(點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)?知識(shí)點(diǎn).doc

第4章 連通性重要知識(shí)點(diǎn) 本章討論拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，包括連通性，局部連通性和弧連通性，并且涉及某些簡(jiǎn)單的應(yīng)用這些拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別一些互不同胚的空間 41 連通空間 本節(jié)重點(diǎn): 掌握連通與不連通的定義.掌握如何證明一個(gè)集合的連通與否?掌握連通性的拓?fù)洳蛔冃?、有限可積性、可商性。 我們先通過(guò)直觀的方式考察一個(gè)例子在實(shí)數(shù)空間R中的兩個(gè)區(qū)間（0，l）和1，2），盡管它們互不相交，但它們的并（0，1）Ul，2）（0，2）卻是一個(gè)“整體”；而另外兩個(gè)區(qū)間（0，1）和（1，2），它們的并（0，1）U（1，2）是明顯的兩個(gè)“部分”產(chǎn)生上述不同情形的原因在于，對(duì)于前一種情形，區(qū)間（0，l）有一個(gè)凝聚點(diǎn)1在1，2）中；而對(duì)于后一種情形，兩個(gè)區(qū)間中的任何一個(gè)都沒(méi)有凝聚點(diǎn)在另一個(gè)中我們通過(guò)以下的定義，用術(shù)語(yǔ)來(lái)區(qū)別這兩種情形 定義411設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個(gè)子集如果 則稱子集A和B是隔離的 明顯地，定義中的條件等價(jià)于 和 同時(shí)成立，也就是說(shuō)，A與B無(wú)交并且其中的任何一個(gè)不包含另一個(gè)的任何凝聚點(diǎn) 應(yīng)用這一術(shù)語(yǔ)我們就可以說(shuō)，在實(shí)數(shù)空間R中，子集（0，1）和（1，2）是隔離的，而子集（0，l）和1，2) 不是隔離的 又例如，易見(jiàn)，平庸空間中任何兩個(gè)非空子集都不是隔離的，而在離散空間中任何兩個(gè)無(wú)交的子集都是隔離的 定義412 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集A和B使得X=AB，則稱X是一個(gè)不連通空間；否則，則稱X是一個(gè)連通空間 顯然，包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間是不連通空間，而任何平庸空間都是連通空間 定理411設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g則下列條件等價(jià)： （l）X是一個(gè)不連通空間； （2）X中存在著兩個(gè)非空的閉子集A和B使得AB= 和 AB X成立； （3） X中存在著兩個(gè)非空的開(kāi)子集A和B使得AB= 和 AB X成立； （4）X中存在著一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集證明（l）蘊(yùn)涵（2）: 設(shè)（1）成立令A(yù)和B是X中的兩個(gè)非空的隔離子集使得ABX，顯然 AB=，并且這時(shí)我們有 因此B是X中的一個(gè)閉子集；同理A也是一個(gè)X中的一個(gè)閉子集這證明了集合A和B滿足條件（2）中的要求 （2）蘊(yùn)涵（3）如果X的子集A和B滿足條件（2）中的要求，所以A、B為閉集，則由于這時(shí)有AB/和B=，因此A、B也是開(kāi)集，所以A和B也滿足條件（3）中的要求 （3）蘊(yùn)涵（4）如果X的子集A和B滿足條件（3）中的要求，所以A、B是開(kāi)集，則由A和B= 易見(jiàn)A和B都是X中的閉集，因此A、B是X中既開(kāi)又閉的真（A、B，AB=X，A、BX）子集，所以條件（4）成立 （4）蘊(yùn)涵（l）設(shè)X中有一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集A令B=則A和B都是X中的非空的閉子集，它們是無(wú)交的并且使得AB=X易見(jiàn)兩個(gè)無(wú)交的閉子集必定是隔離的（因?yàn)殚]集的閉包仍為自己）因此（l）成立 例4. 