高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.5定積分的概念1.5.3定積分的概念課件新人教版.pptx

主題1定積分的概念1.求曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動的路程的過程有什么相似點(diǎn)?,提示：曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動的路程是2個實(shí)際意義完全不同的問題,但是它們的解決過程是相似的,都是通過分割自變量的區(qū)間，得到過剩估計值和不足估計值,分割得越細(xì),估計值就越接近精確值;當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時,過剩估計值和不足估計值都趨于要求的值.,2.求曲邊梯形面積的步驟有哪些？提示：分四個步驟，分別為分割，近似代替，求和，取極限.,3.曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程問題能否歸結(jié)為一個特定形式和的極限的形式？,提示：能.曲邊梯形面積S=變速運(yùn)動的路程s=,結(jié)論：1.定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0x1x2xn-1xn=b將區(qū)間a,b_n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間xi-1,xi上_(i=1,2,3,n),作和式當(dāng)n時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的_.,等分成,任取一點(diǎn)i,定積分,2.定積分的特征其中：,積分號,積分上限,積分下限,被積函數(shù),【微思考】f(x)dx和f(t)dt一樣嗎？提示：一樣.定積分的值只與被積函數(shù)f(x)以及積分區(qū)間a,b有關(guān)，與積分變量寫成什么字母無關(guān).,主題2定積分的幾何意義與性質(zhì)1.如果在區(qū)間a,b上，函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，則定積分f(x)dx與由曲線y=f(x)，直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積S有什么關(guān)系？,提示：相等.,2.如果在區(qū)間a,b上，f(x)連續(xù)且恒有函數(shù)f(x)0，則定積分f(x)dx與由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積S有什么關(guān)系？提示：互為相反數(shù).,結(jié)論：1.幾何意義：由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為.2.物理意義：設(shè)物體運(yùn)動的速度v=v(t)，則此物體在時間區(qū)間a,b內(nèi)運(yùn)動的距離s為_.,v(t)dt,3.定積分的性質(zhì),【微思考】定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，那么積分值和面積值都一樣嗎？提示：不一定.面積非負(fù)而積分的結(jié)果可以為負(fù).,【預(yù)習(xí)自測】1.下列等式成立的是(),【解析】選C.由定積分的幾何意義,2.如果某質(zhì)點(diǎn)以初速度v(0)=1，加速度a(t)=6t做直線運(yùn)動，則質(zhì)點(diǎn)在t=2s時的瞬時速度為()A.5B.7C.9D.13,【解析】選D.v(2)-v(0)=a(t)dt=6tdt.如圖由定積分的幾何意義可得6tdt=212=12.所以v(2)=v(0)+12=13.,3.直線y=0，x=1，x=2，曲線y=圍成的曲邊梯形的面積用定積分表示為.,【解析】由直線y=0，x=1，x=2，曲線y=圍成曲邊梯形可知，積分區(qū)間為1，2，被積函數(shù)為y=，所以曲邊梯形的面積用定積分表示為答案：,4.若f(x)dx=6,則=.【解析】由定積分的定義f(x)dx=可得.答案：6,5.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),若f(x)dx=1,f(x)dx=-1,則f(x)dx=.,【解析】由定積分性質(zhì),f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.因?yàn)閒(x)dx=1,f(x)dx=-1,所以f(x)dx=f(x)dx-f(x)dx=-1-1=-2.答案:-2,類型一定積分的定義及其應(yīng)用【典例1】(1)下列結(jié)論中成立的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3,(2)利用定積分計算(1-x2)dx的值.【解題指南】(1)利用定積分的概念判斷.(2)在求定積分的四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限中，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是求和.,【解析】(1)選C.中故不成立.由定積分的定義知，、成立.,(2)令f(x)=1-x2,分割：在區(qū)間0,1上等間隔地插入n-1個分點(diǎn)，將區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間(i=1,2,n)，每個小區(qū)間的長度為,近似代替、作和取i=(i=1,2,n)，則,取極限,【方法總結(jié)】f(x)dx,|f(x)|dx,|f(x)dx|幾何意義的區(qū)別由于被積函數(shù)f(x)的值在區(qū)間a,b上可正可負(fù),也就是說它的圖象可以在x軸上方,也可以在x軸下方,還可以在x軸上下兩側(cè),所以：,(1)f(x)dx表示x軸、曲線f(x)及直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和.