算法、框圖、復(fù)數(shù)、推理與證明11-4數(shù)學(xué)歸納法(理).ppt

重點難點重點：數(shù)學(xué)歸納法難點：數(shù)學(xué)歸納法的證明思路初始值n0的確定,知識歸納1歸納法歸納法有不完全歸納法和完全歸納法，如果我們考察了某類對象中的一部分，由這一部分具有某種特征而得出該類對象中的全體都具有這種特征的結(jié)論，為不完全歸納由不完全歸納法得出的結(jié)論不一定都是正確的，其正確性還需進一步證明；如果我們考察了某類對象中的每一個對象，而得出該類對象的某種特征的結(jié)論為完全歸納，由完全歸納法得出的結(jié)論一定是正確的，數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法,2數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基：驗證當n取第一個值n0時結(jié)論成立；(2)歸納遞推：假設(shè)當nk(kN*，且kn0)時結(jié)論成立推出nk1時結(jié)論也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有自然數(shù)n(nn0)都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,3歸納、猜想與證明從觀察一些特殊的簡單的問題入手，根據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質(zhì)，運用不完全歸納法作出一般命題的猜想，然后從理論上證明(或否定)這種猜想，這個過程叫做“歸納猜想證明”它是一個完整的思維過程，是人們從事科學(xué)研究、認識發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效途徑，也是用來培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的有效辦法，因此，它就成了高考命題的熱點之一,誤區(qū)警示在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的過程中：第步，驗證nn0時結(jié)論成立的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時可為2、3等第步，證明nk1時命題也成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法這兩個步驟缺一不可，前一步是遞推的基礎(chǔ)，后一步是遞推的依據(jù)，缺了哪一步得出的結(jié)論也是錯誤的另外，歸納假設(shè)中要保證n從第一個數(shù)n0開始，即假設(shè)nk(kn0)時結(jié)論成立，括號內(nèi)限制條件改為kn0就錯了,添減項法和放縮法1用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，根據(jù)需要有時應(yīng)添項或減項，這是數(shù)學(xué)歸納法證題的常用技巧2在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，常根據(jù)題目的需要進行恰當?shù)姆趴s，要注意既不能放縮的不到位，也不能放縮過了頭,例1用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過程中，第二步假設(shè)當nk時等式成立，則當nk1時應(yīng)得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k112k1C12222k12k12k11D12222k12k2k12k,解析：原等式左邊是2021222n1，從20到2n1，右邊是2n1，故當nk時，等式為20212k12k1，當nk1時，等式為20212k12k2k112k12k.答案：D點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，從nk到nk1的過渡是證題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，實際證明時，要據(jù)不同問題用不同方法討論，證明恒等式或不等式時，關(guān)鍵要抓住項數(shù)和項的增減變化證明整除性命題時，湊出歸納假設(shè)的形式是關(guān)鍵；證明圖形類問題時，要注意從nk到nk1，究竟圖形中發(fā)生了哪些變化等等,用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”時，假設(shè)nk(k為正奇數(shù))時，命題為真，則進而需證當_時命題為真()Ank1Bnk1(k為正奇數(shù))Cnk2(k為正奇數(shù))Dn2k1(k為正奇數(shù))答案：C,點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊項的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)當nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項,用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN)分析：從nk到nk1的過渡，左邊增加了因式(2k1)(2k2)減少了因式k1，右邊2k變成2k1增加了因式(2k1),證明：(1)當n1時，左邊2右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(kN)時，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，則當nk1時，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)2k2(2k1)2k12(k1)1等式也成立由(1)、(2)可知，等式對任何nN都成立.,點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過放大或縮小技巧變換出要證明的目標不等式,點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時，不是不能結(jié)合其它證明方法，而是證明nk1時結(jié)論成立時，必須用上歸納假設(shè)(即nk時命題的結(jié)論)本題中證明式成立，不能丟開式另用其它方法，只要把式作為條件用上了，再結(jié)合其它方法(如放縮法、分析法、綜合法等)是合理的.,分析：關(guān)鍵弄清凸k邊形到k1邊形對角線增加的條數(shù)，可以設(shè)想將k邊形的一條邊變?yōu)閮蓷l邊增加一個頂點，該頂點與原來的k個頂點有k2條對角線，原來的這條邊也成了一條對角線，故對角線共增加了k1條,平面上有n個圓，其中任何兩圓都相交，任何三圓不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成的區(qū)域數(shù)為f(n)n2n2.分析：關(guān)鍵是nk到nk1的過渡，要想搞清f(k1)比f(k)多出平面區(qū)域的塊數(shù)，就要先弄清第k1個圓被原來的k個圓分成了多少段，每一段把它所在的原平面區(qū)域一分為二，為此先求出第k1個圓與原來的k個圓的交點個數(shù)即可,證明：(1)當n1時，一個圓把平面分成兩個部分，又f(1)12122，所以n1時，命題成立(2)假設(shè)nk時命題成立，即平面內(nèi)滿足條件的k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分則nk1時，第k1個圓與前k個圓中的每一個各有兩個交點，又無三圓相交于同一點，故共得2k個交點，這2k個交點把第k1個圓分成2k條圓弧，每條圓弧把原來所在的區(qū)域一分為二，所以平面的區(qū)域增加2k個，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，所以當nk1時命題也成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，命題都成立.,解析：(1)當n1時，D1為RtOAB1的內(nèi)部包括斜邊，這時a13，當n2時，D2為RtOAB2的內(nèi)部包括斜邊，這時a26，,當n3時，D3為RtOAB3的內(nèi)部包括斜邊，這時a39，由此可猜想an3n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n1時，猜想顯然成立假設(shè)當nk時，猜想成立，即ak3k(kN*)，將不等式y(tǒng)k(x3)，kN*化為3x，kN*，可知取整點時x1或2.平面區(qū)域Dk為RtOABk的內(nèi)部包括斜邊、平面區(qū)域Dk1為RtOABk1內(nèi)部包括斜邊，,平面區(qū)域Dk1比平面區(qū)域Dk多3個整點，即當nk1時，ak13k33(k1)，這就是說當nk1時，猜想也成立，由知an3n對一切nN*都成立,點評：還可以證明平面區(qū)域Dn內(nèi)的整點有(1，bk)，(1，ck)，(2，dk)，其中bk2k1，ck2k，dkk,1kn.,答案：B點評：歸納猜想的結(jié)論是否正確有待證明，但這里不需要證明，只要符合歸納推理的規(guī)則就行,1(09山東卷)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當b2時，記bn2(log2an1)(nN*),解析(1)因為對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上，所以Snbnr，當n1時，a1S1br，當n2時，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因為an為等比數(shù)列，所以r1.(2)當b2時，an(b1)bn12n1，bn2(log22n11)2n，,1求證：32n28n9能被64整除(nN*)證明32n28n99n18n9(81)n18n9Cn108n1Cn118nCn1n182Cn1n8Cn1n18(n1)164(Cn108n1Cn118