11 有理數(shù)集Q作為實(shí)數(shù)空間R的子空間是一個(gè)不連通空間這是因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)無(wú)理數(shù)rR-Q，集合（-，r）Q（，rQ是子空間Q中的一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集 定理412 實(shí)數(shù)空間R是一個(gè)連通空間證明 我們用反證法來(lái)證明這個(gè)定理假設(shè)實(shí)數(shù)空間R是不連通空間則根據(jù)定理411，在R中有兩個(gè)非空閉集A和B使得AB= 和 AB R成立任意選取aA和bB，不失一般性可設(shè)ab令=Aa,b，和=Ba,b于是和是R中的兩個(gè)非空閉集分別包含a和b，并且使得=和=a，b成立集合有上界b，故有上確界，設(shè)為由于是一個(gè)閉集，所以，并且因此可見(jiàn)b，因?yàn)閎將導(dǎo)致b，而這與=矛盾因此（，b由于是一個(gè)閉集，所以這又導(dǎo)致，也與=矛盾 定義413設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集如果Y作為X的子空間是一個(gè)連通空間，則稱Y是X的一個(gè)連通子集；否則，稱Y是X的一個(gè)不連通子集 拓?fù)淇臻gX的子集Y是否是連通的，按照定義只與子空間Y的拓?fù)溆嘘P(guān)(即Y的連通與否與X的連通與否沒(méi)有關(guān)系.)因此，如果，則Y是X的連通子集當(dāng)且僅當(dāng)Y是Z的連通子集這一點(diǎn)后面要經(jīng)常用到 定理413 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集，A，BY則A和B是子空間Y中的隔離子集當(dāng)且僅當(dāng)它們是拓?fù)淇臻gX中的隔離子集 因此，Y是X的一個(gè)不連通子集當(dāng)且僅當(dāng)存在Y中的兩個(gè)非空隔離子集A和B使得ABY(定義)當(dāng)且僅當(dāng)存在X中的兩個(gè)非空隔離子集A和B使得ABY證明 因?yàn)橐虼烁鶕?jù)隔離子集的定義可見(jiàn)定理成立 定理414 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)連通子集如果X中有隔離子集A和B使得 YA U B，則或者 YA，或者 YB 證明 如果A和B是X中的隔離子集使得YAUB，則這說(shuō)明AY和BY也是隔離子集然而 （AY）（BY）（AB）YY因此根據(jù)定理413，集合AY和BY中必有一個(gè)是空集如果 AY=，據(jù)上式立即可見(jiàn) YB，如果 BY ，同理可見(jiàn)YA 定理415設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，ZX滿足條件則 Z也是X的一個(gè)連通子集證明 假設(shè)Z是X中的一個(gè)不連通子集根據(jù)定理413，在 X中有非空隔離子集A和B使得Z=AB因此 YAUB由于Y是連通的，根據(jù)定理414，或者YA，或者YB,同理,。這兩種情形都與假設(shè)矛盾 定理416 設(shè)是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個(gè)子集族如果，則是X的一個(gè)連通子集 證明 設(shè)A和B是X中的兩個(gè)隔離子集，使得，AB任意選取x，不失一般性，設(shè)xA對(duì)于每一個(gè)，由于連通，根據(jù)定理 4. 1 4，或者或者 ；由于 x A，所以根據(jù)定理 4 1 3，這就證明了是連通的 定理417 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)子集如果對(duì)于任意x，y Y存在X中的一個(gè)連通子集使得x，y Y，則Y是X中的一個(gè)連通子集證明 如果 Y=，顯然 Y是連通的下設(shè) Y,任意選取a Y，容易驗(yàn)證Y并且a應(yīng)用定理416，可見(jiàn)Y是連通的 我們?cè)?jīng)說(shuō)過(guò)，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)（參見(jiàn)22）所謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個(gè)拓?fù)淇臻g具有必為任何一個(gè)與其同胚的拓?fù)淇臻g所具有的性質(zhì)事實(shí)上，如果拓?fù)淇臻g的某一個(gè)性質(zhì)，它是藉助于開(kāi)集或者藉助于經(jīng)由開(kāi)集定義的其它概念表達(dá)的，則此性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)由于同胚是連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)可商性質(zhì)由于拓?fù)淇臻g到它的商空間的自然的投射是一個(gè)連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是可商性質(zhì) 以下定理418指出，連通性（即一個(gè)拓?fù)淇臻g是連通的這一性質(zhì)）是一個(gè)在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)因此，它是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是可商性質(zhì) 定理418 設(shè)f: XY是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射則f（X）是Y的一個(gè)連通子集證明 