（教育學專業(yè)論文）小學應用題中發(fā)展學生初步推理能力的研究.pdf

溝帥范人學碩i ：學位論文 摘葵 摘要 在第2 4 屆國際數(shù)學家大會上，數(shù)學教育圓桌會議所達成的基本共識：培養(yǎng) 學生的數(shù)學邏輯推理能力應當作為數(shù)學教育的中心任務。來自多個國家的數(shù)學 教育專家就各國的數(shù)學邏輯推理教學現(xiàn)狀進行了廣泛的交流。共同擔心的問題 是：邏輯推理、證明在基礎教育中的地位有下降的危險。而值得注意的是，一 方面，小學階段的“應用題”這一教學內(nèi)容，也能有效地發(fā)展學生的推理能力： 另一方面，上海二期課改實施后，五年級畢業(yè)生的解應用題水平，較之i j i f 幾屆， 出現(xiàn)了思維能力退化的現(xiàn)象；以及很多學生還是對應用題存有懼怕心理。 本研究針對上述情形，以小學應用題教學作為知識切入口，將小學應用題 根掘思維層次一一單一問題結(jié)構(gòu)的應用題、兩步綜合問題結(jié)構(gòu)的應用題和較復 雜i u j 題綜合推理的應用題運用不同的策略進行教學設計，柬推進學生推理能 力的發(fā)展以及改善學生應用題學習的狀況。 單一問題結(jié)構(gòu)的應用題結(jié)合四則意義的理解，幫助學生掌握應用題的結(jié)構(gòu)， 建泣應用題的模型；在兩步綜合問題結(jié)構(gòu)的應用題教學中，學生應用已經(jīng)建立 的單一結(jié)構(gòu)問題的應用題模型，以及在單一結(jié)構(gòu)問題應用題模型建：菠過程中， 習得的補問題和補條件的能力，來解決兩步綜合結(jié)構(gòu)的應用題：在較復雜問題 綜合推理的應用題教學中，主要是幫助學生找到推理的思維支點。如，找等量 關系、畫圖法和列表法是幫助學生分析問題，發(fā)展學生思維推理能力的常用工 具。這些方法的實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合，以及化歸思想的運用。 三個層次應用題教學設計，切實從提高學生的思維能力出發(fā)，重在方法策 略的指導，為小學階段的應用題教學提供了教學思路。 關鍵詞小學應用題：推理能力；思維能力 上海師范人學教育碩十學何論文 英義摘受a b s t r a c t a b s t r a c t m a t h e m a t i c se d u c a t i o nr o u n d - t a b l ec o n f e r e n c er e a c h e dab a s i c c o n s e n s u s t om a k es t u d e n t s m a t h e m a t i c a ll o g i c a lr e a s o n i n ga b i l i t y c u l t i v a t i o na st h ec e n t r a lt a s ko ft h em a t h e m a t i c a le d u c a t i o n i nt h e2 4 t h i n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n s m a t h e m a t i c se d u c a t i o ne x p e r t s f r o mm a n yc o u n t r i e sd is c u s s e dal o ta b o u tc u r r e n tt e a c h i n gs it u a ti o no f l o g i c a lr e a s o n i n ga b i l i t yi nm a t h e m a t i c s t h ec o m m o nc o n c e r nw a st h a t p e o p l ep a i1 l e s sa t t e n ti o nt ol o g i c a lr e a s o n in ga n dp r o o fi nb a s i c e d u c a t i o n g r e a te m p h a s i ss h o u l db ep l a c e do nt w oa s p e c t s o nt h eo n e h a n d ，p u p i l s r e a s o n i n ga b i l i t ya l s oc a nb ed e v e l o p e de f f e c t i v e l yb y s o l v i n gw o r dp r o b l e m si np r i m a r ys