課件2-4函數(shù)的單調(diào)性.ppt

基礎(chǔ)知識 一、單調(diào)性定義 1單調(diào)性定義：給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于 D，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，則f(x)為區(qū)間D上的增函數(shù)對于 D，當(dāng)x1x2時，都有f(x1) f(x2)，則f(x)為區(qū)間D上的減函數(shù) 說明：單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間密不可分，單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間 單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間的“整體”性質(zhì)因此，定義中的x1、x2具有任意性,任意的x1、x2,任意的x1、x2,2證明單調(diào)性的步驟：證明函數(shù)的單調(diào)性一般從定義入手，也可以從導(dǎo)數(shù)入手 (1)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是： ； ； (2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 如果f (x) 0，則f(x)為增函數(shù)；如果f (x) 0，則f(x)為減函數(shù),任取x1、x2D，且x1x2,作差f(x1)f(x2)，并適當(dāng)變形,依據(jù)差式的符號確定其增減性,二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論 1若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)g(x) 函數(shù) 2若f(x)為增(減)函數(shù)，則f(x)為 函數(shù) 3互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有 的單調(diào)性 4yfg(x)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為 ；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為 5奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 ；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 ,仍為增,(減),減(增),相同,增函數(shù),減函數(shù),相同,相反,三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有： (1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量值的大小 (2)求某些函數(shù)的值域或最值 (3)解證不等式 (4)作函數(shù)圖象,易錯知識 一、不理解函數(shù)單調(diào)性概念而失誤 1函數(shù)f(x) 的單調(diào)減區(qū)間為_ 答案：(，0)和(0，) 2已知f(x)為偶函數(shù)，在(0，)為減函數(shù)，若f( )0f( )，則方程f(x)0的根的個數(shù)是_ 答案：2,二、求函數(shù)的單調(diào)性時忽視函數(shù)定義域而失誤 3函數(shù)ylog0.7(x23x2)的單調(diào)性為_ 答案：在(，1)上為增函數(shù)，在(2，)上為減函數(shù),三、函數(shù)與方程思想應(yīng)用失誤 4若 則a，b，c的大小關(guān)系為_ 答案：cab 解題思路：方法一：,方法二：構(gòu)造函數(shù)f(x) (x0)，y . 令y 0，lnx1，xe. f(x) 在(e，)上是減函數(shù)，在(0，e)上是增函數(shù) 解法一：a . 543e，f(5)f(4)f(3)bac.,解法二：由y 在(e，)上為減函數(shù)， 又e35， ，bc. ac (6a6b) (ln8ln9)0，ab. ac (10a10b) (ln32ln25)0， ac，故bac.,錯因分析：誤區(qū)1：解題思路不清，找不到解題方法，不會構(gòu)造函數(shù)f(x) (x0)； 誤區(qū)2：能構(gòu)造出函數(shù)，判斷出函數(shù)單調(diào)性，但2、3、5不在一個單調(diào)區(qū)間，而a 這一巧變學(xué)生很難過渡解法二中比較a、b，a、c的技巧，在于系數(shù)找最小公倍數(shù) 啟示：思想方法是數(shù)學(xué)中考查的一個重點，方法靈活多變，平時學(xué)生注意多積累,回歸教材 1下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù)的是( ) Ayx1 By Cyx24x5 Dy 解析：A是減函數(shù)，B中y2x(x0) 由二次函數(shù)的圖象可知x(0,2)上是增函數(shù)，C中y(x2)21在x(0,2)上是減函數(shù)，D是反比例函數(shù)是減函數(shù) 答案：B,2(教材P1601題改編)函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，則 ( ) Ak Bk Ck Dk 解析：xR，y(2k1)xb是減函數(shù)， 2k10，得k . 答案：D,3(教材P602題改編)反比例函數(shù)y .若k0，則函數(shù)的遞減區(qū)間是_若k0，則函數(shù)的遞增區(qū)間是_ 答案：(，0)，(0，) (，0)，(0，),4(2009華東師大附中)若函數(shù)ymx2x5在2，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_ 解析：根據(jù)題意可得：當(dāng)m0，yx5在(2，)上是增函數(shù)；當(dāng)m0時，且 2，解得：0m .綜上所述，m的取值范圍是0m . 答案：0m,5函數(shù)f(x)log5(x22x8)的增區(qū)間是_；減區(qū)間是_ 答案：(4，) (，2),【例1】 已知函數(shù)f(x) log2 ，求函數(shù)f(x)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性,解析 (1)x須滿足 所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,0)(0,1) (2)因為函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的任意x，有,研究f(x)在(0,1)內(nèi)的單調(diào)性，任取x1、x2(0,1)，且設(shè)x1x2，則,得f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減 由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)在(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,總結(jié)評述 由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，只要判斷其在(0,1)上的單調(diào)性便可知道它在對稱區(qū)間(1,0)上的單調(diào)性，故在判斷其單調(diào)性時，首先在(0,1)上任取x1、x2，否則，若直接在(1,0)(0,1)上任取x1x2，則f(x1)f(x2)變形后的符號便不能判斷綜合利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是解決本題的關(guān)鍵,判斷下列函數(shù)的單調(diào)性并證明 (1)f(x) ，x(1，)； (2)f(x)x22x1，x1，)； (3)f(x) ，x1，) 命題意圖：先判斷單調(diào)性，再用單調(diào)性的定義證明(1)采用通分進行變形，(2)采用因式分解進行變形，(3)采用分子有理化的方式進行變形,解析：(1)函數(shù)f(x) 在(1，)上為減函數(shù) 利用定義證明如下： 任取x1、x2(1，)，且1x1x2， 則有x1x20，,(2)函數(shù)f(x)x22x1在1，)上為減函數(shù)，證明如下： 任取x1、x21，)，且x2x11， x2x11，x2x10，x2x12，x2x120， f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)0， 即有f(x1)f(x2) 故函數(shù)f(x)x22x1在1，)上為減函數(shù),(3)函數(shù)f(x) 在1，)上為增函數(shù)， 證明如下： 任取x1、x21，)且1x1x2， 則有x1x20，,總結(jié)評述：對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義(基本步驟為取點、作差或作商、變形、判斷)求解可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之.,【例2】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y|log (x1)|； y1 ； yx33x.,分析 判定函數(shù)的單調(diào)性方法有圖象法、定義法、利用已知函數(shù)的單調(diào)性法、求導(dǎo)法 研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)首先求函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)進行求解 判斷或證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在 (a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟： ()求f(x)； ()確認(rèn)f(x)在(a，b)內(nèi)的符號； ()作出結(jié)論,解答 方法1：設(shè)ulog (x1) 由u0得1x0 由u0得x0 當(dāng)1x0時，u為減函數(shù) y|u|為增函數(shù) (1,0為y|log (x1)|的減區(qū)間 當(dāng)x0時，u為減函數(shù)，y|u|為減函數(shù) (0，)為y|log (x1)|的增區(qū)間,方法2：作函數(shù)y|log (x1)|的圖象 由圖象可知y|log (x1)|的單調(diào)增區(qū)間為(0，)，單調(diào)減區(qū)間為(1,0 由x23x20得x2或x1 設(shè)u(x)x23x2，則y1 x(，1時，u(x)為減函數(shù) x2，)時，u(x)為增函數(shù) 而u0時，y1 為減函數(shù) y1 的單調(diào)增區(qū)間為(，1，單調(diào)減區(qū)間為2，),y3x233(x1)(x1) 令y0得x1或x1， 由y0得1x1， yx33x的增區(qū)間為(，1)和(1，)，減區(qū)間為(1,1),求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性： (1)yx23|x| ； (2)y( )x2x； (3)ylog2(6x2x2),解析：(1)y 由圖象可知，y在(， 及(0， 上分別為減函數(shù)，在 ，0及 ，)上分別為增函數(shù),【例3】 已知函數(shù)f(x)滿足：對任意的實數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy1成立，且f(1)0，當(dāng)x1時f(x)0， (1)判斷函數(shù)f(x)在1，)上的單調(diào)性； (2)在(1)的條件下解不等式f(x22x3)120. 命題意圖 利用單調(diào)性的定義結(jié)合題目所給的等式判斷f(x)的單調(diào)性；最后利用單調(diào)性解不等式,解析 (1)設(shè)x1x21，則x1x20，x1x211，所以f(x1x21)0.又f(x1x21)f(x1x2)f(1)2(x1x2)1，所以f(x1)f(x2)f(x2(x1x2)f(x2)f(x1x2)2x2(x1x2)1f(x1x21)2(x1x2)(x21)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在1，)上單調(diào)遞增,(2)令y1，則f(x1)f(x)12x，所以f(x1)f(x)2x1.所以f(2)f(1)3，f(3)f(2)5，f(4)f(3)7，f(n)f(n1)2(n1)12n1，上述等式兩邊分別相加得f(n)f(1)357(2n1)n21，又因為f(1)0，所以f(n)n21，而當(dāng)n21120時，n11，所以不等式f(x22x3)120等價于f(x22x3)f(11)，又因為x22x3(x1)222.所以不等式又等價于x22x311，所以2x4.即不等式f(x22x3)120的解集為x|2x4,總結(jié)評述 判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法，其關(guān)鍵是根據(jù)所給條件判斷f(x1)f(x2)的符號，多數(shù)情況下需要設(shè)法構(gòu)造出x1x2的因式求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題，主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，其中要把不等式中出現(xiàn)的常數(shù)轉(zhuǎn)化為某自變量的函數(shù)值，把不等式兩邊都化為同一自變量的函數(shù)值的形式，然后根據(jù)單調(diào)性得到自變量應(yīng)滿足的不等式再進行求解,已知函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，當(dāng)x1時，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y) (1)求f(1)； (2)證明f(x)在定義域上是增函數(shù)； (3)如果f( )1，求滿足不等式f(x)f( )2的x的取值范圍,分析：(1)的求解是容易的；對于(2)，應(yīng)利用單調(diào)性定義來證明，其中應(yīng)注意f(xy)f(x)f(y)的應(yīng)用；對于(3)，應(yīng)利用(2)中所得的結(jié)果及f(xy)f(x)f(y)進行適當(dāng)配湊，將所給不等式化為f g(x)f(a)的形式，再利用f(x)的單調(diào)性來求解,解析：(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0.,總結(jié)評述：本題中的函數(shù)是抽象函數(shù)，涉及了函數(shù)在某點處的值、函數(shù)單調(diào)性的證明、不等式的求解在本題的求解中，一個典型的方法技巧是根據(jù)所給式子f(xy)f(x)f(y)進行適當(dāng)?shù)馁x值或配湊這時該式及由該式推出的f( )f(x)實際上已處于公式的地位，在求解中必須依此為依據(jù),1單調(diào)性首先要求函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間 2單調(diào)