2020版高考數(shù)學(xué)第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第三節(jié)平面向量的數(shù)量積學(xué)案新人教A版.docx

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積2019考綱考題考情1平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角。范圍：設(shè)是向量a與b的夾角，則0180。共線與垂直：若0，則a與b同向共線；若180，則a與b反向共線；若90，則a與b垂直。(2)平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0。幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積。2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角。(1)數(shù)量積：ab|a|b|cosx1x2y1y2。(2)模：|a|。(3)夾角：cos。(4)兩非零向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20。(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|。3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律)。(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)。(3)(ab)cacbc(分配律)。1a在b方向上的投影與b在a方向上的投影不是一個(gè)概念，要加以區(qū)別。2對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，由于當(dāng)0時(shí)，ab0，所以ab0是兩個(gè)向量a，b夾角為銳角的必要不充分條件；ab0也不能推出a0或b0，因?yàn)閍b0時(shí)，有可能ab。3在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，bR，則|ab|a|b|；若abac(a0)，則bc。但對(duì)于向量a，b卻有|ab|a|b|；若abac(a0)，則bc不一定成立。4向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線。一、走進(jìn)教材1(必修4P108A組T6改編)已知ab12，|a|4，a和b的夾角為135，則|b|為()A12 B6C3D3解析ab|a|b|cos13512，所以|b|6。答案B2(必修4P104例1改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則向量b在向量a方向上的投影為_。解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos4cos1202。答案2二、走近高考3(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)()A4 B3C2 D0解析a(2ab)2a2ab2(1)3。故選B。答案B4(2017全國卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)。若向量ab與a垂直，則m_。解析由題得，ab(m1,3)，因?yàn)閍b與a垂直，即(ab)a0，所以有(m1)320，解得m7。答案75(2016天津高考)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則的值為()ABCD解析，所以()1111。答案B三、走出誤區(qū)微提醒：搞錯(cuò)向量的夾角求錯(cuò)數(shù)量積；不會(huì)用夾角公式計(jì)算向量的夾角。6已知ABC的三邊長均為1，且c，a，b，則abbcac_。解析因?yàn)閍，bb，ca，c120，|a|b|c|1，所以abbcac11cos120，所以abbcac。答案7已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，則a與2ab夾角的余弦值為()ABCD解析不妨設(shè)|a|b|ab|1，則|ab|2a2b22ab22ab1，所以ab，所以a(2ab)2a2ab，又|a|1，|2ab|，所以a與2ab夾角的余弦值為。答案D考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【例1】(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則等于()A20 B15C9 D6(2)(2018天津高考)在如圖的平面圖形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，則的值為()A15 B9C6 D0解析(1)，所以(43)(43)(16292)(1662942)9。故選C。(2)由2，可知2，所以3。由2，可知2，所以3，故3，連接MN，則BCMN且|3|。所以33()，所以3()3(2)3(|cos1202)6。故選C。答案(1)C(2)C平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法1當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b。2當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2。3利用數(shù)量積的幾何意義求解?！咀兪接?xùn)練】如圖，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若2，則_。解析因?yàn)?，所以，所以。因?yàn)锳BCD，CD2，BAD，所以2|cos，化簡得|2。故()|2(2)222cos12。解析：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy。依題意，可設(shè)點(diǎn)D(m，m)，C(m2，m)，B(n,0)，其中m0，n0，則由2，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化簡得m2。故(m，m)(m2，m)2m22m12。答案12考點(diǎn)二解決有關(guān)向量的長度、夾角、垂直問題微點(diǎn)小專題方向1：長度問題【例2】(1)已知向量a(1，3)，b(2，m)，若ab，則|a2b|()A45 B90C3D3(2)已知向量，滿足|2，2，若(，R)，且1，則|的最小值為()A1 BCD解析(1)因?yàn)閍b，所以m60，解得m6，則b(2，6)，所以a2b(3,9)，所以|a2b|3。故選D。(2)|2()2(1)2424(1)22(1)，因?yàn)?，所以|2424(1)22(1)24244423，當(dāng)時(shí)，|取得最小值。答案(1)D(2)D1利用數(shù)量積求解向量模的問題常用的公式：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|；(3)若a(x，y)，則|a|。2最值問題是在變化中求得一個(gè)特殊情況，在此情況下求解目標(biāo)達(dá)到最值，因此函數(shù)方法是最基本的方法之一。方向2：夾角問題【例3】(2019成都質(zhì)檢)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|1，|b|，則a2b與b的夾角是()ABCD解析因?yàn)閨a2b|2|a|24|b|24ab1141cos3，所以|a2b|。又(a2b)bab2|b|21cos2，所以cosa2b，b，所以a2b與b的夾角為。答案A求向量夾角問題的方法1當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求出ab及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系。2若已知a(x1，y1)與b(x2，y2)，則cosa，b。注意：a，b0，。方向3：垂直問題【例4】已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()AB0C3 D解析因?yàn)?a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3。故選C。答案C兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即：a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab0x1x2y1y20。應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因?yàn)榭梢暳阆蛄颗c任意向量垂直?！绢}點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1(方向1)平面向量a與b的夾角為60，a(2,0)，|b|1，則|a2b|()A6 B36C2D12解析因?yàn)閍(2,0)，所以|a|2，又|b|1，向量a與向量b的夾角為60，所以|a2b|2(a2b)2a24ab4b24421cos60412，所以|a2b|2。故選C。