(2)|f(x)|dx表示在區(qū)間a,b上以|f(x)|的圖象為曲邊的曲邊梯形的面積.,(3)|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對值.,【拓展】(1)線性性質(zhì)2的推廣：f1(x)f2(x)fm(x)dx=f1(x)dxf2(x)dxfm(x)dx.(2)區(qū)間的可加性的推廣:f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx.,【鞏固訓(xùn)練】利用定積分定義計算：(1+x)dx.,【解析】被積函數(shù)f(x)=1+x在區(qū)間1,2上連續(xù)，故可積.將區(qū)間1,2分成n等份，每個區(qū)間的長度為x=，在xi-1,xi=上取點(diǎn)i=xi-1=1+(i=1,2,n).于是f(i)=f(xi-1)=,從而得到,【補(bǔ)償訓(xùn)練】利用定積分的定義計算(x-1)dx.【解析】令f(x)=x-1，分割，將區(qū)間2，3等分為n個區(qū)間(i=1,2,n).每個小區(qū)間的長度為x=.,近似代替、作和,取i=(i=1,2,n)，則取極限,類型二定積分幾何意義的應(yīng)用【典例2】(1)(2017衡陽高二檢測)計算(2x-4)dx=_.(2)用圖象表示下列定積分：log2xdx；xdx.,【解題指南】(1)利用定積分的幾何意義計算.(2)從定積分的幾何意義入手，畫出函數(shù)y=log2x與直線x=1，x=2的圖象及直線y=x，x=2，x=6的圖象.,【解析】(1)如圖，A(0，-4)，B(6,8)，M(2,0)，SAOM=24=4，SMBC=48=16，所以(2x-4)dx=16-4=12.答案：12,(2)log2xdx表示曲線y=log2x，直線x=1，x=2及x軸圍成的平面圖形的面積，如圖中陰影部分所示.,xdx表示直線y=x，x=2，x=6及x軸圍成的直角梯形的面積，如圖中陰影部分所示.,【延伸探究】1.本例(1)中，被積函數(shù)改為f(x)=2x，求2xdx.,【解析】所求定積分的幾何意義是直線f(x)=2x，y=0，x=6圍成的直角三角形的面積，故2xdx=36.,2.在延伸探究1的基礎(chǔ)上，積分區(qū)間改為-6，6，求2xdx.【解析】畫出圖形可以看出兩部分關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以2xdx=0.,【方法總結(jié)】用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟(1)準(zhǔn)確畫出各曲線圍成的平面區(qū)域.(2)把平面區(qū)域分割成容易表示的幾部分，同時注意x軸下方有沒有區(qū)域.(3)解曲線組成的方程組確定積分的上、下限.(4)根據(jù)積分的性質(zhì)寫出結(jié)果.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】利用定積分的幾何意義求：,【解析】(1)被積函數(shù)的曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的半圓周，由定積分的幾何意義知此積分計算的是半圓的面積，所以有=2.,(2)因?yàn)楸环e函數(shù)為y=(0x1),其表示的曲線為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的四分之一的圓，由定積分的幾何意義可知，所求的定積分即為該四分之一圓的面積,所以=,類型三定積分性質(zhì)的應(yīng)用【典例3】(1)化簡下列各式，并用圖形表示.x2dx+x2dx;(1-x)dx+(x-1)dx.(2)利用定積分表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積.y=x-2,x=y2.,【解題指南】(1)畫出平面圖形，根據(jù)圖形確定積分的上、下限及被積函數(shù).(2)用定積分計算平面區(qū)域的面積，首先要確定已知曲線所圍成的區(qū)域，由區(qū)域的形狀選擇積分函數(shù)，再確定積分上、下限.,【解析】(1)原式=x2dx,如圖(1).(1-x)dx+(x-1)dx=1-xdx.如圖(2).,(2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示，設(shè)此面積為S，則S=A1由y=,y=-和x=1圍成；A2由y=,y=x-2和x=1圍成.所以=-(-)dx,所以S=2dx+(-x+2)dx.,【方法總結(jié)】利用定積分的性質(zhì)求定積分的策略(1)利用性質(zhì)可把定積分分成幾個簡單的積分的組合,對于每一個積分都可以利用定積分的幾何意義求出,從而得到所求定積分的值.,(2)求分段函數(shù)的定積分，可先把每一段的定積分求出后再相加.特別提醒：要注意合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性求解.如若y=f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx=0.,【鞏固訓(xùn)練】若f(x)dx=1，g(x)dx=-3，則2f(x)+g(x)dx=()A.2B.-3C.-1D.4【解析】選C.2f(x)+g(x)dx=2f(x)dx+g(x)dx=21-3=-1.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】是否存在常數(shù)a,使得x5dx的值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.,【解析】x5dx表示直線x=-1,x=a,y=0和曲線y=x5所圍成的各部分面積的代數(shù)和，且在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負(fù)號.因?yàn)閒(x)=x5為奇函數(shù)，所以所以要使x5dx=0成立，則a=1.故存在a=1,使x5dx=0.,【課堂小結(jié)】1.知識總結(jié),2.方法總結(jié)(1)數(shù)形結(jié)合法：利用定積分的幾何意義求定積分的值.(2)定義法：利用定積分的定義求函數(shù)在某一區(qū)間上