第03章習題解答.pdf

1 習題習題 3 參考解答參考解答 3.1 設在一線性系統(tǒng)上加一個正弦輸入：( , )cos2()g x yxy，在什么充分條件下，輸 出是一個空間頻率與輸入相同的實數值正弦函數？用系統(tǒng)適當的特征表示出輸出的振幅 和相位。 解：系統(tǒng)的輸入是 i2()i2() 11 ( , )cos2()ee 22 xyxy g x yxy 因為要求輸出是一個空間頻率與輸入相同的實數值正弦函數，可用( ,)g x y表示它， i ( , )i2()i ( , )i2() ( ,)( , )cos2 ()( , ) 11 ( , )ee( , )ee 22 xyxy g x yAxy AA 式中：( , )A 和( , ) 均為實函數，分別表示正弦輸出頻率有關的振幅和相移。令： i ( , ) ( , )( , )eHA 則有： i2()*i2() 11 ( ,)( , )e( , )e 22 xyxy g x yHH 。用算符L表示系統(tǒng)的作用，即： ( , )( ,)L g x yg x y，則系統(tǒng)輸入、輸出的正頻分量應滿足下列關系： i2()i2() e( , )e xyxy LH 即： 2()i2() ( ,; , )ed d( , )e xy h x yH i 式中，h為系統(tǒng)的脈沖響應。等兩端同乘以 i2() e xy 并對, 取積分，等式左端得到： i2()i2() i2 ()() ( ,; , )ed ded d ( ,; , )d ded d ( ,; , ) (,)d d( ,; , ) xy xy h x y h x y h x yxyh x y x y 等式右端得到： i2()i2()i2 ()() ( , )eed d( , )ed d(,) xyxyxxy HHh xx yy 由此可知，系統(tǒng)應該是空間不變的線性系統(tǒng)，其空間不變的脈沖響應滿足： 2 ( ,; , )(,)h x y x yh xx yy ( , )H 正是系統(tǒng)的傳遞函數，它是脈沖響應的傅里葉變換， ( , ) (,)HF h xx yy 對于這樣的空間不變的線性系統(tǒng)，若輸入一個正弦函數，會得到一個空間頻率相同的正弦輸 出，其振幅和相移分別由系統(tǒng)傳遞函數的模和幅角表示，即 ( ,)( , )cos2()( , )g x yAxy 3.2 證明零階貝塞爾函數 00 J (2) r是任何具有圓對稱脈沖響應的線性不變系統(tǒng)的本征函數。 對應的本征值是什么？ 證明：把 00 J (2) r作為輸入函數，施加到一個用脈沖響應( )h r和傳遞函數( )H所表征的系 系統(tǒng)上。輸出可以寫成： 0 ( )()* ( )g rHh r 因此，輸出頻譜等于 00 0 00 ()() ( )( )() 22 GHH 對上式作傅里葉逆變換，可得： 000 ( )()J (2)g rHr 于是可以看出， 00 J (2) r是一個本征函數，相應的本征值等于傳遞函數在 0 的值。 3.3 傅里葉系統(tǒng)算符可以看成是函數到其他變換式的變換，因此它滿足本章所提出的關于系 統(tǒng)的定義。試問： (a) 這個系統(tǒng)是線性的嗎？ (b) 你是否具體給出一個表征這個系統(tǒng)的傳遞函數？如果能夠，它是什么？如果不能， 為什么不能？ 答：(a) 我們把系統(tǒng)廣義地定義為一個變換， 由于傅里葉變換算符可以看成是函數到其變換式 的變換，因而可把它看作系統(tǒng)。即可以用系統(tǒng)的算符表示傅里葉變換： ( , ) ( , )L g x yF g x y 3 由傅里葉變換的線性定理可得： ( , )( , ) ( , ) ( , )Fg x yh x yF g x yF h x y 即： ( , )( , ) ( , ) ( , )Lg x yh x yL g x yL h x y 對所有的輸入函數( , )g x y和( , )h x y以及所有復數常數, ，系統(tǒng)滿足上述迭加性質，因而是 線性的。 (b) 設系統(tǒng)的輸入為( , )g x y，輸出為( , )G 。