c h 0 0 1 o n et h eo t h e rh a n d ，a f t e rt h e s e c o n dp h a s eo fc u r r i c u l u mr e f o r mi ns h a n g h a i ，g r a d e f i v es t u d e n t s a b ilit yo fd e a li n gw i t hw o r dp r o b l e m sd e g r a d e dw h e nc o m p a r e dw it h p r e v i o u sp u p il s a n da l s ow o r dp r o b l e m ss c a r e dm a n yp u p ii s i nv i e wo ft h ea b o v es i t u a t i o n ，t h i ss t u d ys t a r t sf r o mw o r dp r o b l e m s o fe l e m e n t a r yc l a s st om a k er e s p e c tat e a c h i n gd e s i g na c c o r d i n gt ot h e f o ll o w i n gt h r e el e v e l s ：o n e s t e pw o r dp r o b l e m s ，t w o s t e pc o m p r e h e n s i v e w o r dp r o b l e m sa n dc o m p l e xw o r dp r o b l e m s a 1lt h i si st oe n h a n c es t u d e n t s r e a s o n i n ga b i l i t ya n di m p r o v et h e i rs t a t u so fl e a r n i n gw o r dp r o b l e m s o n e s t e pw o r dp r o b l e m sh e l p ss t u d e n t sk n o w t h es t r u c t u r eo fw o r d p r o b l e m sa n db u ii dw o r dp r o b l e m sm o d e lb yu s i n gt h e f o u rf u n d a m e n t a l o p e r a t i o n so fa r i t h m e t i c i nt w os t e p so ft h ec o m p r e h e n s i v ep r o b l e m s t r u c t u r ea m o n gt e a c h i n g ，s t u d e n t sa r ea b l et om a k eu s eo ft h ee s t a b li s h e d 英文摘要a b s t r a c t j 二海師范人學教育碩十學位論文 m o d e l sa n dt h ea c q u i r e dc a p a c i t i e so fr e p l e n i s h i n gc o n d i t i o n so r q u e s t i o n si no n e 。s t e pw o r dp r o b l e m st os o l v et h et w o s t e pc o m p r e h e n s i v e w o r dp r o b l e m s w eh e l ps t u d e n t st of i n dt h ef u l c r u mo ft h i n k i n gt od e a lw i t h q u e s t i o n so nt e a c h i n gt h ec o m p l e xc o m p r e h e n s i v ew o r dp r o b l e m s 。 