北京市朝陽區(qū)2014屆高三數(shù)學上學期期末考試試題 理 新人教B版

1 北京市朝陽區(qū) 2013-2014學年度高三年級第一學期期末統(tǒng)一考試 數(shù)學試卷（理工類） 2014.1 （考試時間 120分鐘 滿分 150分） 本試卷分為選擇題（共 40分）和非選擇題（共 110分）兩部分 第一部分（選擇題 共 40分） 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分 在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 . 1函數(shù) 1()1f x xx的定義域為 A 0, ) B (1, ) C 0,1) (1, ) D 0,1) 2 如果 點 02,Py在以點 F 為焦點的拋物線 2 4yx 上，則 PF A 1 B 2 C 3 D 4 3命題 p ： 22,0x x a x a R ；命題 q ： xR ， sin c o s 2xx，則下列命題中為真命題的是 A pq B pq C ()pq D ( ) ( )pq 4 在 ABC 中， 30A ， 3AB ， 1BC ， 則 ABC 的面積等于 A23 B43 C23或 3 D23或43 5 執(zhí)行 如圖所示 的 程序框圖，輸出 結果 是 4 若 0 1, 2, 3a ，則0a所有可能的取值為 A 1,2,3 B 1 C 2 D 1,2 0i 1ii 21aa 結束 是 0aa 否 a2013? 輸出 i 開始 2 6已知正方形的四個頂點分別為 (0,0)O ， (1,0)A ， (1,1)B ， (0,1)C ，點 ,DE分別在線段 ,OC AB上運動 ， 且 OD BE ，設 AD 與 OE 交于點 G ，則點 G 的軌跡方程是 A (1 ) ( 0 1 )y x x x B (1 ) ( 0 1 )x y y y C 2 ( 0 1)y x x D 21 ( 0 1 )y x x 7 已知平面向量 a ， b 的夾角為 120 ，且 1 ab ，則 |ab的最小值為 A 6 B 3 C 2 D 1 8 已知數(shù)列 na滿足 ( , 0 1 )nna n k n k N下面說法正確的是 當 12k時，數(shù)列 na為遞減數(shù)列； 當 1 12 k時，數(shù)列 na不一定有最大項； 當 102k時，數(shù)列 na為遞減數(shù)列； 當1kk為正整數(shù)時 ，數(shù)列 na必有兩項相等的最大項 . A. B. C. D. 第 二部分 （非選擇題 共 110分） 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分 .把答案填在答題卡上 9 某校 為了解 高 一 學 生寒 假期 間的閱讀情況，抽查 并統(tǒng)計了 100名同學 的某一周閱讀 時間 ， 繪制了 頻率分布直方圖 （如圖所示），那么這 100名學生中閱讀時間在 4,8) 小時內的人數(shù)為_ 10 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 na中， 若2 2 2 8l o g l o g 1aa，則37aa 11直線 y kx 與圓 22( 2 ) 4xy 相交于 O ,A 兩點，若 =2 3OA ，則實數(shù) k 的值 是 _ 頻率 /組距 0.04 0.05 0.12 小時 8 4 2 6 10 12 0.15 0.14 3 12一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 ；表面積是 13實數(shù) ,xy滿足 3,2 0,xyxy若 ( 2)y k x恒成立，則實數(shù) k 的最大值是 14所有真 約數(shù)（ 除 本身 之外的正 約數(shù)）的和等于它本身的 正整數(shù) 叫做完全數(shù) 如： 6=1 2 3 ； 2 8 = 1 2 4 7 1 4； 4 9 6 = 1 2 4 8 1 6 3 1 6 2 1 2 4 2 4 8 已經證明：若 21n 是質數(shù)，則 12 (2 1)nn 是完全數(shù)， n N .請寫出一個四位完全數(shù) ；又 6 2 3 ，所以 6 的所有正約數(shù)之和可表示為 (1 2) (1 3) ； 228 2 7，所以 28 的所有正約數(shù)之和可表示為 2(1 2 2 ) (1 7 ) ； 按此規(guī)律， 496 的所有正約數(shù)之和可表示為 三、解答題：本大題共 6小題，共 80 分 .解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 . 15 （本題滿分 13分） 已知 函數(shù) 2( ) c o s s i n 1f x x x （ ）求 函數(shù) )(xf 的 最小值 ； （ ）若 5()16f ，求 cos2 的值 俯視圖 側視圖 正視圖32 3332 6 4 16（本題滿分 13分） 甲、乙兩名同學參加“漢字聽寫大賽”選拔測試，在相同測試條件下，兩人 5 次測試的成績（單位：分）如下表： 第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 甲 58 55 76 92 88 乙 65 82 87 85 95 （）請畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖 . 