大學定積分期末復習經(jīng)典題庫.ppt

,一、求積分的基本方法,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、多元函數(shù)微分法,微積分II總復習,三、二重積分的計算,四、級數(shù)的斂散性與求和,五、求解微分方程,2010級20110607,一、求不定積分的基本方法,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、幾種特殊類型的積分,不定積分的計算方法,第六章,一、求不定積分的基本方法,1.直接積分法,通過簡單變形,利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法.,2.換元積分法,(注意常見的換元積分類型),(代換:),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.分部積分法,使用原則:,1)由,易求出v;,2),比,好求.,一般經(jīng)驗:按“反,對,冪,指,三”的順序,排前者取為u,排后者取為,計算格式:列表計算,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,多次分部積分的規(guī)律,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,快速計算表格:,特別:當u為n次多項式時,計算大為簡便.,例1.求,解:,原式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2.求,解:,原式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,分析:,例3.求,解:,原式,分部積分抵消,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4.設,解:,令,求積分,即,而,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例5.求,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例6.求,解:取,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,說明:此法特別適用于,如下類型的積分:,例7.設,證:,證明遞推公式:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例8.求,解:,設,則,因,連續(xù),得,得,利用,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例9.,設,解:,為,的原函數(shù),且,求,由題設,則,故,即,因此,故,又,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、幾種特殊類型的積分,1.一般積分方法,有理函數(shù),分解,多項式及部分分式之和,指數(shù)函數(shù)有理式,指數(shù)代換,三角函數(shù)有理式,萬能代換,簡單無理函數(shù),三角代換,根式代換,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,2.需要注意的問題,(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),要注意綜合,使用各種基本積分法,簡便計算.,因此不一,定都能積出.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例如,例10求,解:令,則,原式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例11求,解:令,比較同類項系數(shù),故,原式,說明:此技巧適用于形為,的積分.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例12.,解：,因為,及,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例13.,求不定積分,解:,原式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、有關(guān)定積分計算和證明的方法,定積分及其相關(guān)問題,第七章,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,1.用定積分概念與性質(zhì)求極限,2.用定積分性質(zhì)估值,3.與變限積分有關(guān)的問題,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1求,解:因為,時,所以,利用夾逼準則得,例2,估計下列積分值,解:因為,即,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3證明,證:令,則,令,得,故,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4,設,在,上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，,試證,都有不等式,證明：顯然,時結(jié)論成立.,(用積分中值定理),當,時,故所給不等式成立.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,明對于任何,例5,解：,且由方程,確定y是x的函數(shù),求,方程兩端對x求導,得,令x=1,得,再對y求導,得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,故,例6,求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足,解:等式兩邊對x求導,得,不妨設f(x)0,則,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,注意f(0)=0,得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例7求多項式f(x)使它滿足方程,解:令,則,代入原方程得,兩邊求導:,可見f(x)應為二次多項式,設,代入式比較同次冪系數(shù),得,故,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,再求導:,二、有關(guān)定積分計算和證明的方法,1.熟練運用定積分計算的常用公式和方法,2.注意特殊形式定積分的計算,3.利用各種積分技巧計算定積分,4.有關(guān)定積分命題的證明方法,思考:下列作法是否正確?,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例8求,解:令,則,原式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例9求,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例10選擇一個常數(shù)c,使,解:令,則,因為被積函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使,即,可使原式為0.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例11設,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例12若,解:令,試證:,則,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,因為,對右端第二個積分令,綜上所述,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例13證明恒等式,證:令,則,因此,又,故所證等式成立.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例14,試證,使,分析:,要證,即,故作輔助函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,至少存在一點,證明:令,在,上連續(xù),在,至少,使,即,因在,上,連續(xù)且不為0,從而不變號,因此,故所證等式成立.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,故由羅爾定理知,存在一點,思考:本題能否用柯西中值定理證明?,如果能,怎樣設輔助函數(shù)?,提示:,設輔助函數(shù),例15目錄上頁下頁返回結(jié)束,例15,設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且,(1)在(a,b)內(nèi)f(x)0;,(2)在(a,b)內(nèi)存在點,使,(3)在(a,b)內(nèi)存在與相異的點,使,(03考研),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,證:(1),由f(x)在a,b上連續(xù),知f(a)=0.,所以f(x),在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此,(2)設,滿足柯西中值定理條件,于是存在,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,即,(3)因,在a,上用拉格朗日中值定理,代入(2)中結(jié)論得,因此得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例16設,證:設,且,試證:,則,故F(x)單調(diào)不減,即(*)成立.,(*),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,1.定積分的幾何應用,平面圖形面積、,旋轉(zhuǎn)體體積,2.