計(jì)算方法模擬試題及參考答案.pdf

真題一 1填空 （1） 設(shè)近似數(shù)2250 . 0 * = =x 是“四舍五入”得來(lái)的，則相對(duì)誤差 )( * xer_; （2） 設(shè)1)( 3 +=+= xxf，則差商= =3 , 2 , 1 , 0f_; （3） 求積公式) 3 3 () 3 3 ()( 1 1 ffdxxf+ 有_次代數(shù)精確度； （4） 為提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)正數(shù)x很大時(shí)，應(yīng)將) 1 11 ln( + + xx 寫(xiě)為 _； （5） = = 22 12 A的三角分解為= LUA_。 2用迭代法（可任選）求方程3=+=+ x ex在（0，1）內(nèi)的根的近似值 1+ +n x。要求 （1）說(shuō)明所用方法為什么收斂； （2） 4 1 10 + + nn xx時(shí)迭代結(jié)束。 3設(shè)有線(xiàn)性方程組 123 123 123 2101.5 2510 1023 xxx xxx xxx += += = 。 （1） 將方程組中三個(gè)方程的上下次序適當(dāng)調(diào)整，使得用高斯-賽德?tīng)?(Gauss-Seidel)方法求解時(shí)對(duì)任意初始向量都收斂； （2） 取 T x)0,0,0( )0( = =，求近似解 )1( + +k x，使得 31 max i x 3)()1( 10 + k i k i xx。 4已知三階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xfy = =的如下數(shù)據(jù)： i x 0.25 1.0 )( i xf 0.50 1.0 )( i x f 0.5 試求滿(mǎn)足插值條件( )( ) ,( )( ) iiii p xf xp xfx=的二次插值多項(xiàng)式)(xp，并 寫(xiě)出截?cái)嗾`差)()()(xpxfxR=的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式（不必證明） 。 5用最小二乘法確定xbayln+=+=中的常數(shù)a和b，使該函數(shù)曲線(xiàn)擬合于下列四 個(gè)點(diǎn)： （1 , 2.5）, (2 , 3.4) , (3 , 4.1) , (4 , 4.4) (計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第 4 位)。 6給定積分 = = 2 1 ln xdxI。 （1） 取定 7 個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn) 1 和 2） ，列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函 數(shù)值表（小數(shù)點(diǎn)后至少保留 5 位 ）； （2） 根據(jù)此表用復(fù)化 Simpson 求積公式求I的近似值（小數(shù)點(diǎn)后保留 5 位 ）； （3） 為使復(fù)化 Simpson 公式所求近似值具有 4 位有效數(shù)字， 試估計(jì)需要用到多 少個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值？ 7給定初值問(wèn)題：0sin 2 =+=+xyyy，1)1(= =y （1） 寫(xiě)出歐拉(Euler)預(yù)估-校正法的計(jì)算格式； （2） 取步長(zhǎng)h=0.2，求)4 . 1(y的近似值（計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保留 5 位 ）。 8設(shè)有求解初值問(wèn)題：),()(yxfxy=， 00) (yxy= =的如下多步法計(jì)算格式 1111 (,)(,) nnnnnnn yaybyh cf xydf xy + =+ 確定參數(shù)dcba,應(yīng)滿(mǎn)足的方程組（不必求解） ，使該格式成為二階格式。 9當(dāng)R取適當(dāng)值時(shí)，曲線(xiàn) 2 xy = =就與 222 )8(Rxy=+=+相切。