曲線方程的表示方法.docVIP

第一章 曲線論1.1 曲線方程的表示方法曲線的概念：曲線是點(diǎn)按照某一規(guī)律在空間中運(yùn)動(dòng)的軌跡。現(xiàn)實(shí)中的各種軌跡曲線圖形。在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)表示為，軸、軸、軸上的單位向量分別記為。向量，可簡(jiǎn)記為。對(duì)任意向量，成立三角形不等式， 。補(bǔ)充知識(shí)：（1） 向量的內(nèi)積設(shè)，定義，稱為向量與的內(nèi)積；記為或，其中是向量與的夾角?？梢宰C明： 。； 。（2） 向量的外積（或叉積）定義向量的大小為，且與垂直，方向?yàn)槭梗〕捎沂肿鴺?biāo)系，此向量稱為與的外積，記為；在直角坐標(biāo)系中，可以證明：設(shè)，則。外積的大小除了按上面的方法計(jì)算外，還有下面簡(jiǎn)便的計(jì)算。設(shè)， ?；旌戏e ，記，顯然有 。幾何意義二重外積展開(kāi)式， 。Lagrange恒等式 。定理 設(shè)為三階正交矩陣，則有。證明，由外積的計(jì)算公式，并利用Lagrange恒等式，可得， 這是由于 構(gòu)成右手系，或構(gòu)成左手系。求的最小值.解 是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，又是點(diǎn)與點(diǎn)的距離也是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，由于,故的最小值為.注意點(diǎn)與點(diǎn)同在平面的一側(cè),在平面上尋找一點(diǎn),使最小, 點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn), ,此題的幾何意義是經(jīng)典熟知的.一、 平面曲線的幾種表示方法 1 顯表達(dá)：，函數(shù)的圖象說(shuō)成是一段曲線。是該曲線的表達(dá)式，如果某曲線是函數(shù)的圖象，則稱為該曲線的顯表達(dá)式。2隱表達(dá)式：如果曲線上的點(diǎn)是由方程的解所構(gòu)成，則方程表示該曲線。例如：表示一個(gè)圓的曲線， ，表示一個(gè)直線。3曲線的參數(shù)表示：如果曲線上的點(diǎn)可由,的點(diǎn)來(lái)描繪， 則稱它為曲線的參數(shù)方程。例如:單位圓有參數(shù)表達(dá)式,；或 .在 中,令,(即是萬(wàn)有代換),則有 , . 單位圓的參數(shù)方程的幾何意義：過(guò)作斜率為的直線與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)斜率為，則過(guò)點(diǎn)的直線方程為 ，求它與圓的交點(diǎn)，聯(lián)立得利用求根公式解得，從而 為單位圓的參數(shù)方程。例如：橢圓有參數(shù)表達(dá)式,。 例1、 由參數(shù)方程,所確定的曲線稱為旋輪線（也稱為擺線）。來(lái)源背景，它的幾何意義是：當(dāng)一個(gè)圓沿著一條直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓上一個(gè)固定點(diǎn)所描繪出的路徑（曲線）叫做旋輪線（也稱為擺線）。方程建立的過(guò)程。手工操作運(yùn)動(dòng)法。課外搜索閱讀：擺線、最速降線的文獻(xiàn)資料。 4曲線的極坐標(biāo)表示：. O 極坐標(biāo)表示與直坐標(biāo)表示可以互化， 。 幾種表示的優(yōu)缺點(diǎn)。二、空間曲線的表示方法 1參數(shù)表示法： ， 所形成的點(diǎn)描繪出空間中的一條曲線，稱為曲線的參數(shù)表示。例如： 由于，它的幾何意義：它的圖形是圓柱螺線。圓柱螺線的產(chǎn)生方式：將平面上的矩形圖形卷成圓柱，矩形的對(duì)角線在圓柱上就是圓柱螺線。 螺線的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生方式。列舉常見(jiàn)的螺線。2 曲線的向量表示法向量：既有大小又有方向的量稱為向量。在選定坐標(biāo)系下向量的表示：，或 。把參數(shù)曲線， 改寫(xiě)成向量形式 ，兩者表示的是同樣一條曲線， ，稱為該曲線的向量方程。定義 1.1 如果都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，那么曲線， 稱為連續(xù)曲線。 空間曲線的一般定義:設(shè)是一個(gè)區(qū)間，定義在上的向量值函數(shù)，在空間中構(gòu)成的點(diǎn)集，稱為一條曲線，稱為曲線的向量方程。 多種多樣的曲線已被人們所發(fā)現(xiàn)所認(rèn)識(shí)，滿足