由傅里葉變換定義 i2() ( , )( , )ed d xy Gg x yx y 若寫成線性系統(tǒng)疊加積分的形式，則有： ( , )( , ) ( , ; , )d dGg x y h x yx y 其中 i2() ( , ; , )e xy h x y ，它表示輸出平面點上對輸入平面位于( , )x y點處函數輸入 的響應，稱為系統(tǒng)的脈沖響應。顯然 ( , ; , )(;)h x yhxy 即脈沖響應h并不依賴于距離之差x和y，系統(tǒng)是“空間變”的。僅僅對于空間不變的 線性系統(tǒng)，其在頻域的作用才可以用系統(tǒng)的傳遞函數表示。而對于“空間變”系統(tǒng)，則不能 給出表征系統(tǒng)作用的傳統(tǒng)函數。 3.4 某一成像系統(tǒng)的輸入是復數值的物場分布( , ) o Ux y，其空間頻率含量是無限的，而系統(tǒng)的 輸出是像場分布( , ) i U x y。可以假定成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變換低通濾波器，其傳 遞函數在頻域上的區(qū)間| x B，| y B之外恒等于零。證明，存在一個由點源的方形陣 列所構成的“等效”物體( , ) o Ux y，它與真實物體 o U產生完全一樣的像 i U，并且等效物 體上的場分布可寫成： ( , )( , )sinc(2)sinc(2)d d, 22 ooXY nm XY nm Ux yUnBmBxy BB 證明：為了便于從頻率域分析，分別設： 物的空間頻譜： ( , )( , ) oo AF Ux y 4 像的空間頻譜： ( , )( , ) ii AF U x y 等效物體的空間頻譜： ( , )( , ) oo AF Ux y 等效物體的像的空間頻譜： ( , )( , ) ii AF U x y 由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數在|,| XY BB之外恒為 零，故可將其記為： ( , ) rectrect 22 XY H BB 利用系統(tǒng)的傳遞函數，表示物像之間在頻域中的關系為 ( , )( , )rectrect( , ) 22 oi XY AHA BB 在頻域中我們構造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻譜函數，預期作為等效物的譜，辦 法 是 把( , )rectrect 22 o XY A BB 安 置 在平 面 上 成 矩 形 格 點 分 布 的 每 一 個 (2,2) XY B nB m點周圍， 選擇矩形格點在, 方向上的間隔分別為2 X B和2 Y B， 以避免頻譜混疊。 于是： ( , )( , )rectrect*(2,2) 22 1 ( , )rectrect*combcomb 22422 ooXY nm XY o XYXYXY AAB nB m BB A BBB BBB 對于同一個成像系統(tǒng)，由于傳遞函數的通頻帶有限，只能允許( , ) o A 的中央一個周期成 份(0)nm通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即 ( , )( , )rectrect( , )( , ) 22 oii XY AHAA BB 下圖用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對 o A和 o A 的作用，為簡單起見，系統(tǒng)傳遞函數在圖中 表示為rect 2 X B 。 5 既然成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即 ( , )( , ) ii U x yU x y 因此，只要求出( , ) o A 的逆傅里葉變換式，就可得到所需的等效物場，即 1 ( , )( , ) oo Ux yFA 這樣，應用卷積定理得到： 11 1 1 ( , )( , )rectrectcombcomb 22422 ( , )rectrectcomb 2comb 2 22 oo XYXYXY oXY XY Ux yFAF BBB BBB FAB xB y BB 從抽樣定理來理解上式，( , )rectrect 22 o XY A BB 是一個限帶的頻譜函數， 它所對應 的空間域的函數可以通過抽樣，用一個點源的方形陣列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔， 