基本方法:,微元分析法,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,定積分的應用,第七章,例1求拋物線,在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與,兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.,解:設拋物線上切點為,則該點處的切線方程為,它與x,y軸的交點分別為,所指面積,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,且為最小點.,故所求切線為,得0,1上的唯一駐點,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2設非負函數(shù),曲線,與直線,及坐標軸所圍圖形,(1)求函數(shù),(2)a為何值時,所圍圖形繞x軸一周所得旋轉(zhuǎn)體,解:(1),由方程得,面積為2,體積最小?,即,故得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,又,(2)旋轉(zhuǎn)體體積,又,為唯一極小點,因此,時V取最小值.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,第五章,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,一、基本概念,二、多元函數(shù)微分法,三、多元函數(shù)微分法的應用,多元函數(shù)微分法,一、基本概念,連續(xù)性,偏導數(shù)存在,可微性,1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù),定義域及對應規(guī)律,判斷極限不存在及求極限的方法,函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì),2.幾個基本概念的關(guān)系,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1已知,求出的表達式.,解法1令,即,解法2,以下與解法1相同.,則,且,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、多元函數(shù)微分法,顯示結(jié)構(gòu),隱式結(jié)構(gòu),1.分析復合結(jié)構(gòu),(畫變量關(guān)系圖),自變量個數(shù)=變量總個數(shù)方程總個數(shù),自變量與因變量由所求對象判定,2.正確使用求導法則,“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”,注意正確使用求導符號,3.利用一階微分形式不變性,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2設,其中f與F分別具,解法1方程兩邊對x求導,得,有一階導數(shù)或偏導數(shù),求,(99考研),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,解法2,方程兩邊求微分,得,化簡,消去即可得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3設,有二階連續(xù)偏導數(shù),且,求,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,練習題,1、設函數(shù)f二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,解答提示:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,2、設,求,提示:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,解出du,dv：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,代入即得,代入即得,有連續(xù)的一階偏導數(shù),及,分別由下兩式確定,求,又函數(shù),答案:,(2001考研）,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.設,三、多元函數(shù)微分法的應用,極值與最值問題,極值的必要條件與充分條件,求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法),求解最值問題,最小二乘法,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4,求旋轉(zhuǎn)拋物面,與平面,之間的最短距離.,解：,設,為拋物面,上任一點，,則P,的距離為,問題歸結(jié)為,約束條件:,目標函數(shù):,作拉氏函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,到平面,令,解此方程組得唯一駐點,由實際意義最小值存在,故,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,一、二重積分計算的基本方法,二、二重積分計算的基本技巧,三、重積分的應用,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,第八章,二重積分的計算及應用,一、二重積分的累次積分法,1.選擇合適的坐標系,使積分域成為由平面曲線圍成的區(qū)域;,被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.,2.選擇易計算的積分序,積分域分塊要少,累次積分易算為妙.,圖示法,列不等式法,(從內(nèi)到外:面、線、點),3.掌握確定積分限的方法,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,1、計算二重積分,其中D為圓周,所圍成的閉區(qū)域.,提示:利用極坐標,原式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,練習,2、,計算積分,其中D由,所圍成.,提示:如圖所示,連續(xù),所以,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、二重積分計算的基本技巧,分塊積分法,利用對稱性,1.交換積分順序的方法,2.利用對稱性簡化計算,3.消去被積函數(shù)絕對值符號,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,1、證明:,提示:左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,練習題,例1計算二重積分,其中:,(1)D為圓域,(2)D由直線,解:(1)利用對稱性.,圍成.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(2)積分域如圖:,將D分為,添加輔助線,利用對稱性,得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2計算二重積分,在第一象限部分.,解:(1),兩部分,則,其中D為圓域,把與D分成,作輔助線,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(2)提示:,兩部分,說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.,作輔助線,將D分成,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3,如圖所示,交換下列二次積分的順序:,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、二重積分的應用,1.幾何方面,面積(平面域),證明某些結(jié)論等,2.其它方面,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4,證明,證:左端,=右端,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,級數(shù)的收斂、求和與展開,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法,四、函數(shù)的冪級數(shù)和級數(shù)展開法,一、數(shù)項級數(shù)的審斂法,二、求冪級數(shù)收斂域的方法,第十章,(在收斂域內(nèi)進行),基本問題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數(shù)；,級數(shù)展開.,時為數(shù)項級數(shù);,時為冪級數(shù);,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,一、數(shù)項級數(shù)的審斂法,1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2.正項級數(shù)審斂法,必要條件,發(fā)散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收斂,發(fā)散,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.任意項級數(shù)審斂法,為收斂級數(shù),Leibniz判別法:若,且,則交錯級數(shù),收斂,概念:,且余項,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1若級數(shù),均收斂,且,證明級數(shù),收斂.,證:,則由題設,收斂,收斂,收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,1、判別下列級數(shù)的斂散性:,提示:(1),據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.,因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,練習題,利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.,用比值法,可判斷級數(shù),因n充分大時,原級數(shù)發(fā)散.,用比值判別法可知:,時收斂;,時,與p級數(shù)比較可知,時收斂;,時發(fā)散.,再由比較法可知原級數(shù)收斂.,時發(fā)散.,發(fā)散,收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,2、設正項級數(shù),和,也收斂.,提示:因,存在N0,又因,利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.,都收斂,證明級數(shù),當nN時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,3、設級數(shù),收斂,且,是否也收斂？