你認為選派誰參賽更好？說明理由（ 不用計算）； （）若從甲、乙兩人 5次的成績中各隨機抽取一個成績進行分析，設抽到的兩個成績中， 90分以上的個數(shù)為 X ，求隨機變量 X 的分布列和期望 EX 17（本題滿分 14分） 如圖，在三棱錐 P- ABC 中， PA 平面 ABC ， AB AC . （）求證： AC PB ； （）設 ,O D 分別為 ,AC AP 的中點，點 G 為 OAB 內一點，且滿足 13O G O A O B（ ）， 求證： DG 面 PBC ； （）若 = = 2AB AC ， =4PA ， 求二面角 A PB C的余弦值 18（本題滿分 13分） 已知函數(shù) ( ) ( ) lnf x x a x ， aR （）當 0a 時，求函數(shù) ()fx的極小值； （）若函數(shù) ()fx在 (0, ) 上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍 19.已知橢圓 C 兩焦點坐 標分別為1( 3,0)F ,2( 3,0)F，且經過點 1( 3, )2P B P D O A C G 5 （）求橢圓 C 的標準方程； （）已知點 (0, 1)A ，直線 l 與橢圓 C 交于兩點 ,MN若 AMN 是以 A 為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線 l 的方程 20（本題滿分 13分） 已知 ,abc是正數(shù)， 1 lgaa，2 lgab，3 lgac （）若 ,abc成等差數(shù)列，比較12aa與23aa的大小； （）若1 2 2 3 3 1a a a a a a ，則 ,abc三個數(shù)中，哪個數(shù)最大，請說明理由； （）若 at ， 2bt ， 3ct （ t N ），且1a，2a，3a的整數(shù)部分分別是 ,m 2 1,m 22 1,m 求所有 t 的值 北京市朝陽區(qū) 2013-2014學年度高三年級第一學期期末統(tǒng)一考試 數(shù)學答案 （理工類） 2014.1 6 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D B A A C 二、填空題 題號 9 10 11 12 13 14 答案 54 2 33 18 2 36 3 23 8128 234( 1 2 2 2 2 ) ( 1 3 1 ) 三、解答題 15 解： （ ） 因為 2( ) c o s s i n 1f x x x 2sin sinxx 211( s i n )24x ， 又 sin 1,1x ，所以當 1sin2x 時， 函數(shù) )(xf 的 最小值為 14. 6分 （ ） 由 （ ） 得 21 1 5( s i n )2 4 1 6 ， 所以 219( s i n )2 1 6 于是 5sin4 （舍）或 1sin4 又 22 17c o s 2 1 2 s i n 1 2 ( )48 13分 16解：（）莖葉圖如右圖所示，由圖可知，乙的平 均成績大于甲的平均成績，且乙的方差小于甲的方差，因此應 選派乙參賽更好 6分 （）隨機變量 X 的所有可能取值為 0,1,2 1144115516( 0 )25CCPXCC ， 1411552 8( 1 )25CPXCC ， 1155( 2 ) 25PX CC ， 隨機變量 X 的分布列是： X 0 1 2 8 7 5 6 9 8 2 6 甲 乙 5 5 7 2 5 8 5 7 P 1625 825 125 1 6 8 1 20 1 22 5 2 5 2 5 5EX 13分 17證明：（）因為 PA 平面 ABC ， AC 平面 ABC ， 所以 PA AC 又因為 AB AC ，且 PA AB = A ， 所以 AC 平面 PAB 又因為 PB 平面 PAB ， 所以 AC PB 4分 （） 解法 1:因為 PA 平面 ABC ，所以 PA AB ， PA AC 又因為 AB AC ， 所以建立如圖所示的空間直角坐標系 A xyz 設 =2AC a ， =AB b ， =2PA c ， 則 (0,0,0)A ， (0, ,0)Bb， (2 , 0, 0)Ca ， ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , )P c D c， ( ,0,0)Oa 又因為 13O G O A O B（ ）， 所以 ( , , 0)33abG 于是 ( , , )33abD G c， ( 2 , , 0 )B C a b， ( 0 , , 2 )P B b c 設平面 PBC 的一個法向量 0 0 0( , , )x y zn，則有 0,0BCPB nn 即 002 0 ,2 0 .a x b yb y c z 不妨設0 1z ，則有002 ,ccyxba，所以 2( , ,1)ccabn 因為 22( , , 1 ) ( , , ) 1 ( ) 03 3 3 3c c a b c a c bD G c ca b a b n， 所以 DGn 又因為 DG 平面 PBC ， 所以 DG 平面 PBC 9分 解法 2： D O B A P C G x y z C P D O A G 8 取 AB 中點 E ，連 OE ，則 1 ()2O E O A O B. 由已知 13O G O A O B（ ）可得 23OG OE, 則點 G 在 OE 上 .