解析：如圖，作出a，2b，則以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，可得a2b，所以|a2b|AC，由題意知DAB60，ABAD2，所以在ABC中，ABBC2，ABC120，故AC2AB2BC22ABBCcos1204422212，則|a2b|AC2。故選C。答案C2(方向2)已知單位向量a，b滿足|ab|ab|，則a與ba的夾角是()ABCD解析因?yàn)閨ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，整理得ab0。在平面直角坐標(biāo)系中作出a，b，ba，如圖，易知a與ba的夾角是。故選D。答案D3(方向3)設(shè)非零向量a，b滿足|2ab|2ab|，則()AabB|2a|b|CabD|a|b|解析因?yàn)閨2ab|2ab|，所以(2ab)2(2ab)2，化簡得ab0，所以ab。故選A。解析：記c2a，則由|2ab|2ab|得|cb|cb|，由平行四邊形法則知，以向量c，b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等，所以該四邊形為矩形，故cb，即ab。故選A。答案A1(配合例1使用)如圖，平面四邊形ABCD中，ABCADC90，BCCD2，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，AC4，AE1，則的值為()A17 B13C5 D1解析因?yàn)锳BCADC90，BCCD2，AC4，所以ABAD2，BACDAC30，所以()()2112cos15012cos15022cos6013361。故選D。答案D2(配合例2使用)已知G為ABC所在平面上一點(diǎn)，且0，A60，2，則|的最小值為_。解析由題意得點(diǎn)G為ABC的重心，則()，所以2(222)(224)。因?yàn)閨cos602，所以|4，所以2(2|4)，當(dāng)且僅當(dāng)|2時(shí)，等號(hào)成立，所以|，即|的最小值為。答案3(配合例3使用)如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBCABDC2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的三等分點(diǎn)，O為DC的中點(diǎn)，則cos，_。解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接OB，可得BOC為等邊三角形，易知A(1，)，B(1，)，C(2,0)，則E，F(xiàn)。所以，故cos，。答案平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛，主要體現(xiàn)于平面向量在平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面的應(yīng)用。類型一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【例1】(1)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn)。若1，則AB_。(2)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足()，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心B外心C重心D垂心解析(1)在平行四邊形ABCD中，又因?yàn)?，所?)22|2|cos60|211|21。所以|0，又|0，所以|。(2)由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知2(D為BC的中點(diǎn))，所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的重心。故選C。答案(1)(2)C向量與平面幾何綜合問題的解法1坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決。2基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解?！咀兪接?xùn)練】已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，(0，)，則()A動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心B動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心C動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的外心D動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的垂心解析因?yàn)?，所以。即，因?yàn)?|)0。所以點(diǎn)P在BC邊的高線上，即P的軌跡一定通過ABC的垂心。答案D類型二平面向量與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用【例2】設(shè)是兩個(gè)非零向量a，b的夾角，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|atb|的最小值為1，則下列判斷正確的是()A若|a|確定，則唯一確定B若|b|確定，則唯一確定C若確定，則|b|唯一確定D若確定，則|a|唯一確定解析設(shè)g(t)(atb)2b2t22taba2，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)，g(t)取得最小值1，所以b22aba21，化簡得a2sin21，所以當(dāng)確定時(shí)，|a|唯一確定。答案D通過向量的數(shù)量積運(yùn)算把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，再結(jié)合函數(shù)、不等式的知識(shí)解決，同時(shí)也要注意平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在這方面的應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練】(2019福州四校聯(lián)考)已知向量a，b為單位向量，且ab，向量c與ab共線，則|ac|的最小值為()A1 BCD解析因?yàn)橄蛄縞與ab共線，所以可設(shè)ct(ab)(tR)，所以ac(t1)atb，所以(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，且ab，所以(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t1，所以|ac|，所以|ac|的最小值為。故選D。解析：因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，且ab，所以向量a，b的夾角為120，在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)向量a(1,0)，b，則ab，因?yàn)橄蛄縞與ab共線，所以可設(shè)ct(tR)，所以ac，所以|ac|，所以|ac|的最小值為。故選D。答案D類型三平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用【例3】已知在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，mnsin2C。(1)求角C的大??；(2)若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且()18，求c。解(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，對(duì)于ABC，ABC,0C，所以sin(AB)sinC，所以mnsinC，又mnsin2C，所以sin2CsinC，cosC，又因?yàn)镃(0，)，所以C。(2)由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，可得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab。因?yàn)?)18，所以18，即abcosC18，ab36。由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)23ab，所以c24c2336，c236，所以c6。1解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決。2還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識(shí)?！咀兪接?xùn)練】(2019惠州模擬)若O為ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足()(2)0，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解析因?yàn)?)(2)0，即()0，()()0，即|，所以ABC是等腰三角形。故選A。答案A類型四平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用【例4】已知平面向量a，b，c滿足|a|b|1，a(a2b)，(c2a)(cb)0，則|c|的最大值與最小值的和為()A0 BCD解析因?yàn)閍(a2b)，所以a(a2b)0，即a