電磁場(chǎng)第一章矢量分析與場(chǎng)論.pptVIP

第1章 矢量分析與場(chǎng)論,一、矢量和標(biāo)量的定義,二、矢量的運(yùn)算法則,三、矢量微分元：線(xiàn)元，面元，體元,四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度,六、矢量場(chǎng)的旋度,五、矢量場(chǎng)的散度,七、亥姆霍茲定理及重要的場(chǎng)論公式,一、矢量和標(biāo)量的定義,1.標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量。,矢量表示為：,所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。,其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。,2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、電場(chǎng) 等,如：溫度 T、長(zhǎng)度 L 等,例：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？,圖示法：,力的圖示法：,二、矢量的運(yùn)算法則,1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。,a.滿(mǎn)足交換律：,b.滿(mǎn)足結(jié)合律：,三個(gè)方向的單位矢量用 表示。,根據(jù)矢量加法運(yùn)算：,所以：,在直角坐標(biāo)系下的矢量的表示:,其中：,矢量：,.模的計(jì)算：,.單位矢量：,.方向角與方向余弦：,在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算：,2.減法：換成加法運(yùn)算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：,3.乘法：,（1）標(biāo)量與矢量的乘積：,（2）矢量與矢量乘積分兩種定義,a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：,兩矢量的點(diǎn)積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。,在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即,有兩矢量點(diǎn)積：,結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。,推論1：滿(mǎn)足交換律,推論2：滿(mǎn)足分配律,推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。,推論1：不服從交換律：,推論2：服從分配律：,推論3：不服從結(jié)合律：,推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。,b.矢量積（叉積）：,含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€(xiàn)方向，且三者符合右手螺旋法則。,在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：,兩矢量的叉積又可表示為：,（3）三重積：,三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：,矢量，標(biāo)量與矢量相乘。,標(biāo)量，標(biāo)量三重積。,矢量，矢量三重積。,a. 標(biāo)量三重積,法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。,定義：,含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。,注意：先后輪換次序。,推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。,在直角坐標(biāo)系中：,b.矢量三重積：,例1：,解：,則：,設(shè),求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。,三、矢量微分元：線(xiàn)元，面元，體元,例：,其中 ： 和 稱(chēng)為微分元。,1.直角坐標(biāo)系 在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。,線(xiàn)元：,面元：,體元：,2.圓柱坐標(biāo)系,在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線(xiàn)元：,面元：,體元：,3.球坐標(biāo)系,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線(xiàn)元：,面元：,體元：,a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長(zhǎng)度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：,b. 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 , 其中 為角度，其對(duì)應(yīng)的線(xiàn)元 ，可見(jiàn)拉梅系數(shù)為：,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅爾數(shù)為：,注意：,每個(gè)坐標(biāo)長(zhǎng)度增量同各自坐標(biāo)增量之比, 稱(chēng)為度量系數(shù)或,在正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長(zhǎng)度，其線(xiàn)元必然有一個(gè)修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱(chēng)為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫(xiě)出其線(xiàn)元，面元和體元。,體元：,線(xiàn)元：,面元：,正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系：,四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度,1.標(biāo)量場(chǎng)的等值面,可以看出：標(biāo)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。,以溫度場(chǎng)為例：,熱源,等溫面,b.梯度,定義：標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線(xiàn)方向。,數(shù)學(xué)表達(dá)式：,2.標(biāo)量場(chǎng)的梯度,a.方向?qū)?shù)：,空間變化率，稱(chēng)為方向?qū)?shù)。,為最大的方向?qū)?shù)。,標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)函數(shù)為,甲：每米的溫度變化為 乙：每米的溫度變化為 丙：每米的溫度變化為 同一溫度場(chǎng)中，其等溫面沿不同方向的變化率不同。,方向性導(dǎo)數(shù)不同,計(jì)算：,在直角坐標(biāo)系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,在任意正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中：,在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：,在直角坐標(biāo)系中：,某二維標(biāo)量場(chǎng)梯度,五、矢量場(chǎng)的散度,1. 矢線(xiàn)（場(chǎng)線(xiàn)）：,在矢量場(chǎng)中，若一條曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線(xiàn)成為矢線(xiàn)。