如果f（X）是Y的一個(gè)不連通子集，則存在Y的非空隔離子集A和B使得f（X）A B于是（A）和（B）是X的非空子集，并且 所以 （A）和（B）是 X的非空隔離子集此外， （A）（B）（AB）= (f(X)=X這說(shuō)明X不連通與定理假設(shè)矛盾 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P稱為有限可積性質(zhì)，如果任意n0個(gè)拓?fù)淇臻g都具有性質(zhì)p，蘊(yùn)涵著積空間也具有性質(zhì)p 例如，容易直接證明，如果拓?fù)淇臻g都是離散空間（平庸空間），則積空間也是離散空間（平庸空間），因此我們可以說(shuō)拓?fù)淇臻g的離散性和平庸性都是有限可積性質(zhì) 根據(jù)定理329以及緊隨其后的說(shuō)明可見(jiàn)：假設(shè)已知拓?fù)淇臻g的某一個(gè)性質(zhì)p是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)為了證明性質(zhì)p是一個(gè)有限可積性質(zhì)我們只要證明任何兩個(gè)具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g的積空間也是具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g定理419設(shè)是n個(gè)連通空間則積空間也是連通空間 證明 根據(jù)前一段中的說(shuō)明，我們只要對(duì)于n=2的情形加以證明 首先我們指出：如果兩個(gè)點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)相同，則有一個(gè)連通子集同時(shí)包含x和y不失一般性，設(shè) 定義映射k：使得對(duì)于任何有由于是取常值的映射，為恒同映射，它們都是連續(xù)映射，其中分別是到第 1和第 2個(gè)坐標(biāo)空間的投射因此，k是一個(gè)連續(xù)映射根據(jù)定理418，k()是連通的此外易見(jiàn)，因此它同時(shí)包含 x和y 現(xiàn)在來(lái)證明：中任何兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)屬于的某一個(gè)連通子集這是因?yàn)檫@時(shí)若令，則根據(jù)前段結(jié)論，可見(jiàn)有的一個(gè)連通子集同時(shí)包含 x和 z，也有的一個(gè)連通子集同時(shí)包含y和z由于z，所以根據(jù)定理41. 6，是連通的，它同時(shí)包含x和y 于是應(yīng)用定理417可見(jiàn)是一個(gè)連通空間 由于n維歐氏空間是n個(gè)實(shí)數(shù)空間R的笛卡兒積，而實(shí)數(shù)空間R又是一個(gè)連通空間，所以應(yīng)用這個(gè)定理可見(jiàn)，n維歐氏空間是一個(gè)連通空間 作業(yè): P.116 3. 5. 6. 8. 14. 42 連通性的某些簡(jiǎn)單應(yīng)用本節(jié)重點(diǎn): 掌握實(shí)數(shù)空間R中的連通子集的”形狀” 掌握實(shí)數(shù)空間R的子集中常見(jiàn)的連通子集與不連通子集.掌握常見(jiàn)的幾種空間的同胚與否的事實(shí). 讓我們回憶實(shí)數(shù)集合R中區(qū)間的精確定義：R的子集E稱為一個(gè)區(qū)間，如果它至少包含兩個(gè)點(diǎn)，并且如果a，bE，ab，則有 a，b=xR | axbE 讀者熟知，實(shí)數(shù)集合R中的區(qū)間共有以下九類： （-，），（a，），a，），（-，a），(-，a （a，b），（a，b，a，b），a，b因?yàn)?，一方面以上九類集合中的每一個(gè)顯然都是區(qū)間；另一方面，如果ER是一個(gè)區(qū)間，可視E有無(wú)上（下）界，以及在有上（下）界的情形下視其上（下）確界是否屬于E，而將E歸入以上九類之一在定理412中我們證明了實(shí)數(shù)空間R是一個(gè)連通空間由于區(qū)間（a，），（，a）和（a，b）都同胚于R（請(qǐng)讀者自己寫(xiě)出必要的同胚映射），所以這些區(qū)間也都是連通的；由于 根據(jù)定理415可見(jiàn)區(qū)間a，），（，a，a，b），（a，b和a，b都是連通的 另一方面，假設(shè)E是R的一個(gè)子集，并且它包含著不少于兩個(gè)點(diǎn)如果E不是一個(gè)區(qū)間，則, 也就是說(shuō),存在ac0,當(dāng)i時(shí)有 B(x,(x,y)/3)對(duì)于B(y,(x,y)/3),存在0,當(dāng)i時(shí)有 B(y,(x,y)/3)取N=max,則當(dāng)iN時(shí)有 B(x,(x,y)/3)B(y,(x,y)/3)與B(x,(x,y)/3)B(y,(x,y)/3)=.矛盾3.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,B是一個(gè)基,xX,則Bx