連結 AG 并延長交 CB 于 F ，連 PF . 因為 ,OE分別為 ,AC AB 的中點， 所以 OE BC ,即 G 為 AF 的中點 . 又因為 D 為線段 PA 的中點， 所以 DG PF . 又 DG 平面 PBC ,PF 平面 PBC , 所以 DG 平面 PBC 9分 （）由（）可知平面 PBC 的一個法向量 2( , , 1 ) ( 2 , 2 , 1 )ccabn 又因為 AC 面 PAB ，所以面 PAB 的一個法向量是 (2, 0, 0 )AC 又 42c o s ,3 2 3ACACAC nnn， 由圖可知，二面角 A PB C為銳角， 所以二面角 A PB C的余弦值為 23 14分 18 解：（）定義域 (0, ) 當 0a 時， ( ) lnf x x x ， ( ) ln 1f x x 令 ( ) 0fx ，得 1ex 當 1(0, )ex時， ( ) 0fx ， ()fx為減函數(shù)； 當 1( , )ex 時， ( ) 0fx ， ()fx為增函數(shù) . 所以函數(shù) ()fx的極小值是 11()eef 5分 （）由已知得 ( ) l n xaf x xx 因為函數(shù) ()fx在 (0, ) 是增函數(shù)，所以 ( ) 0fx ，對 (0, )x 恒成立 由 ( ) 0fx 得 ln 0xaxx，即 lnx x x a 對 (0, )x 恒成立 設 ( ) lng x x x x，要使“ lnx x x a 對 (0, )x 恒成立”，只要min()a g x B 9 因為 ( ) ln 2g x x ，令 ( ) 0gx 得21ex 當21(0, )ex 時， ( ) 0gx ， ()gx 為減函數(shù)； 當21( , )ex 時， ( ) 0gx ， ()gx為增函數(shù) . 所以 ()gx 在 0, 上的最小值是2211()eeg 故函數(shù) ()fx在 (0, ) 是增函數(shù)時，實數(shù) a 的取值范圍是21( , e 13分 19解：（）設橢圓標準方程為 22 1 ( 0 )xy abab 依題意 12112 1 2 444a P F P F ，所以 2a 又 3c ，所以 2 2 2 1b a c 于是橢圓 C 的標準方程為 2 2 14x y 5分 （）依題意，顯然直線 l 斜率存在 .設直線 l 的方程為 y kx m，則 由 2 2 14x yy kx m 得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x k m x m 因為 2 2 2 26 4 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 0k m k m ,得 221 0km 設1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，線段 MN 中點為00( , )Q x y，則12 2212 28414441kmxxkmxxk 于是0 0 0224 ,4 1 4 1k m mx y k x mkk 因為 AM AN ，線段 MN 中點為 Q ，所以 AQ MN （ 1）當0 0x ，即 0k 且 0m 時， 001 1y kx ，整理得 23 4 1mk 10 因為 AM AN ，1 1 2 2( , 1 ) , ( , 1 )A M x y A N x y ， 所以 221 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 1A M A N x x y y k x x k m x x m m 222224 4 8( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 1 04 1 4 1m k mk k m m mkk ， 整理得 25 2 3 0mm ，解得 35m或 1m 當 1m 時，由 不合題意舍去 . 由 知， 35m時， 55k （ 2）當0 0x 時， （） 若 0k 時，直線 l 的方程為 ym ，代入橢圓方程中得 221xm . 設 2( 2 1 , )M m m ， 2( 2 1 , )N m m ,依題意，若 AMN 為等腰直角三角形，則 AQ QN .即 22 1 1mm ，解得 1m 或 35m . 1m 不合題意舍去， 即此時直線 l 的方程為 35y. （） 若 0k 且 0m 時，即直線 l 過原點 .依橢圓的對稱性有 (0,0)Q ,則依題意不能有AQ MN ,即此時不滿足 AMN 為等腰直角三角形 . 綜上，直線 l 的方程為 35y或 5 5 3 0xy 或 5 5 3 0xy . 14 分 20解：（）由已知得1 2 2 3( ) ( )a a a a=2lg lg lga b a cb c b 因為 ,abc成等差數(shù)列，所以2acb ， 則1 2 2 3( ) ( )a a a a 24lg()acac， 因為 222a c ac ，所以 2( ) 4a c a c ，即24 1()acac ， 則1 2 2 3( ) ( ) 0a a a a ，即12aa 23aa，當且僅當 abc時等號成立 4分 （）解法 1：令12m a a，23n a a，31p a a， 11 依題意， m n p 且 0m n p ，所以 0mp 故120aa，即 lg lgab ；且130aa，即 lg lgac 所以 ab 且 ac 故 ,abc三個數(shù)中， a 最大 解法 2：依