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第六章,一階電路 (First-Order Circuits ),一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響 應(yīng)和全響應(yīng)求解,本章重點(diǎn),動(dòng)態(tài)電路方程的建立及初始條件的 確定,動(dòng)態(tài)電路的方程和初始條件 一階電路的零輸入響應(yīng) 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 一階電路的全響應(yīng) 一階電路的階躍響應(yīng) 一階電路的沖激響應(yīng),主要內(nèi)容,一、動(dòng)態(tài)電路的方程和初始條件,1動(dòng)態(tài)電路(dynamic circuits),定義：含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱動(dòng)態(tài)電路。,特點(diǎn)：當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng) 歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這 個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。,K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài),i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,K接通電源后很長時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài),前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài),過渡狀態(tài),新的穩(wěn)定狀態(tài),?,有一過渡期,電容電路,K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài),i = 0 , uL = 0,uL= 0, i=Us /R,K接通電源后很長時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路,前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài),過渡狀態(tài),新的穩(wěn)定狀態(tài),?,有一過渡期,電感電路,2動(dòng)態(tài)電路的方程,應(yīng)用KVL和電容的VCR得：,若以電流為變量：,應(yīng)用KVL和電感的VCR得：,若以電感電壓為變量：,一階電路,二階電路,描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；,結(jié)論：,動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù).,一階電路:,一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。,動(dòng)態(tài)電路的分類：,二階電路:,二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。,高階電路:,電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。,換路時(shí)電容上的電壓，電感上的電流不 能躍變,3換路定律,由于物體所具有的能量不能躍變，因此，在換路瞬間儲(chǔ)能元件的能量也不能躍變即,uC，iL不能躍變,t = 0 : 表示換路時(shí)刻 (計(jì)時(shí)起點(diǎn))； t = 0- : 表示換路前的終了瞬間； t = 0+ :表示換路后的初始瞬間,換路定律：,4. 初始條件(initial condition),概念：,初始條件：變量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)的值,獨(dú)立變量：變量及其初始值不能用其它變量 和初始值求出如，uC和iL 非獨(dú)立變量：變量及其初始值可以用獨(dú)立變 量和初始值求出指電路中除 uC和iL的其他變量,先由t =0-的電路求出 uC ( 0 ) 、iL ( 0 )； 根據(jù)換路定律，求出獨(dú)立變量初始值 uC( 0+)和iL ( 0+) ； 將電容用電壓源代替，其值為uC(0+)，將電感用電流源代替，其值為iL(0+)，畫出0+時(shí)刻等效電路圖; 根據(jù)0+時(shí)刻等效電路圖，用線性穩(wěn)態(tài)電路的分析方法求出所需要的非獨(dú)立變量初始值,確定初始值的方法：,t=0 時(shí)將開關(guān)K閉合，t0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，試求各元件電流、電壓初始值,t0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開路,例1,解,t=0+的等效電路如下圖(b)所示,0+時(shí)刻等效電路,t=0時(shí)閉合開關(guān)，試求開關(guān)轉(zhuǎn)換前和轉(zhuǎn)換后瞬間的電感電流和電感電壓。,開關(guān)閉合前電路穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路,例2,解,t=0時(shí)閉合開關(guān)， 0+時(shí)刻等效電路如下圖(b)所示,0+時(shí)刻等效電路,所以:,二、 一階電路的零輸入響應(yīng),定義：電路的輸入為零，響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件所儲(chǔ)存的能量產(chǎn)生的，這種響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)(source-free response ),主要內(nèi)容： RC電路的零輸入響應(yīng) RL電路的零輸入響應(yīng),RC電路的零輸入響應(yīng),圖(a)中的開關(guān)原來連接在1端，電壓源U0通過電阻Ro對電容充電，假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓已經(jīng)達(dá)到U0。在t=0時(shí)開關(guān)迅速由1端轉(zhuǎn)換到2端。已經(jīng)充電的電容脫離電壓源而與電阻R并聯(lián)，如圖(b)所示。,由換路定理得：,電阻的電流為：,由KCL和VCR得：,由KVL得：,這是一個(gè)常系數(shù)線性一階齊次微分方程。 其通解為:,由式:,其解為:,稱為特征根(電路的固有頻率)。,得到特征方程 :,于是電容電壓變?yōu)?,A是待定常數(shù)，由初始條件確定。,根據(jù)初始條件 :,求得:,當(dāng)t=0+時(shí)上式變?yōu)?,電流方面：,電路的零輸入響應(yīng)曲線,令 =RC， 具有時(shí)間的量綱，稱它為RC電路的時(shí)間常數(shù)， 的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短。