說明理由.,但對任意項級數(shù)卻不一定收斂.,問級數(shù),提示:對正項級數(shù),由比較判別法可知,級數(shù),收斂,收斂,級數(shù),發(fā)散.,例如,取,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,4、討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:,提示:(1),P1時,絕對收斂;,0p1時,條件收斂;,p0時,發(fā)散.,(2)因各項取絕對值后所得強級數(shù),原級數(shù)絕對收斂.,故,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,因,單調(diào)遞減,且,但,所以原級數(shù)僅條件收斂.,由Leibniz判別法知級數(shù)收斂;,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,因,所以原級數(shù)絕對收斂.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、求冪級數(shù)收斂域的方法,標準形式冪級數(shù):先求收斂半徑R,再討論,非標準形式冪級數(shù),通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性.,求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:,練習:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,解:,當,因此級數(shù)在端點發(fā)散,時,時原級數(shù)收斂.,故收斂區(qū)間為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,解:因,故收斂區(qū)間為,級數(shù)收斂;,一般項,不趨于0,級數(shù)發(fā)散;,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2,解:分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù),極限不存在,原級數(shù)=,其收斂半徑,注意:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,求部分和式極限,三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法,求和,逐項求導或求積分,對和式積分或求導,直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和,再代值,求部分和等,初等變換法:分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內(nèi)）,數(shù)項級數(shù)求和,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3求冪級數(shù),法1易求出級數(shù)的收斂域為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,法2,先求出收斂區(qū)間,則,設和函數(shù)為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,練習:,解:(1),顯然x=0時上式也正確,故和函數(shù)為,而在,x0,求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：,級數(shù)發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(2),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,顯然x=0時,和為0;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性,有,x=1時,級數(shù)也收斂.,即得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,練習:,解:原式=,的和.,求級數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,四、函數(shù)的冪級數(shù)和級數(shù)展開法,直接展開法,間接展開法,練習:,1.將函數(shù),展開成x的冪級數(shù).,利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì),利用泰勒公式,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法,2.設,將f(x)展開成,x的冪級數(shù),的和.(01考研),解:,于是,并求級數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,一階微分方程的,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,一、一階微分方程求解,二、解微分方程應用問題,解法及應用,第九章,一、一階微分方程求解,1.一階標準類型方程求解,關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟,2.一階非標準類型方程求解,(1)變量代換法代換自變量,代換因變量,代換某組合式,(2)積分因子法選積分因子,解全微分方程,四個標準類型:,可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故為分離變量方程:,通解,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分,離變量方程.,調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.,化為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,方法1這是一個齊次方程.,方法2化為微分形式,故這是一個全微分方程.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2求下列方程的通解:,提示:(1),令u=xy,得,(2)將方程改寫為,(貝努里方程),(分離變量方程),原方程化為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,令y=ut,(齊次方程),令t=x1,則,可分離變量方程求解,化方程為,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,變方程為,兩邊乘積分因子,用湊微分法得通解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,設F(x)f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(,+),內(nèi)滿足以下條件:,(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;,(03考研),(2)求出F(x)的表達式.,解:(1),所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,(2)由一階線性微分方程解的公式得,于是,練習題:,1、求以,為通解的微分方程.,提示:,消去C得,2、求下列微分方程的通解(只考慮方法及步驟):,提示:令u=xy,化成可分離變量方程:,提示:這是一階線性方程,其中,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,提示:可化為關(guān)于x的一階線性方程,提示:為全微分方程,通解,微分倒推公式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,原方程化為,即,則,故原方程通解,提示:令,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、解微分方程應用問題,利用共性建立微分方程,利用個性確定定解條件.,關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學模型,要點:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考:能否根據(jù)草圖列方程?,練習題:,1、已知某曲線經(jīng)過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.,提示:設曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距,由題意知微分方程為,即,定解條件為,此點處切線方程為,它的切線在縱,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二階微分方程的,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、微分方程的應用,解法及應用,一、兩類二階微分方程的解法,第九章,一、兩類二階微分方程的解法,1.可降階微分方程的解法降階法,令,令,逐次積分求解,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,2.二階線性微分方程的解法,常系數(shù)情形,齊次,非齊次,代數(shù)法,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,1、求以,為通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,2、求下列微分方程的通解,提示:(1)令,則方程變?yōu)?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,練習題,特征根:,齊次方程通解:,令非齊次方程特解為,代入方程可得,思考,若(2)中非齊次項改為,提示:,原方程通解為,特解設法有何變化?