2020版高考數(shù)學(xué)第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第三節(jié)平面向量的數(shù)量積學(xué)案新人教A版.docx_第1頁
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第三節(jié)平面向量的數(shù)量積2019考綱考題考情1平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,作a,b,則AOB就是向量a與b的夾角。范圍:設(shè)是向量a與b的夾角,則0180。共線與垂直:若0,則a與b同向共線;若180,則a與b反向共線;若90,則a與b垂直。(2)平面向量的數(shù)量積定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab|a|b|cos,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a0。幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積。2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1,y1),b(x2,y2),為向量a,b的夾角。(1)數(shù)量積:ab|a|b|cosx1x2y1y2。(2)模:|a|。(3)夾角:cos。(4)兩非零向量ab的充要條件:ab0x1x2y1y20。(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|。3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律)。(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)。(3)(ab)cacbc(分配律)。1a在b方向上的投影與b在a方向上的投影不是一個(gè)概念,要加以區(qū)別。2對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b,由于當(dāng)0時(shí),ab0,所以ab0是兩個(gè)向量a,b夾角為銳角的必要不充分條件;ab0也不能推出a0或b0,因?yàn)閍b0時(shí),有可能ab。3在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若a,bR,則|ab|a|b|;若abac(a0),則bc。但對(duì)于向量a,b卻有|ab|a|b|;若abac(a0),則bc不一定成立。4向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線。一、走進(jìn)教材1(必修4P108A組T6改編)已知ab12,|a|4,a和b的夾角為135,則|b|為()A12 B6C3D3解析ab|a|b|cos13512,所以|b|6。答案B2(必修4P104例1改編)已知|a|5,|b|4,a與b的夾角120,則向量b在向量a方向上的投影為_。解析由數(shù)量積的定義知,b在a方向上的投影為|b|cos4cos1202。答案2二、走近高考3(2018全國卷)已知向量a,b滿足|a|1,ab1,則a(2ab)()A4 B3C2 D0解析a(2ab)2a2ab2(1)3。故選B。答案B4(2017全國卷)已知向量a(1,2),b(m,1)。若向量ab與a垂直,則m_。解析由題得,ab(m1,3),因?yàn)閍b與a垂直,即(ab)a0,所以有(m1)320,解得m7。答案75(2016天津高考)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE2EF,則的值為()ABCD解析,所以()1111。答案B三、走出誤區(qū)微提醒:搞錯(cuò)向量的夾角求錯(cuò)數(shù)量積;不會(huì)用夾角公式計(jì)算向量的夾角。6已知ABC的三邊長均為1,且c,a,b,則abbcac_。解析因?yàn)閍,bb,ca,c120,|a|b|c|1,所以abbcac11cos120,所以abbcac。答案7已知非零向量a,b滿足|a|b|ab|,則a與2ab夾角的余弦值為()ABCD解析不妨設(shè)|a|b|ab|1,則|ab|2a2b22ab22ab1,所以ab,所以a(2ab)2a2ab,又|a|1,|2ab|,所以a與2ab夾角的余弦值為。答案D考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【例1】(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|6,|4,若點(diǎn)M,N滿足3,2,則等于()A20 B15C9 D6(2)(2018天津高考)在如圖的平面圖形中,已知OM1,ON2,MON120,2,2,則的值為()A15 B9C6 D0解析(1),所以(43)(43)(16292)(1662942)9。故選C。(2)由2,可知2,所以3。由2,可知2,所以3,故3,連接MN,則BCMN且|3|。所以33(),所以3()3(2)3(|cos1202)6。故選C。答案(1)C(2)C平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法1當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即ab|a|b|cosa,b。2當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則abx1x2y1y2。3利用數(shù)量積的幾何意義求解?!咀兪接?xùn)練】如圖,在梯形ABCD中,ABCD,CD2,BAD,若2,則_。解析因?yàn)?,所以,所以。因?yàn)锳BCD,CD2,BAD,所以2|cos,化簡得|2。故()|2(2)222cos12。解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xAy。依題意,可設(shè)點(diǎn)D(m,m),C(m2,m),B(n,0),其中m0,n0,則由2,得(n,0)(m2,m)2(n,0)(m,m),所以n(m2)2nm,化簡得m2。故(m,m)(m2,m)2m22m12。