使用迭代法求切點(diǎn) 橫坐標(biāo)的近似值 1+ +n x，使得 3 1 10 + + nn xx。 （不必求R） 真題二 1填空（每小題 4 分，共 20 分） （1） 設(shè)近似數(shù)025 . 2 ,120 . 1 ,225 . 0 * 3 * 2 * 1 =xxx都是有效數(shù)。 則相對(duì)誤差+)( * 3 * 2 * 1 xxxer_； （2） 矩 陣A的 譜 半 徑)(A 和A的 任 何 一 種 范 數(shù)A的 大 小 關(guān) 系 是 _； （3） 數(shù)值求積公式 ) 3 2 ( 4 3 )0( 4 1 )( 1 0 ffdxxf+ 的代數(shù)精確度為 ； （4） 因?yàn)榫仃嘊的譜半徑0)( B ，所以對(duì)任意初始向量 )0( x，迭代格式 , 2 , 1 , 0, )()1( =+=+= + + kgBxx kk 不收斂_（錯(cuò)或?qū)Γ?； （5） 如果求解線(xiàn)性方程組的 Jacobi 迭代法不是對(duì)任意初始向量 )0( x收斂， 則相 應(yīng)的 Gauss-Seidel 迭 代 法 （JGS） 不是對(duì)任意初始向量 )0( x收斂_ （錯(cuò)或?qū)Γ?。 2 （10 分）用迭代法（非牛頓法）求方程03 2 = x ex在（0 ，1）內(nèi)的根的近似 值 1+ +n x。 要求： （1）說(shuō)明所用方法為什么收斂； （2） 3 1 10 + + nn xx時(shí)迭代結(jié)束。 3 （15 分）已知求解線(xiàn)性方程組 = = 5 2 10 50 10 010 3 2 1 x x x a bb a 的 Jacobi 迭代法對(duì)任意 初始近似都是收斂的 （1）試推斷參數(shù)a和b應(yīng)滿(mǎn)足的條件； （2）取參數(shù)0= =a，1= =b，以及初始向量 T )0 , 0 , 0 (x )0( = =，用 Jacobi 迭代法 求解該方程組的精確解x 4 （10 分）已知單調(diào)連續(xù)函數(shù))(xfy = =的如下數(shù)值表 i x 0.1 0.2 0.3 0.4 )( i xf 2 0 1 2 用插值法求5 . 0)(= =xf在區(qū)間)4 . 0 ,1 . 0(內(nèi)的根的近似值 （小數(shù)點(diǎn)后保留五位） 。 5 （10 分） 設(shè)已知函數(shù)值 m ii xf 0 )( = = ，確定常數(shù)c，使平行于 x 軸的直線(xiàn)cy = =按 最小二乘原理擬合于該組數(shù)據(jù)。 6 （15 分）給定積分 = = 2 . 2 1 4 ln xdxxI。 （1） 取定 7 個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn) 1 和 2.2） ，列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函 數(shù)值表（小數(shù)點(diǎn)后至少保留四位） ； （2） 根據(jù)此表用復(fù)化 Simpson 求積公式求I的近似值（小數(shù)點(diǎn)后保留四位） ； （3）試估計(jì)需要用多少個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，使得用復(fù)化 Simpson 公式所求近似值 的誤差不超過(guò) 4 10 2 1 。 7 （10 分）取步長(zhǎng)1 . 0= =h，求如下常微分方程初值問(wèn)題 = += = += 1y(0) 0x,yx dx dy 2 的解函數(shù)在2 . 0= =x處的近似值要求：每步用 Euler 法進(jìn)行預(yù)估，用梯形法進(jìn) 行一次校正，結(jié)果保留四位小數(shù) 8 （10 分）設(shè) + + + = + + + = 2 1 2 1 2 1 x試寫(xiě)出求x的迭代格式，討論該格式的收斂性， 并由該迭代格式求x的近似值，使迭代誤差不超過(guò)001 . 0 真題三 一、計(jì)算題（每題 8 分，共 40 分） 1. 已知有效數(shù)10 . 0 * 1 =x，02 . 0 * 2 =x，計(jì)算 * 2 2* 1 * )(xxy =的相對(duì)誤差限。 2. 