f o r e x a m p l e ，f i n d i n gp r o p e rr e l a t i o n s h i p ，d r a w in gd i a g r a ma n dt a b u l a t i o n h e l ps t u d e n t su n d e r s t a n dq u e s t i o n sa n dd e v e l o ps t u d e n t st h i n k i n ga b i1it y t h ee s s e n c eo fa 1 1t h ea b o v em e t h o d si st h ea p p li c a t i o no ft h ec o m b i n a t i o n o fg r a p h i c sa n dd i g it a la n do fm a t h st r a n s f o r m a ti o nt h o u g h t s a l lt h ea b o v et h r e el e v e l so fw o r dp r o b l e m st e a c h i n gd e s i g n i n gw i1 1 c o n c e n t r a t eo ni m p r o v i n gs t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t ya n de m p h a s i z em o r e o ng u i d a n c ea b o u tl e a r n i n gm e t h o d s ，f u r n i s h i n gw o r dp r o b l e m s t e a c h i n g w jt hp r o p e rw a y si ne l e m e n t a r ys c h 0 0 1 k e yw o r d ：e i e m e n t a r ys c h o o im a t h e m a t i c a ia p p ii c a t i o nq u e s t i o n s ： r e a s o n i n ga b iii t y ；t h i n k i n g 上海師范人學教育碩十學何論文第1 章引言 第1 章引言 1 1研究的背景與現(xiàn)狀 不知從何時起，直至現(xiàn)在，不斷有人提出疑問：學習英語很有用，可以進 外資單位，可以出國留學，可以在踏上工作崗位之后評職稱學習語文也很 有用，長大工作后，寫寫弄弄總歸需要的；那么，學習數(shù)學呢? 以前學的數(shù)學 微積分知識早就忘了，買東西算錢的話，有計算器! 學習數(shù)學到底有什么用? 真是外行人說外行話。數(shù)學永久不衰的秘訣在哪罩? 在于她能啟迪人們的 智慧，發(fā)展人類的思維能力。 從小學到中學，思維能力的發(fā)展是一個有序的過程?，F(xiàn)在研究銜接的課題 很多，如“幼小銜接”、“小初銜接”等，各種銜接的目的，無非足讓學生的發(fā) 展具有可持續(xù)性。小學階段的教育教學，要考慮到學生的后繼發(fā)展，為學生的 中學、大學乃至整個一生的發(fā)展奠定基礎。 2 0 0 2 年8 月，在北京召丌的第2 4 屆國際數(shù)學家大會上，數(shù)學教育圓桌 會議所達成基本共識：培養(yǎng)學生的數(shù)學邏輯推理能力應當作為數(shù)學教育的中心 任務。來自多個國家的數(shù)學教育專家就各國的數(shù)學邏輯推理教學現(xiàn)狀進行了廣 泛的交流。共同擔心的問題是：邏輯推理、證明在基礎教育中的地位有下降的 危險。主要原因在于：各國早期數(shù)學教育的課程設置基本上是將焦點集中在算 術概念、計算和算法上，進入7 年級或8 年級后，突然要求學生理解并寫出 嚴密的推理過程，缺少一定的“緩沖余地”，學生普遍感到吃力，產(chǎn)生艮難情緒。 中連。仁數(shù)學推理的奉質(zhì)和功能及j e 能力培養(yǎng)i j 】數(shù)學教育學報，2 0 0 3 1 2 ( 0 3 ) ：1 3 第i 章引言 上海師范人學教育碩十學何論文 本研究認為：幾何內(nèi)容教學以推理見長，進入7 年級或8 年級后，突然 要求學生理解并寫出嚴密的推理過程，學生肯定吃力。因為在小學階段的幾何 學習內(nèi)容，無非就是點、線、面的認識以及圖形的特點和計算圖形的周長、面 積和體積。就上海的教材來說，在一、二年級段是幾何體的認識，三年級是幾 何面的認識，四年級是線與線之間關系的認識，同時從三年級，1 ：始進行幾何面 的面積計算，到五年級是幾何體的體積計算。其他各版本的教材也大同小異。 無非在認識幾何元素的時候，先認識幾何面，再認識幾何體：還是先認識幾何 體，再認識幾何面的情況。由此可見，在小學幾何教學中，幾何面與體的認識 以及面積與體積的計算，與中學幾何的證明需要較強的邏輯思維能力進行比較， 小學幾何教學在發(fā)展學生邏輯推理方面的功能根本無從談起。學生從小學進入 中學，在推理方面的邏輯思維能力根本沒法進行銜接。 而值得注意的是，小學階段的“應用題這一教學內(nèi)容，特別是小學中高 年級應用題教學，卻能有效地發(fā)展學生的邏輯推理能力。