2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試上海卷理科數(shù)學試題及答案

2004年普通高等學校招生上海卷理工類數(shù)學試題一、填空題(本大題滿分48分,每小題4分) 1.若tg=,則tg(+)= . 2.設(shè)拋物線的頂點坐標為(2,0),準線方程為x=1,則它的焦點坐標為 .3.設(shè)集合A=5,log2(a+3),集合B=a,b.若AB=2,則AB= .4.設(shè)等比數(shù)列an(nN)的公比q=,且(a1+a3+a5+a2n-1)=,則a1= .5.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為-5,5.若當x0,5時,f(x)的圖象如右圖,則不等式f(x)0的解是 .6.已知點A(1, 2),若向量與=2,3同向, =2,則點B的坐標為 .7.在極坐標系中,點M(4,)到直線l:(2cos+sin)=4的距離d= .8.圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0, -4),B(0, -2),則圓C的方程為 .9.若在二項式(x+1)10的展開式中任取一項,則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是 . (結(jié)果用分數(shù)表示)10.若函數(shù)f(x)=a在0,+)上為增函數(shù),則實數(shù)a、b的取值范圍是 .11.教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 .12.若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)an是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列an的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組.(寫出所有符合要求的組號) S1與S2; a2與S3; a1與an; q與an. 其中n為大于1的整數(shù), Sn為an的前n項和.二、選擇題(本大題滿分16分,每小題4分)13.在下列關(guān)于直線l、m與平面、的命題中,真命題是( ) (A)若l且,則l. (B) 若l且,則l.(C) 若l且,則l. (D) 若=m且lm,則l.14.三角方程2sin(-x)=1的解集為( ) (A)xx=2k+,kZ. (B) xx=2k+,kZ.(C) xx=2k,kZ. (D) xx=k+(-1)K,kZ.15.若函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=lg(x+1)的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,則 f(x)=( ) (A) 10-x-1. (B) 10x-1. (C) 1-10-x. (D) 1-10x.16.某地2004年第一季度應聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應聘人數(shù)2158302002501546767457065280 行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436 若用同一行業(yè)中應聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢一定是( ) (A)計算機行業(yè)好于化工行業(yè). (B) 建筑行業(yè)好于物流行業(yè).(C) 機械行業(yè)最緊張. (D) 營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張.三、解答題(本大題滿分86分)17.(本題滿分12分) 已知復數(shù)z1滿足(1+i)z1=1+5i, z2=a2i, 其中i為虛數(shù)單位,aR, 若,求a的取值范圍.18.(本題滿分12分)某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時用料最省?19.(本題滿分14分) 第1小題滿分6分, 第2小題滿分8分 記函數(shù)f(x)=的定義域為A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a3時,關(guān)于x的方程f(x)= f(a)有三個實數(shù)解.21.(本題滿分16分) 第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分 如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)(1) 證明：P-ABC為正四面體；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大??；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(3) 設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和? 若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.22.(本題滿分18分) 第1小題滿分6分, 第2小題滿分4分, 第3小題滿分8分 設(shè)P1(x1,y1), P1(x2,y2), Pn(xn,yn)(n3,nN) 是二次曲線C上的點, 且a1=2, a2=2, , an=2構(gòu)成了一個公差為d(d0) 的等差數(shù)列, 其中O是坐標原點. 記Sn=a1+a2+an.(1) 若C的方程為=1,n=3. 點P1(3,0) 及S3=255, 求點P3的坐標； (只需寫出一個)(2)若C的方程為(ab0). 點P1(a,0), 對于給定的自然數(shù)n, 當公差d變化時, 求Sn的最小值；. (3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P1,對于給定的自然數(shù)n,寫出符合條件的點P1, P2,Pn存在的充要條件,并說明理由. 符號意義本試卷所用符號等同于實驗教材符號向量坐標=x,y=(x,y)正切tgtan2004年普通高等學校招生上海卷理工類數(shù)學試題參考答案 一、填空題(本大題滿分48分,每小題4分)1. 3 2.(5,0) 3.1,2,5 4.2 5.(2,0)(2,5 6.(5,4)7. 8.(x2)2+(y+3)2=5 9. 10.a0且b0 11.用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì) 12.、二、選擇題(本大題滿分16分,每小題4分)13.B 14.C 15.A 16.B三、解答題(本大題滿分86分)17.【解】由題意得 z1=2+3i, 于是=,=. ,得a28a+70,1a7.18.【解】由題意得 xy+x2=8,y=(0x4). 于定, 框架用料長度為 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 當(+)x=,即x=84時等號成立. 此時, x2.343,y=22.828. 故當x為2.343m,y為2.828m時, 用料最省.19.【解】(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a0),它的圖象與直線y=x的交點分別為 A(,)B(,) 由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+. (2) 【證法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+. 在同一坐標系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+ 的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點,開口向下的拋物線. 因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點, 即f(x)=f(a)有一個負數(shù)解. 又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+ 當a3時,. f3(2)f2(2)= a2+80, 當a3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f(2)在f2(x)圖象的上方. f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解. 因此,方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解. 【證法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即(xa)(x+a)=0,得方程的一個解x1=a. 方程x+a=0化為ax2+a2x8=0, 由a3,=a4+32a0,得 x2=, x3=, x20, x1 x2,且x2 x3. 若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a, 得a=0或a=,這與a3矛盾, x1 x3. 故原方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.21.【證明】(1) 棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等, DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又截面DEF底面ABC, DE=EF=FD=PD=OE=PF,DPE=EPF=FPD=60, P-ABC是正四面體. 【解】(2)取BC的中點M,連拉PM,DM.AM. BCPM,BCAM, BC平面PAM,BCDM, 則DMA為二面角D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱長均為1, PM=AM=,由D是PA的中點,得 sinDMA=,DMA=arcsin.(3)存在滿足條件的直平行六面體. 棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6,體積為V. 設(shè)直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為, 則該六面體棱長和為6, 體積為sin=V. 正四面體P-ABC的體積是,0V,08Vb0)上各點的最小距離為b,最大距離為a. a1=2=a2, d0,且an=2=a2+(n1)db2, d0 Sn=na2+d在,0)上遞增, 故Sn的最小值為na2+=. 【解法二】對每個自然數(shù)k(2kn), 由 ,解得y= 0 yb2,得d0 d0.