用 LU 分解求解線(xiàn)性方程組 =+ =+ =+ 15536 26454 1022 321 321 321 xxx xxx xxx 3. 已知函數(shù)值表 x 2 1 0 1 2 y 0 1 2 1 0 試用多項(xiàng)式 2 210 xcxccy+=擬合這組數(shù)據(jù)。 4. 用歐拉梯形預(yù)估校正法求初值問(wèn)題 = + = 0)0( 1 0 , 1 2 1 2 y x x xy y 的數(shù)值解，要求取步長(zhǎng) h0.5。 5. 用乘冪法計(jì)算矩陣 51 26 A = 的按摸最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。（小 數(shù)點(diǎn)后保留四位） 二 、（15 分）已知方程1) 1(= x ex在1,2內(nèi)有惟一實(shí)根。 （1）試建立迭代格式, 1 , 0,)( 1 = + kxx kk ，論證其關(guān)于初值)2, 1 ( 0 x的收 斂性； （2）求根的近似值 1+k x，使 3 1 10 + ； B( )AA； C( )AA）的經(jīng)驗(yàn)公式，使它能和下表數(shù)據(jù) 相擬合： i x 1.0 1.25 1.50 1.75 2.00 i y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 七（10 分）設(shè)有求解初值問(wèn)題 00 ( , ) () yf x y y xy = = 的如下格式 11 (3) 2 nnnn h yyff + =+ 如假設(shè) 11 (),() nnnn yy xyy x =，證明該格式為二階格式。 真題一參考答案 1 （1） 4 1022 . 2 （2）1 （3）3 （4）)1(ln(+xx （5） 1 12 11 1 2解法一（牛頓迭代法） ：解法一（牛頓迭代法） ： ( )3 x f xxe=+ 建立牛頓迭代格式為： 1 3 1 k k x k kk x xe xx e + + = + 收斂性論證：因?yàn)?(0)20f= ，所以方程在0,1內(nèi)有根。 因?yàn)?( )10,0,1 x fxex= + 所以方程在0,1內(nèi)有唯一根。 又 ( )0,0,1 x fxex= 當(dāng) 0 1x = 時(shí)，有 00 ()()0f xfx，所以 0 1x = 時(shí)牛頓迭代收斂。 取初值 0 1x = ，迭代計(jì)算如下： 0 1x = ， 1 0.8068243x =， 2 0.7921350x =， 3 0.7920600x = 由于 4 32 10xx ,故 ( )0f x = 僅有一個(gè)根,構(gòu)造迭代公式 1 3 1 8 (), ( )() ,(1,2) 2 kk x xxxx + = , 則當(dāng) 1,2x 時(shí),1 ( )2x . 22 33 1 81 1 |( )| |()|( )1 626 3 x xL = = 故迭代收斂.取 0 1.5x = ,計(jì)算得： 0 1.5x =， 1 1.481248x =， 2 1.482671x =， 3 1.482563x = 由于 3 32 10xx ，所以方程在0,1內(nèi)有唯一根。 解法解法 1 將方程改寫(xiě)為 x e x x 3 1 =，設(shè) x e x x 3 1 )(=，則在0,1上有 0) 1( 3 )( 3 1 )( 22 =x x e exe x x x xx )1(2) 1( 3 1 )( 2 4 += xxeexex x x xxx 0 1) 1( 3 22 3 2 3 2 3 +=+=x x e xx x e xx 所以在0,1上，)(x為單調(diào)減函數(shù)，)(x為單調(diào)增函數(shù) 因?yàn)?2730872 . 0 8 . 03 1 )8 . 0( 8 . 0 =e，906093942 . 0 3 1 ) 1 ( 1 =e，0)( x ， 故當(dāng) 1 , 8 . 0x， 1 , 8 . 0)8 . 0(),1 ()(x； 又 因 為23182718 . 0 ) 18 . 0( 8 . 03 )8 . 0( 2 8 . 0 = e ，0) 11 ( 13 ) 1 (= = e ， 0)( x ，故 123182718 . 0 )8 . 0()(max 18 . 