應用題是由條件和問 題組成的，從條件出發(fā)，根據(jù)相關聯(lián)的兩個條件來解決一個對應的問題，再將 這個解決的問題作為條件，這樣一步步用“綜合法”解決問題，發(fā)展學生的歸 納推理；相反的，從問題出發(fā)，根據(jù)問題找需要的兩個對應條件，把缺少的條 件作為中間問題，這樣一步步用“分析法”來解決問題，發(fā)展學生的演繹推理。 通過分析法和綜合法來解決問題，有效提升學生的邏輯思維能力。 很多教學第一線的教師在自己的教學經(jīng)驗中都提到，運用綜合法和分析法， 能有效地提高學生解答應用題的能力?！?。其實質(zhì)就是提高學生歸納演繹推理方面 的思維能力，從而提高了學生解決問題的能力。那么，“在小學階段，怎樣借 助應用題教學發(fā)展學生初步的推理能力? ”就成為了問題的關鍵。希望通過研 究，能為如何提升學生數(shù)學思維能力提供參考和依據(jù)。 張洪論歸納法和類比法n 沖學數(shù)學教學中的作用i j l 黔東南民族帥專學報。2 0 0 1 ( 6 ) ：7 8 7 9 涂榮豹數(shù)學教學認識論【m 1 南京：南京帥范人學版 t 2 0 0 4 ：2 7 4 - - 3 2 5 2 上海師范人學教育碩十學何論文 第l 章引言 1 2問題的提出 “發(fā)展學生的思維能力”是一個非常重要而又內(nèi)容龐大的研究課題，它將 是本人未來幾年努力攻克的目標。但作為一個基礎性的工作，本人最關心的問 題還是：“在小學階段，怎樣發(fā)展學生的推理能力? ”，當然，這種影響是多方 面的，是比較復雜的。作為一個初步的探索性研究，本研究選擇數(shù)學學習中的 一個非常重要的內(nèi)容應用題作為研究的切入點，即探討“應用題教學與學 生推理能力之間的關系”，從而揭示出應用題教學與學生推理能力、應用題教學 與學生思維能力的關系脈絡。由于在學習過程中，“應用題教學”這一教學內(nèi)容 是載體和手段，發(fā)展學生的推理能力，促進學生的思維能力是目標。因此，本 研究擬從以下兩個方面來探索應用題教學與發(fā)展學生推理能力，促進學生思維 能力的關系： ( 1 ) 根據(jù)思維發(fā)展的階段性，在不同的年級段突破不同的應用題教學重點 在這個研究中，根據(jù)不同年齡階段學生的特點，進行不同的應用題教學策 略設計，隨后進行課堂實施。通過對低年級學生、中高年級學生進行不同的策 略設計，白j 接地反映出應用題教學與學生推理能力的關系。此外，從低年級學 生建立數(shù)學應用題模型為主、到中高年級學生注重對模型的應用等，進一步闡 述應用題教學與學生推理能力之間的關系。 ( 2 ) 根據(jù)思維發(fā)展的連續(xù)性，細化教學策略發(fā)展學生的思維能力 在這個研究中，根據(jù)不同的應用題教學知識點，細化教學策略，轉(zhuǎn)變教師 把握教材的理念，發(fā)展學生的思維能力。對整個小學階段應用題知識點進行梳 理，在這基礎上，細化教學策略，不同的知識點發(fā)展學生對應的思維能力，揭 示教學的本質(zhì)，為應用題教學與學生推理能力之間的關系、應用題教學如何發(fā) 展學生的思維能力提供有價值的參考。 第1 章引言 上海師范人學教育碩 ：學何論文 1 3 研究思路 從圖書館、書店和互聯(lián)網(wǎng)搜集并閱讀了文獻資料，通過查閱國內(nèi)外對學生 推理能力研究或有關應用題教學中的相關資料，以了解國內(nèi)外此領域的研究動 態(tài)和發(fā)展狀況，為本研究的實施提供相關理論和實踐參考。本研究查閱的文獻 資源有關的書籍，主要包括大陸地區(qū)、港臺地區(qū)以及國外的相關研究成果；以 及相關的期刊、博碩士論文、報紙等，在查閱的基礎上，分門別類進行了整理。 通過對涉及學生推理能力研究或有關應用題教學的相關文獻進行了系統(tǒng)的 分析和梳理，從中了解應用題教學中思維的發(fā)展和研究狀況，確立研究的思路 和框架。本研究參閱了上海教育出版社、江蘇科學教育出版社、人民教育出版 社、北京師范大學出版社的數(shù)學教材，結(jié)合自己的教學實際進行應用題教學設 計研究。 本研究的大致思路是：首先對應用題、數(shù)學思維、推理能力進行概念的界 定，然后依據(jù)應用題教學內(nèi)在的思維梯度，結(jié)合學生相關的已有知識和經(jīng)驗進 行知識梳理，進行應用題教學目標的設計，以及應用題教學設計案例分析。進 而根據(jù)自己實施后的體會歸納出新課程發(fā)展中，結(jié)合應用題知 ； 點教學，發(fā)展 學塵的邏輯思維能力的一些課常實施建議，以及后繼研究的展望。 史寧中數(shù)學課程標準的荇十思考 j 數(shù)學通撤2 0 0 7 ，4 6 ( 5 ) ：5 4 j ：海師范人學教育碩十學位論文 第2 章文獻述評 2 1相關概念界定 第2 章文獻述評 2 1 1 應用題 在心理學上，常常按照題目的功能把應用題分為規(guī)則性應用題和不規(guī)則應 用題。