答案12考點(diǎn)二解決有關(guān)向量的長度、夾角、垂直問題微點(diǎn)小專題方向1:長度問題【例2】(1)已知向量a(1,3),b(2,m),若ab,則|a2b|()A45 B90C3D3(2)已知向量,滿足|2,2,若(,R),且1,則|的最小值為()A1 BCD解析(1)因?yàn)閍b,所以m60,解得m6,則b(2,6),所以a2b(3,9),所以|a2b|3。故選D。(2)|2()2(1)2424(1)22(1),因?yàn)?,所以|2424(1)22(1)24244423,當(dāng)時(shí),|取得最小值。答案(1)D(2)D1利用數(shù)量積求解向量模的問題常用的公式:(1)a2aa|a|2或|a|;(2)|ab|;(3)若a(x,y),則|a|。2最值問題是在變化中求得一個(gè)特殊情況,在此情況下求解目標(biāo)達(dá)到最值,因此函數(shù)方法是最基本的方法之一。方向2:夾角問題【例3】(2019成都質(zhì)檢)已知平面向量a,b的夾角為,且|a|1,|b|,則a2b與b的夾角是()ABCD解析因?yàn)閨a2b|2|a|24|b|24ab1141cos3,所以|a2b|。又(a2b)bab2|b|21cos2,所以cosa2b,b,所以a2b與b的夾角為。答案A求向量夾角問題的方法1當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí),求a與b的夾角,需求出ab及|a|,|b|或得出它們之間的關(guān)系。2若已知a(x1,y1)與b(x2,y2),則cosa,b。注意:a,b0,。方向3:垂直問題【例4】已知向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),且(2a3b)c,則實(shí)數(shù)k()AB0C3 D解析因?yàn)?a3b(2k3,6),(2a3b)c,所以(2a3b)c2(2k3)60,解得k3。故選C。答案C兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即:a(x1,y1),b(x2,y2),則abab0x1x2y1y20。應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均成立,因?yàn)榭梢暳阆蛄颗c任意向量垂直?!绢}點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1(方向1)平面向量a與b的夾角為60,a(2,0),|b|1,則|a2b|()A6 B36C2D12解析因?yàn)閍(2,0),所以|a|2,又|b|1,向量a與向量b的夾角為60,所以|a2b|2(a2b)2a24ab4b24421cos60412,所以|a2b|2。故選C。解析:如圖,作出a,2b,則以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,可得a2b,所以|a2b|AC,由題意知DAB60,ABAD2,所以在ABC中,ABBC2,ABC120,故AC2AB2BC22ABBCcos1204422212,則|a2b|AC2。故選C。答案C2(方向2)已知單位向量a,b滿足|ab|ab|,則a與ba的夾角是()ABCD解析因?yàn)閨ab|ab|,所以(ab)2(ab)2,整理得ab0。在平面直角坐標(biāo)系中作出a,b,ba,如圖,易知a與ba的夾角是。故選D。答案D3(方向3)設(shè)非零向量a,b滿足|2ab|2ab|,則()AabB|2a|b|CabD|a|b|解析因?yàn)閨2ab|2ab|,所以(2ab)2(2ab)2,化簡得ab0,所以ab。故選A。解析:記c2a,則由|2ab|2ab|得|cb|cb|,由平行四邊形法則知,以向量c,b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等,所以該四邊形為矩形,故cb,即ab。故選A。答案A1(配合例1使用)如圖,平面四邊形ABCD中,ABCADC90,BCCD2,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上,AC4,AE1,則的值為()A17 B13C5 D1解析因?yàn)锳BCADC90,BCCD2,AC4,所以ABAD2,BACDAC30,所以()()2112cos15012cos15022cos6013361。故選D。答案D2(配合例2使用)已知G為ABC所在平面上一點(diǎn),且0,A60,2,則|的最小值為_。解析由題意得點(diǎn)G為ABC的重心,則(),所以2(222)(224)。因?yàn)閨cos602,所以|4,所以2(2|4),當(dāng)且僅當(dāng)|2時(shí),等號(hào)成立,所以|,即|的最小值為。答案3(配合例3使用)如圖,在等腰梯形ABCD中,ADBCABDC2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為線段AB,BC的三等分點(diǎn),O為DC的中點(diǎn),則cos,_。解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,連接OB,可得BOC為等邊三角形,易知A(1,),B(1,),C(2,0),則E,F(xiàn)。所以,故cos,。答案平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份,溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系,所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛,主要體現(xiàn)于平面向量在平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面的應(yīng)用。類型一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【例1】(1)在平行四邊形ABCD中,AD1,BAD60,E為CD的中點(diǎn)。若1,則AB_。(2)已知O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P滿足(),(0,),則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心B外心C重心D垂心解析(1)在平行四邊形ABCD中,又因?yàn)?,所?)22|2|cos60|211|21。