在x方向是 1 2 X B ，在y方向是 1 2 Y B ，就得到等效物場( , ) o Ux y 6 1 ( , )rectrect( , )*4sinc(2)sinc(2) 22 4( , )sinc2()sinc2() ooXYXY XY XYoXY FAUx yB BB xB y BB B BUBxByd d 1 comb(2)comb(2), 422 XY nm XYXY nm B xB yxy B BBB 這樣，可以得到： ( , )( , )sinc2()sinc2()d d, 22 ooXY nm XY nm Ux yUBxByxy BB 利用函數性質，上式可寫為 0 ( , )( , )sinc(2)sinc(2)d d, 22 oXY nm XY nm Ux yUnBmBxy BB 由這一點源的方形陣列構成的等效場可以和真實物體 o U產生完全一樣的像 i U。 利用系統(tǒng)的傳遞函數，從頻率域分析物像關系，先找出等效特的頻譜，再通常傅里葉變 換，求出等效特的空間分布。這種頻域分析方法正是傅里葉光學問題的基本分析方法。 3.5 定義： 1 ( , )d d (0,0) xy f x yx y f , 1 ( , )d d (0,0) F F 分別為原函數( , )f x y及其頻譜函數( , )F 的“等效面積”和“等效帶寬” ，試證明： 1 xy 上式表明函數的“等效面積”和“等效帶寬”成反比，稱為傅里葉變換反比定理，亦稱 面積計算定理。 證明：由傅里變換及逆變換定義： i2() ( , )( , )ed d xy Ff x yx y ， i2() ( , )( , )ed d xy f x yF 把0和0xy代入上式，得到： (0,0)( , )d dFf x yx y ， (0,0)( , )d dfF 于是： 7 ( , )d d( , )d d (0,0)(0,0) 1 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) xy f x yx yF Ff fFfF 上式說明函數的“等效面積”與“等效帶寬”成反比，當函數的“等效面積”增大時，其“等 效帶寬”卻相應減小。 3.6 已知線性不變系統(tǒng)的輸入為：( )comb( )f xx。系統(tǒng)的傳遞函數為rect( / )b。當1b和 3b時，求系統(tǒng)的輸出( )g x，并畫出函數及其頻譜。 解：對于線性不變系統(tǒng)，輸入頻譜、輸出頻譜和傳遞函數滿足如下關系： ( )( )( )GFH 即輸出頻譜等于輸入頻譜與傳遞函數的乘積。 由題意可知：( )rect( / )Hb。由輸入函數可得：( )comb( )comb( )FFx 所以有： ( )( )( )comb( )rect( / )GFHb (1) 當1b時，( )( )G 。這樣可求得： 1 ( ) ( )1g xF 其輸出函數及輸出頻譜如下圖所示。 (2) 當3b時，( )( )(1)(1)G 。這樣可求得： 1i2i2 ( ) ( )1 ee1 cos(2 ) xx g xFGx 輸出函數及輸出頻譜如下圖所示。 8 3.7 對一個線性不變系統(tǒng)，脈沖響應為： ( )7sinc(7 )h xx 用頻率域方法對下列的每一個輸入( ) i f x，求其輸出( ) i g x (必要時，可取合理近似)： (1) 1( ) cos4f xx (2) 2( ) cos(4 )rect( /75)fxxx (3) 3( ) 1 cos(8 )rect( /75)fxxx (4) 4( ) comb( )*rect(2 )fxxx 解：系統(tǒng)傳遞函數為： ( ) ( )7sinc(7 )rect( /7)HF h xFx 并假設令輸入( ) i f x和輸出( ) i g x對應的頻譜分別為( ) i F和( ) i G，并有如下關系成立： ( )( )( ) ii GFH (1) 11 1 ( ) ( )cos4 (2)(2) 2 FF f xFx ， 如下圖(a)所示，有： 11 11 ( )( )( ) (2)(2)rect( /7) (2)(2) 22 GFH 對上式作傅里葉變換，可得： 1 11 ( )( )cos(4 )g xFGx (2) 22 1 ( )( ) (2)(2)*75sinc(75 ) 2 FF fx ， 如下圖(b)所示，有： 22 1 ( )( )( ) (2)(2)*75sinc(75 )rect( /7) 2 1 (2)(2)*75sinc(75 ) 2 GFH 對上式作傅里葉變換，可得： 9 1 22 ( )( )cos(4 )rect() 75 x gxFGx (3) 33 11 ( )( ) ( )(4)(4)*75sinc(75 ) 22 FF fx ， 如下圖(c)所示，有： 33 11 ( )( )( ) ( )(4)(4)*75sinc(75 )rect( /7) 22 75sinc(75 ) GFH 對上式作傅里葉變換，可得： 1 33 ( )( )rect() 75 x gxFG (4) 44 1 ( )( )comb( )sinc( /2) 2 FF fx， 如下圖(d)所示，有： 44 1 ( )( )( )comb( )sinc( /2)rect( /7) 2 11113 ( )sinc (1)(1)sinc (3)(3) 22222 GFH 對上式作傅里葉變換，可得： 1 44 1 ( )( )comb( )sinc( )rect( /7) 2 113122 sinccos(2 )sinccos(6 )cos(2 )cos(6 ) 22223 gxFG xxxx 10 3.8 給定正實常數 0 和實常數a和b，求證： (1) 若 0 1 | 2 b ，則 00 1 sinc( / )*cos(2)cos(2) | x bxx b (2) 若 0 1 | 2 b ，則 0 1 sinc( / )*cos(2)0 | x bx b (3) 若| |ba，則sinc( / )*sinc( / ) |sinc( / )x bx abx a (4) 若 | | 2 a b ，則 22 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )x bx abx a 證明：本題可利用卷積定理，將空域中的卷積運算轉化為頻域內的乘積運算，然后再通過傅 里葉逆變換，就可求出最后的卷積。 (1) 00 00 11 sinc( / )*cos(2)sinc( / ) cos(2) | 1 rect() ()() 2 Fx bxFx bFx bb b 如下圖(a)所示，如果 0 1 | 2 b ，則有 0 1 2 |b ，則上式等于： 000 11 sinc( / )*cos(2) ()() |2 Fx bx b 對上式作傅里葉逆變換，則有： 00 1 sinc( / )*cos(2)cos(2) | x bxx b (2) 同樣，如下圖(b)所示，如果 0 1 | 2 b ，則有 0 1 2 |b ，則 0 1 sinc( / )*cos(2)0 | Fx bx b 11 對上式作傅里葉逆變換，則有： 0 1 sinc( / )*cos(2)0 | x bx b (3) sinc( / )*sinc( / )sinc( / ) sinc( / ) |rect() |rect() Fx bx aFx bFx a bbaa 如下圖(c)所示，如果| |ba，則有 11 |ba ，這樣上式等于： sinc( / )*sinc( / ) | |rect()Fx bx abaa 對上式作傅里葉逆變換，可得：sinc( / )*sinc( / ) |sinc( / )x bx abx a (4) 222 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )sinc( / ) sinc ( / ) |rect()| tri() Fx bx abx aFx bFx a bbaa 如下圖(d)所示，如果| | /2ba，則有 12 |ba ，這樣上式等于： 222 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )sinc( / ) sinc ( / ) | tri() Fx bx abx aFx bFx a b aa 對上式作傅里葉逆變換，可得： 22 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )x bx abx a 12 3.9 若限帶函數( )f x的傅里葉變換在帶寬w之外恒為零，(1) 如果 1 |a w ，證明： 1 sinc( / )*( )( ) | x af xf x a (2) 如果 1 |a w ，上面的等式還成立嗎？ 