,總結(jié)：,電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；,響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；, 大 過渡過程時(shí)間長, 小 過渡過程時(shí)間短, 的物理意義,電壓初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放電電流小,放電時(shí)間長,C 大（R一定） W=Cu2/2 儲(chǔ)能大,當(dāng) 時(shí),時(shí)間常數(shù) 等于電壓Uc衰減到初始值U0的36.8%所需的時(shí)間。,動(dòng)態(tài)過程時(shí)間(暫態(tài)時(shí)間)的確定,理論上認(rèn)為 、 電路達(dá)穩(wěn)態(tài) .,工程上認(rèn)為 、 電容放電基本結(jié)束。,隨時(shí)間而衰減,能量關(guān)系,電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.,設(shè)uC(0+)=U0,電容放出能量：,電阻吸收（消耗）能量：,在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到,已知電容電壓uC(0-) =6V。t=0閉合開關(guān)，求t 0的電容電壓和電容電流。,例1,解,將連接于電容兩端的電阻網(wǎng)絡(luò)等效于一個(gè)電阻，其電阻值為,得到圖(b)所示電路，,其時(shí)間常數(shù)為,由,得到,RL電路的零輸入響應(yīng),電感電流原來等于電流 I0，電感中儲(chǔ)存一定的磁場能量，在 t=0 時(shí)開關(guān)由1端倒向2端，換路后的電路如圖(b)所示。,電路如下圖,(a),(b),換路后，由KVL得,代入電感VCR方程,得到以下一階線性齊次微分方程,這個(gè)微分方程其通解為,代入初始條件iL(0+)=I0求得,令 ，則電感電流和電感電壓的表達(dá)式為,RL放電電路的波形,電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；,響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，衰減快慢與有關(guān)；, 大 過渡過程時(shí)間長, 小 過渡過程時(shí)間短,能量關(guān)系：,電感不斷釋放能量被電阻吸收, 直到全部消耗完畢.,電感放出能量：,電阻吸收（消耗）能量：,電路如圖所示，K合于已很久， t=0 時(shí)K由 合向，求換路后的,換路前電路已穩(wěn)定，由換路定律可得：,例1,解,從L兩端視入的等效電阻為,換路后電路為零輸入響應(yīng),時(shí)間常數(shù)為：,零輸入響應(yīng)為：,小結(jié),一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的 響應(yīng), 都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。,衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù) RC電路： = RC , RL電路： = L/R R為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。,列方程：,非齊次線性常微分方程,解答形式為：,齊次方程通解,非齊次方程特解,零狀態(tài)響應(yīng)：電路的初始狀態(tài)為零，由外加激勵(lì) 引起的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)(zero-state response )。,三、一階電路的零狀態(tài)響應(yīng),RC電路的零狀態(tài)響應(yīng),與輸入激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解,變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始條件 uC (0+)=0 定積分常數(shù) A,的通解,的特解,電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)； 電容電壓由兩部分構(gòu)成：,從以上式子可以得出：,連續(xù)函數(shù),躍變,穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）,暫態(tài)分量（自由分量）,+,響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)RC決定； 大，充電慢，小充電就快。,響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系；,能量關(guān)系,電容儲(chǔ)存：,電源提供能量：,電阻消耗:,電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲(chǔ)存在電容中。,例,t=0時(shí) , 開關(guān)K閉合，已知 uC（0）=0，求（1）電容電壓和電流，（2）uC80V時(shí)的充電時(shí)間t 。,解,(1) 這是一個(gè)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：,（2）設(shè)經(jīng)過t1秒，uC80V,當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)K閉合，其電感電流和電感電壓的計(jì)算如下：,根據(jù)KVL,有,又,所以,RL電路的零狀態(tài)響應(yīng),這是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解答為：,例1,t=0時(shí) ,開關(guān)K打開，求t0后iL、uL的變化規(guī)律 。,解,這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：,例2,t=0時(shí) ,開關(guān)K打開，求t0后iL、uL的及電流源的端電壓。,解,這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：,全響應(yīng)：由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能和激勵(lì)電源共同引起的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)(complete response )。