線性空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).doc

_線性空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)簡單的說，線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，也可以是任意給定域中的元素）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。域的概念：首先介紹數(shù)域的概念：設(shè)F是至少包含兩個數(shù)的數(shù)集，如果F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0)仍是F中的數(shù)，則稱F為一個數(shù)域。常見的數(shù)域有：復(fù)數(shù)域C、實數(shù)域R、有理數(shù)域Q，但是自然數(shù)集N和整數(shù)集Z都不是數(shù)域。 以下是線性空間嚴格的定義：設(shè)V是一個非空集合，F(xiàn)是一個數(shù)域，在集合V的元素之間定義一種代數(shù)運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素x和y，在V中都有唯一的一個元素z與他們對應(yīng)，稱為x與y的和，記為zxy在數(shù)域F與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域F中任一數(shù)k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一個元素y與他們對應(yīng)，稱為k與x的數(shù)量乘積，記為ykx。如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域F上的線性空間 也就是說設(shè)F是一個非空集合，P是一個數(shù)域，在F中定義加法和乘法兩種運算，且這兩種運算對F來說是封閉的，也就是說，對F中的任意兩個元素a，b，a+b和ab仍屬于F，如果加法和乘法運算滿足以下運算規(guī)則，則稱F對所規(guī)定的加法和乘法運算作成一個域：1.（加法交換律）對F中任意兩個元素a，b，有a+b=b+a2.（加法結(jié)合律）對F中任意三個元素a，b，c，有(a+b)+c=a+(b+c)3.（存在0元）F中存在一個元素，我們把它記作0，使得對F中的任意元素a，有a+0=a4.（存在負元）對F中的任意元素a，在F中存在一個元素，我們把它記作-a，有 a+(-a)=05.（乘法交換律）對F中任意兩個元素a，bab=ba6.（乘法結(jié)合律）對F中任意元素a，P中元素b，c，有(ab)c=a(bc)7.（存在單位元）F中存在一個0的元素，我們把它記作e，使得對F中的任意元素a，有ae=a8.（存在逆元）對F中任意0的元素a，在F中存在一個元素，我們把它記作a(因為這里顯示不了a的負一次方，所以用a代替)，有aa=e9.（乘法對加法的分配律）對F中任意三個元素a，b，c，有a(b+c)=ab+ac常見的域有：復(fù)數(shù)域C、實數(shù)域R、有理數(shù)域Q，但是自然數(shù)集N和整數(shù)集Z都不是域。我們所考慮的對象雖然不同，但是它們有一個共同點，那就是它們都有加法和數(shù)量乘法這兩種運算。當(dāng)然，隨著對象的不同，其運算也是不同的。但是，當(dāng)抽去這些集合中對象（元素）的具體形式及定義運算的具體規(guī)則（例如函數(shù)的加法規(guī)則與向量加法的規(guī)則是完全不同的。）之后，從代數(shù)運算所遵從的規(guī)律上看，如果與普通向量上的運算規(guī)律并無本質(zhì)的不同，那么，也可把這些集合中的對象（元素）稱為“向量”。當(dāng)我們把這些對象當(dāng)作向量之后，所研究的理論或?qū)嶋H問題通常變得非常簡便。線性空間定義設(shè)V是一個非空集合，F(xiàn)是一個數(shù)域，在集合V的元素之間定義一種代數(shù)運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素x和y，在V中都有唯一的一個元素z與他們對應(yīng)，稱為x與y的和，記為z=x+y在數(shù)域F與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域F中任一數(shù)k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一個元素y與他們對應(yīng)，稱為k與x的數(shù)量乘積，記為y=kx。如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域F上的線性空間 1. V對加法成Abel群，即滿足： （1）（交換律）x+y=y+x； （2）（結(jié)合律）（x+y）+z=x+（y+z） （3）（零元素）在V中有一元素0，對于V中任一元素x都有x+0=x；（4）（負元素）對于V中每一個元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0； 2. 數(shù)量乘法滿足： （5）1x=x； （6）k(lx)=(kl)x；3. 數(shù)量乘法和加法滿足： （7）（k+l）x=kx+lx；（8）k（x+y）=kx+ky 其中x，y，z為V中任意元素，k，l為數(shù)域F中的任意元素，1是F的乘法單位元。數(shù)域F稱為線性空間V的系數(shù)域或基域，F(xiàn)中元素稱為純量或數(shù)量（scalar），V中元素稱為向量（vector）。當(dāng)系數(shù)域F為實數(shù)域時，V稱為實線性空間。當(dāng)F為復(fù)數(shù)域時，V稱為復(fù)線性空間。線性空間的判定方法1.一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的某一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間.2.一個集合，若定義的加法和數(shù)乘運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性.3.一個集合，若定義的加法和數(shù)乘運算不是通常的實數(shù)間的加乘運算，則必須檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律.簡單性質(zhì)：（1）V中零元素（或稱0向量）是唯一的。 （2）V中任一向量x的負元素（或稱負向量）是唯一的。 （3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）當(dāng)且僅當(dāng)k=0或x=0。 （4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。 例子1. 域F上mn矩陣全體，按矩陣的加法與數(shù)乘是F上線性空間。 2. 復(fù)數(shù)域C是實數(shù)域R上的線性空間。 3. 域F上次數(shù)小于n的多項式形式全體是F上的線性空間。 4. 連續(xù)實變函數(shù)全體按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法是實數(shù)域R上的線性空間。線性空間的性質(zhì)：1）零元素是唯一的；事實上，設(shè)都是的零元素，則 .2）每個元素的負元素是唯一的。設(shè)都是的負元素，則 .3）有 ；.（注意：第一式左邊的零是數(shù)量，而右邊的零是向量）將 的兩端加上的負向量得 .將 的兩端加上的負向量得；由和負向量的定義得 .4）若，則 或.事實上，若，則.線性空間的子空間 在許多問題中，我們所研究的線性空間往往由某個更大的線性空間的一個適當(dāng)大小的子集所構(gòu)成。定義 設(shè)V是一個線性空間，L是V的一個非