解：(1) 與上題的方法相似， 1 sinc( / )*( )rect() ( ) | Fx af xaG a 式中：( ) ( )GF f x。如下圖(a)所示，如果 1 |a w ，有 1 | w a ，由上式為： 1 sinc( / )*( )( ) | Fx af xG a 即輸出頻譜是限帶函數的完全頻譜，此時如下關系必成立： 1 sinc( / )*( )( ) | x af xf x a (2) 如下圖(b)所示， 如時 1 | w a ， 有 1 | w a ， 則輸出頻譜不再是限帶函數的完全頻譜了， 由于丟失部分頻率成分，不能再還原出( )f x，則上式中的關系不再成立。 3.10 給定一個線性系統(tǒng)，輸入為有限延伸的矩形波： 1 ( )comb( /3)rect( /100) *rect( ) 3 f xxxx 若系統(tǒng)脈沖響應：( )rect(1)h xx。求系統(tǒng)的輸出，并繪出傳遞函數、脈沖響應、輸出及其 頻譜的圖形。 13 解：采用圖解與分析相結合的分析方法。系統(tǒng)的輸入頻譜和傳遞函數分別為： 1 ( ) ( )comb( /3)rect( /100) *rect( ) 3 comb(3 )*100sinc(100 )sinc( ) FF g xFxxx 和 i2 ( )sinc( )eH ，則輸出頻譜為： i2 ( )( )( )comb(3 )*100sinc(100 )sinc( )sinc( )eGFH 對上式作傅里葉逆變換，得到輸出函數為： 1 111 ( ) ( )comb()rect()tri( ) 33100 xx g xFGx 其傳遞函數、脈沖響應、輸出及其頻譜有圖形如下圖所示。 3.11 給定一線性不變系統(tǒng)，輸入函數為有限延伸的三角波 1 ( )comb( /2)rect( /50) *tri( ) 2 f xxxx 對下列傳遞函數利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出： (1) ( )rect( /2)H (2) ( )rect( /4)rect( /2)H 解：先在頻域內求解出輸出頻譜，然后再利用傅里葉逆變換轉化為空域中系統(tǒng)的輸出。系統(tǒng) 的輸入頻譜為： 2 1 ( ) ( )comb( /2)rect( /50) *tri( ) 2 comb(2 )*50sinc(50 )sinc ( ) FF f xFxxx 系統(tǒng)輸出頻譜為：( )( )( )GFH 14 (2) 同理，當( )rect( /4)rect( /2)H時，如下圖所示，系統(tǒng)輸出頻譜為： 2 3 ( )( )( )sinc ( )50sinc(5075)50sinc(5075) 2 GFH 對上式作傅里葉逆變換，可得： 2 2 38 ( )2sinc ( )cos(3 )rect()cos(3 )rect() 250950 xx g xxx 15 3.12 若對函數： 2 ( )sinc ()h xaax抽樣，求允許的最大抽樣間隔。 解：函數對應的頻譜為： ( )tri( / )Ha 帯寬為 22 x Ba 根據抽樣定理，對該函數進行抽樣，允許的最大抽樣間隔為： 11 22 x X Ba 3.13 證明在頻率平面上一個半徑為B的圓之外沒有非零的頻譜分量的函數，遵從下述抽樣定 理： 22 1 22 J 2(/2 )(/2 ) ( , ),2 224 2(/2 )(/2 )nm BxnBymBnm g x yg BB BxnBymB 證明：根據題意函數( , )g x y為限帶函數，因而可以運用抽樣定理，即用函數( , )g x y在xy平 面內一個分立集上的抽樣值的列陣來表示該函數。 如果我們用二維梳壯函數combcomb xy XY 對函數( , )g x y抽樣，得到： ( , )( , ) combcomb s xy gx yg x y XY 抽樣函數 s g由函數的陣列構成， 這些函數的成矩形格點分布， 在x方向間距為X， 在y方 向間距為Y，每個函數的權重為函數g在該抽樣點上的值。 由卷積定理，可知 s g的頻譜 s G為： ( , ) ( , )* combcomb ( , )*|combcomb( , )*(,