,2. 通量：,定義：如果在該矢量場(chǎng)中取一曲面S， 通過(guò)該曲面的矢線(xiàn)量稱(chēng)為通量。,表達(dá)式：,若曲面為閉合曲面：,討論：,a. 如果閉合曲面上的總通量,說(shuō)明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。,b. 如果閉合曲面上的總通量,說(shuō)明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線(xiàn)在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱(chēng)溝。,c. 如果閉合曲面上的總通量,說(shuō)明穿入的通量等于穿出的通量。,3.散度：,a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱(chēng)為該點(diǎn)的散度。,b.表達(dá)式：,c.散度的計(jì)算：,在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。,矢量場(chǎng) 表示為：,在 x方向上：,計(jì)算穿過(guò) 和 面的通量為,因?yàn)椋?則：,在 x 方向上的總通量：,在 z 方向上,穿過(guò) 和 面的總通量：,整個(gè)封閉曲面的總通量：,同理：在 y方向上,穿過(guò) 和 面的總通量：,該閉合曲面所包圍的體積：,通常散度表示為：,4.散度定理：,物理含義：穿過(guò)一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。,柱坐標(biāo)系中：,球坐標(biāo)系中：,正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中：,直角坐標(biāo)系中：,常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式,六、矢量場(chǎng)的旋度,1.環(huán)量：,在矢量場(chǎng)中，任意取一閉合曲線(xiàn) ，將矢量沿該曲線(xiàn)積分稱(chēng)之為環(huán)量。,可見(jiàn)：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。,2.旋度:,定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線(xiàn)方向，那么該矢量稱(chēng)為該點(diǎn)矢量場(chǎng)的旋度。,表達(dá)式：,旋度計(jì)算：,以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：,場(chǎng)矢量：,其中： 為x 方向的環(huán)量密度。,旋度可用符號(hào)表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫(xiě)成下列形式:,類(lèi)似的，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度計(jì)算公式：,對(duì)于柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫(xiě)出旋度的計(jì)算公式。,3.斯托克斯定理：,物理含義： 一個(gè)矢量場(chǎng)旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線(xiàn)積分。,方向相反 大小相等 結(jié)果抵消,亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)化表述如下: 若矢量場(chǎng)F在無(wú)限空間中處處單值, 且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界, 而源分布在有限區(qū)域中, 則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一地確定。 并且, 它可表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和, 即,七、 亥姆霍茲定理,矢量場(chǎng)的分類(lèi),根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類(lèi)：,1) 調(diào)和場(chǎng),若矢量場(chǎng)F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：F=0和F=0 則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)F為調(diào)和場(chǎng)。,注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。,調(diào)和場(chǎng)，有源無(wú)旋場(chǎng)，無(wú)源有旋場(chǎng)，有源有旋場(chǎng),2) 有源無(wú)旋場(chǎng),如果 ，則稱(chēng)矢量場(chǎng)F為無(wú)旋場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即,函數(shù)u稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)F的標(biāo)量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)量位。,無(wú)旋場(chǎng)F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即,這一結(jié)論等價(jià)于無(wú)旋場(chǎng)的曲線(xiàn)積分 與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q 有關(guān)。 標(biāo)量位u的積分表達(dá)式：,由 ，有,函數(shù)A稱(chēng)為無(wú)源場(chǎng)F的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)矢量位。 無(wú)源場(chǎng)F通過(guò)任何閉合曲面S的通量等于零，即,4) 有源有旋場(chǎng),一般的情況下，如果在矢量場(chǎng)F的散度和旋度都不為零，即,如果 ，則稱(chēng)矢量場(chǎng)F為無(wú)源場(chǎng)。無(wú)源場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度，即,（3）無(wú)源有旋場(chǎng),可將矢量場(chǎng)F表示為一個(gè)無(wú)源場(chǎng)Fs和無(wú)旋場(chǎng)Fi 的疊加，即,其中Fs和Fi分別滿(mǎn)足,于是,因而，可定義一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得,重要的場(chǎng)論公式,1. 兩個(gè)零恒等式,任何標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒為零。,任何矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零。,在圓柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,在廣義正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中：,3. 常用的矢量恒等式,基本要求,掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法 掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的幾何意義 掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算 了解矢量場(chǎng)散度