,四、一階電路的全響應(yīng),解答為 uC(t) = uC + uC“,uC (0)=U0,以RC電路為例，電路微分方程：,=RC,全響應(yīng),uC (0+)=A+US=U0, A=U0 - US,由起始值定A,全響應(yīng)的兩種分解方式,強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解),自由分量(暫態(tài)解),全響應(yīng) = 強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解) + 自由分量(暫態(tài)解),（1） 著眼于電路的兩種工作狀態(tài),物理概念清晰,全響應(yīng)= 零狀態(tài)響應(yīng) + 零輸入響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng),零輸入響應(yīng),(2). 著眼于因果關(guān)系,便于疊加計(jì)算,例1,t=0時(shí) ,開關(guān)K打開，求t0后的iL、uL,解,這是一個(gè)RL電路全響應(yīng)問題，有：,零輸入響應(yīng)：,零狀態(tài)響應(yīng)：,全響應(yīng)：,或求出穩(wěn)態(tài)分量：,全響應(yīng)：,A=4,例2,t=0時(shí) ,開關(guān)K閉合，求t0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。,解,這是一個(gè)RC電路全響應(yīng)問題，有：,穩(wěn)態(tài)分量：,全響應(yīng)：,A=10,三要素法分析一階電路,一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階微分方程：,令 t = 0+,其解答一般形式為：,分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問題,用0+等效電路求解,用t的穩(wěn)態(tài)電路求解,直流激勵(lì)時(shí)：,三要素,解,例2,t=0時(shí) ,開關(guān)閉合，求t0后的iL、i1、i2,解,三要素為：,應(yīng)用三要素公式,三要素為：,例3,已知：t=0時(shí)開關(guān)由12，求換路后的uC(t) 。,解,三要素為：,例4,已知：t=0時(shí)開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t) 。,解,三要素為：,已知：電感無初始儲(chǔ)能 t = 0 時(shí)合k1 , t =0.2s時(shí)合k2 求兩次換路后的電感電流 i(t)。,0 t 0.2s,t 0.2s,解,(0 t 0.2s),( t 0.2s),五、一階電路的階躍響應(yīng),在前面的討論中，我們看到直流一階電路中的各種開關(guān)，可以起到將直流電壓源和電流源接入電路或脫離電路的作用，這種作用可以描述為分段恒定信號對電路的激勵(lì)。 隨著電路規(guī)模的增大和計(jì)算工作量增加，有必要引入階躍函數(shù)來描述這些物理現(xiàn)象，以便更好地建立電路的物理模型和數(shù)學(xué)模型，也有利于用計(jì)算機(jī)分析和設(shè)計(jì)電路。,1(t-t0 ),一、階躍函數(shù),單位階躍函數(shù)1(t)的定義為,k1(t),1,k,t0,1,1(-t),開關(guān)電路可以等效為階躍信號作用于該電路。,二、階躍響應(yīng),階躍響應(yīng)：階躍信號作用下電路的零狀態(tài)響 應(yīng)，稱為電路的 階躍響應(yīng).,單位階躍響應(yīng)：單位階躍信號作用下電路的 零狀態(tài)響應(yīng)，稱為電路的單 位階躍響應(yīng).,單位階躍響應(yīng)用符號s(t)表示 .,單位階躍響應(yīng)用可以用三要素公式求解.,利用三要素公式得到電感電流iL(t)的階躍響應(yīng)如下所示：,時(shí)間常數(shù)：=RC 或 =L/R。,已知電路的階躍響應(yīng)，利用疊加定理容易求得在任意分段恒定信號激勵(lì)下線性時(shí)不變電路的零狀態(tài)響應(yīng)，例如圖 (b)所示信號作用圖 (a)所示RC串聯(lián)電路時(shí)，由于圖(b)所示信號可以分解為下面所示的若干個(gè)延遲的階躍信號的疊加。,其電容電壓uC(t)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為：,由圖(b)知，,用階躍電流源表示圖所示的方波電流，求解電路中電感電流的響應(yīng)，并畫出波形曲線。,圖示方波電流，用兩個(gè)階躍函數(shù)表示： iS(t)=101(t)-101(t-1ms)mA,例1,解,該電路是線性電路，根據(jù)動(dòng)態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于10 1(t)和-10 1(t-1ms)兩個(gè)階躍電源單獨(dú)作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。,1. 階躍電流源101(t)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為：,2. 階躍電流源-101(t-1ms)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為：,3. 應(yīng)用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應(yīng)為；,分別畫出 和 的波形，如曲線1和2所示。然后它們相加得到iL(t)波形曲線，如曲線3所示。,圖示零狀態(tài)電路，激勵(lì)為E=10V，脈沖寬度為 的脈沖函數(shù)，試求輸出電壓uC(t)，并畫出波形曲線。,前例已經(jīng)用分段方法解過此題即,例2,解,此題也可以用階躍函數(shù)表示法求解此時(shí)激勵(lì)為：,uS(t)=10 1(t) - 1(t-1ms) V,該電路是線性電路，根據(jù)動(dòng)態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于10 1(t)和 -10 1(t-1ms)兩個(gè)階躍電源單獨(dú)作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。,1. 階躍電流源10 1(t)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為：,2. 階躍電流源 -10 1(t-1ms)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為 ：,3. 應(yīng)用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應(yīng)為 ：,其波形如右圖所示用第二種解法，當(dāng) t= 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,(a),(b),(c),(d),定義：,六、一階電路的沖擊響應(yīng),一、單位沖擊函數(shù),1(t) 與(t)的關(guān)系：,(t)的篩分性質(zhì)：,二、沖擊響應(yīng),沖擊信號作用下電路的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為電路的 沖激響應(yīng).,如果電路的激勵(lì)是沖擊信號，那么此電路是躍變電