0 = xx 所以在0,1上，)(x，)(x為單調(diào)增函數(shù) 因?yàn)?7735 . 0 3 1 )0(=，95189 . 0 3 1 ) 1 ( 2 1 =e，0)( x ，故當(dāng) 1 , 0x， 1 , 0)1 (),0()(x； 又因?yàn)?0( 2 1 )0(=，) 1 ( 2 1 ) 1 (=，0)( x ，故 147594 . 0 32 1 ) 1 ()(max 2 1 10 所以方程在(1,2內(nèi)有唯一根。 又 ( )60,(1,2fxxx= 0 2x =時(shí)，有 00 ()()0f xfx，所以 0 2x =時(shí)牛頓迭代收斂。 （5 分） （3）取初值 0 2x =，迭代計(jì)算如下： 0 2x =， 1 1.8889x =， 2 1.8795x =， 3 1.8794x = 由于 1 4 32 1 10 2 xx 所以，滿(mǎn)足精度要求的近似根為 x 3 1.8794x = （4 分） 解法解法 2： （1）建立迭代格式為： 1 3 1 (31) kk xx + =+ （3 分） （2）收斂性論證： 1 3 ( )(31)xx=+ k ( ) 1 k x ( ) 2 k x ( ) 3 k x 0 0 0 0 1 -1 6 9 2 5 -2 -1 3 1 2 3 4 1 2 3 因?yàn)?,2x ( )1,2x 22 33 1 ( )(31)( )1 4 xx =+ 因此迭代格式收斂。 （5 分） （3）取初值 0 2x =，迭代計(jì)算如下： x0=2, x1=1.9129 , x2=1.8888, x3=1.8821, x4 =1.8801, x5 =1.8796, x6 =1.8794， 由于 1 4 65 1 10 2 xx 所以，滿(mǎn)足精度要求的近似根為 x 6 1.8794x = （4 分） 解法解法 3： 1 2 1 1 (3) k k x x + =+ 迭代結(jié)果：x0=2, x1=1.8708 , x2=1.8800, x3=1.8793, x4 =1.8794 （具體分步評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)同前兩種解法） 四、解：四、解： （1）對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行線(xiàn)性化得： lnlnyabx=+ 令lnty=，lnAa=，Bb= 則有：tABx=+ ，列出函數(shù)值表 （2 分） （2）代入數(shù)據(jù)得矛盾方程組為： 11.629 1.251.756 1.501.876 1.752.008 2.002.135 AB AB AB AB AB += += += += += （2 分） （3）法方程組為： i x 1.0 1.25 1.50 1.75 2.00 ln i ty= 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135 57.509.404 7.5011.87514.422 AB AB += += （4 分） （4）解得： A=1.122 B=0.5056 則 a=eA=3.071, b=0.5056 故得擬合曲線(xiàn)為： 0.5056 3.071 x ye= （2 分） 七、證明七、證明方法一方法一: 考慮局部截?cái)嗾`差，在假設(shè) 11 (),() nnnn yy xyy x = 下，所給 格式可變形為： 111 (3)()(3 ()() 22 nnnnnnn hh yyffy xy xy x + =+=+ （1） （2 分） 將 1 () n y x 在 n x 做 Taylor 展開(kāi)得： 2 3 1 ()()()()() 2! nnnn h y xy xh yxyxO h =+ （2） （2 分） 將（2）式帶入（1）式并整理得： 23 4 1 ()()()()() 2!4 nnnnn hh yy xhy xy xyxO h + =+ （3） （2 分） 而對(duì) 1 () n y x + 在 n x做 Taylor 展開(kāi)得： 23 4 1 ()()()()()() 2!3! nnnnn hh y xy xh y xy xyxO h + =+ （4） （2 分） 由 （4）-（3）得： 3 4 11 5 ()()() 12 nnn h y xy