所以|0,又|0,所以|。(2)由原等式,得(),即(),根據(jù)平行四邊形法則,知2(D為BC的中點(diǎn)),所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的重心。故選C。答案(1)(2)C向量與平面幾何綜合問題的解法1坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示,這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算,從而使問題得到解決。2基向量法適當(dāng)選取一組基底,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解?!咀兪接?xùn)練】已知O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P滿足,(0,),則()A動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心B動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心C動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的外心D動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的垂心解析因?yàn)?,所以。即,因?yàn)?|)0。所以點(diǎn)P在BC邊的高線上,即P的軌跡一定通過ABC的垂心。答案D類型二平面向量與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用【例2】設(shè)是兩個(gè)非零向量a,b的夾角,若對(duì)任意實(shí)數(shù)t,|atb|的最小值為1,則下列判斷正確的是()A若|a|確定,則唯一確定B若|b|確定,則唯一確定C若確定,則|b|唯一確定D若確定,則|a|唯一確定解析設(shè)g(t)(atb)2b2t22taba2,當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí),g(t)取得最小值1,所以b22aba21,化簡得a2sin21,所以當(dāng)確定時(shí),|a|唯一確定。答案D通過向量的數(shù)量積運(yùn)算把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算,再結(jié)合函數(shù)、不等式的知識(shí)解決,同時(shí)也要注意平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在這方面的應(yīng)用?!咀兪接?xùn)練】(2019福州四校聯(lián)考)已知向量a,b為單位向量,且ab,向量c與ab共線,則|ac|的最小值為()A1 BCD解析因?yàn)橄蛄縞與ab共線,所以可設(shè)ct(ab)(tR),所以ac(t1)atb,所以(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2,因?yàn)橄蛄縜,b為單位向量,且ab,所以(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t1,所以|ac|,所以|ac|的最小值為。故選D。解析:因?yàn)橄蛄縜,b為單位向量,且ab,所以向量a,b的夾角為120,在平面直角坐標(biāo)系中,不妨設(shè)向量a(1,0),b,則ab,因?yàn)橄蛄縞與ab共線,所以可設(shè)ct(tR),所以ac,所以|ac|,所以|ac|的最小值為。故選D。答案D類型三平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用【例3】已知在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m(sinA,sinB),n(cosB,cosA),mnsin2C。(1)求角C的大??;(2)若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,且()18,求c。解(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB),對(duì)于ABC,ABC,0C,所以sin(AB)sinC,所以mnsinC,又mnsin2C,所以sin2CsinC,cosC,又因?yàn)镃(0,),所以C。(2)由sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,可得2sinCsinAsinB,由正弦定理得2cab。因?yàn)?)18,所以18,即abcosC18,ab36。由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)23ab,所以c24c2336,c236,所以c6。1解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決。2還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識(shí)?!咀兪接?xùn)練】(2019惠州模擬)若O為ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn),且滿足()(2)0,則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解析因?yàn)?)(2)0,即()0,()()0,即|,所以ABC是等腰三角形。故選A。答案A類型四平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用【例4】已知平面向量a,b,c滿足|a|b|1,a(a2b),(c2a)(cb)0,則|c|的最大值與最小值的和為()A0 BCD解析因?yàn)閍(a2b),所以a(a2b)0,即a

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