ppt

,2. 離散型隨機(jī)變量的概率分布,一、離散型隨機(jī)變量的概念 定義2.2 如果隨機(jī)變量X的所有可能的不同取值 是有限或可列無(wú)限多個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量. 設(shè)X所有可能的不同取值為 (k=1，2， ，)，若 = , k=1，2， (21) 則稱(21)為X的分布律，也稱為概率分布或概率函 數(shù),即:（Probability Distribution)或 （Probability Function）,顯然，分布律 具有如下兩個(gè)性質(zhì)： 1.（非負(fù)性） 0 =1，2， （23） 2.（規(guī)范性） （24） 事實(shí)上, . 當(dāng)給定了 及 ( k=1，2， )之后，我們就能描述離散 型隨機(jī)量X的分布律，這是因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道它取什么值, 以及以多大的概率取這些值，這也正是我們研究隨機(jī)變量的 分布所需要的,二、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量及其分布律 1. （01）分布 定義2.3 設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律是 （0 1） （25） 即 則稱X服從（01）分布或兩點(diǎn)分布 （Two-point Distribution） 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E，它只有兩種可能的結(jié)果A和 ，即A 要么發(fā)生，要么不發(fā)生，則這種試驗(yàn)E總可以用（01）分布 來(lái)描述，這種試驗(yàn)在實(shí)際中很普遍例如，拋擲硬幣試驗(yàn), A = “出現(xiàn)正面”， “出現(xiàn)反面”；在射擊試驗(yàn)中，,A=“命中目標(biāo)”, “未命中目標(biāo)”;它們都可用 （01）分布來(lái)描述（01）分布是實(shí)際中 經(jīng)常用到的一種分布 2. 二項(xiàng)分布 設(shè)E為n重貝努利試驗(yàn)，用X表示n重貝努利試驗(yàn) 中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量,X所有可 能的取值為0，1，2，n;由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立 的，因此由第一章（118）知 =PA在n次試驗(yàn)中恰好發(fā)生 次= ， =0，1，2，n； 顯然 （） 0 ， =0，1，2，n； （）,注意到 恰好是二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中出現(xiàn) 的 那一項(xiàng),因此,稱X服從的分布為參數(shù)是（ ， ）的二項(xiàng)分布. 定義2.4 若隨機(jī)變量X的分布律為 = ， =0，1，2，； （26） 其中n為正整數(shù)，0 1，則稱服從參數(shù)為（ ，）的二項(xiàng)分 布（Binomial Distribution），記為 . 特別地，當(dāng)n=1時(shí)， ，這就是（01）分布 在實(shí)際中，把概率很?。ㄒ话阋笤?.05以下）的事件稱 為小概率事件由于小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性 很小，因此，在一次試驗(yàn)中，小概率事件實(shí)際上是不應(yīng)該發(fā) 生的. 這條原則我們稱它為實(shí)際推斷原理需要注意的是,實(shí) 際推斷原理是指在一次試驗(yàn)中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生 的，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，小概率事件至少發(fā)生一次卻幾乎 是必然的,在實(shí)際中，我們經(jīng)常要計(jì)算n次獨(dú)立重復(fù)的貝努 利試驗(yàn)中恰好有 次成功的概率 ,至少有 次成功的概率 等.當(dāng)n很大時(shí)，要計(jì)算出它 們的確切數(shù)值很不容易因此，人們希望能找到二 項(xiàng)分布的近似計(jì)算公式法國(guó)數(shù)學(xué)家泊（Poisson，1781-1840）對(duì)此進(jìn)行了研究，得到了如下二項(xiàng)分 布概率計(jì)算的逼近公式 定理2.1 （泊松逼近定理） 若 ，且 =（為常數(shù)），則對(duì)任意確定的自然數(shù)k，有 PX=k= ， k= 0，1，2， ， （27）,由于 n = 為常數(shù)，當(dāng)n較大時(shí)， 必定較小因此, 由上述定理可知，當(dāng)n較大， 較小時(shí)，有以下近似表達(dá)式 （其中n ） k= 0，1，2，n, (28) 而 的值則可通過(guò)查本書(shū)附表1獲得 實(shí)際應(yīng)用中， 當(dāng) 10且 0.1時(shí)， 即可用上述近似公 式計(jì)算；而當(dāng) n100且 = n 10時(shí)，利用上述近似公式效 果更佳如上例中 = 0.031828 二項(xiàng)分布是離散型分布中的重要分布, 應(yīng)用十分廣泛. 利用 泊松逼近定理，很自然引入另一個(gè)重要的分布泊松分布,3. 泊松分布 定義2.5 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，X是定義在樣本空間上的隨機(jī) 變量，若X的分布律 = 0, 1, 2, , （28） 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布（Poisson Distribution）,記 為 在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都可用泊松分布來(lái)描述例如, 一批產(chǎn)品的廢品數(shù)；一本書(shū)中某一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某 汽車站單位時(shí)間內(nèi)前來(lái)候車的人數(shù)；某段時(shí)間內(nèi)，某種放射 性物質(zhì)中發(fā)射出的粒子數(shù)等等，均可用泊松分布來(lái)描述. 泊松分布是概率論中的又一個(gè)重要分布，在隨機(jī)過(guò)程中也有 重要應(yīng)用,4. 幾何分布 定義2.6 若X的分布律為 （29） 其中 0 1， ，則稱X服從參數(shù)為 的幾何分 布（Geometrical Distribution），記為X 若令X表示貝努利試驗(yàn)中事件