規(guī)則性應用題又稱良構(gòu)性應用題，大都指教科書和一般學習資料中常見 的應用題，題目一般比較規(guī)范，一定可以求解。不規(guī)則性應用題又稱不良構(gòu)性 應片j 題，是指那些與現(xiàn)實生活更為接近的一些題目?？赡苡薪?，可能無解：條 件可能是充分的，也可能是不全的：可能每個都是必要的，也可能存在多余條 件?！?。題目的形式有：表格式應用題、圖文應用題和純文字應用題。 應用題是把同常生活和生產(chǎn)中的實際數(shù)量問題，用語言、文字、圖形、表 格來表達已知數(shù)量和未知數(shù)量的相互關系，然后求未知量的題目。鋤應用題教學 是小學數(shù)學教學的一項重要任務，通過應用題教學，可以幫助學生更好的理解 小學數(shù)學的基礎知識，促進學生邏輯思維發(fā)展，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和運 用數(shù)學知識解決實際問題的能力。 2 1 2 數(shù)學思維 數(shù)學思維方法包括基本的邏輯思維方法( 比如，抽象、概括、比較，分類、 類比、歸納、演繹、分析、綜合等) 和非邏輯思維方法( 比如，形象思維，直覺 思維、靈感思維等) 。數(shù)學本身的方法是數(shù)學所固有，它包括共性的數(shù)學方法 醬才翰。市建躍數(shù)學教育心理學 m 北京：北京帥范人學版樸2 0 0 0 i 權小學數(shù)學教育學【m j i ：海：f 掙東0 巾范人學版十i ：2 0 0 0 兜魯鍵茨堆中小學生數(shù)學能j j 心刪學 m i ：海：l ：洵教育版 l ：，1 9 8 3 i ：r 必數(shù)學方法論一問題解決的理論 m k 沙：中南人學版 l ：，2 0 0 2 1 7 9 2 0 3 第2 章文獻述評上海師范人學教育碩十學何論文 數(shù)與個性的數(shù)學方法。o 形式邏輯思維是以思維形式，思維基本規(guī)律及思維方法 為其研究對象的一門科學；其中主要的思維形式是概念、判斷、推理，主要的 思維基本規(guī)律是同一律、矛盾律、排中律和充足理由律；主要思維方法是分析、 綜合、概括、抽象、比較、分類、歸納、演繹、類比等。圓一般地，在小學更多 地采用形象思維，到初中可以進行經(jīng)驗型抽象思維，高中階段可以更多地用理 論型抽象思維。 2 1 3 推理 推理是由一個或幾個判斷推出另一個判斷的思維過程。掌握比較完善的邏 輯推理能力是兒章智力發(fā)展的重要環(huán)節(jié)和主要標志。小學生的推理能力是隨著 兒章掌握比較復雜的知識經(jīng)驗和語法結(jié)構(gòu)而逐漸發(fā)展起來的。在問題解決過程 中，經(jīng)常需要學生在分析綜合、抽象概括的基礎上進行邏輯推理。 2 2 理論依據(jù) 寧連華( 江蘇，南京師范大學) 認為，談到數(shù)學推理的思維功能，不由使 人聯(lián)想到柏拉圖在他的哲學學校門口張榜聲明：“不懂幾何者請勿入內(nèi)?！逼?實，他的課并非討論那些點、線、面問題，而都是些關于社會的、政治的和道 德的深刻問題。只不過，他認為只有以推理見長的幾何課對人們的邏輯思維的 嚴格訓練j 能具備討論和探索各方面問題的能力。且不論柏拉圖本人或是他所 處的那個理性時代對幾何推理的推崇是如何偏激，有一點卻是毋庸置疑的：數(shù) 學中的推理證明對人的邏輯思維的訓練有著其它學科所無法替代的作用，這是 數(shù)學立足于科學之林的根本。 鄭毓信數(shù)學方法論l m l 廣兩：廣兩教育版樸，2 0 0 1 方顏珍淺淡小學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)f j l 科學教育4 , j f 究2 0 0 8 ( 6 ) ：1 5 喻i ，數(shù)學救育心理學i m l 南寧：廣兩教育版i ：，2 0 0 4 ：1 9 6 - 2 0 0 陳尤厶論語文教學中兒章思維能j 的發(fā)展f j l 諜程教材教法，1 9 9 6 ( 1 0 ) ：1 4 寧連。仁數(shù)學推理的奉質(zhì)和j j j 能及j e 能力培養(yǎng)i j j 數(shù)學教育學報，2 0 0 3 1 2 ( 0 3 ) ：4 2 邁克爾褒拉一種歸納的方法i m i 北京：人民教育；i ；版 f = 2 0 0 0 3 3 6 j ：海師范人學教育碩十學佗論文第2 章文獻述評 不管是小學還是中學、大學，數(shù)學學科的功能應該是其他學科不能取代的， 就足要發(fā)展學生的思維能力，而演繹推理和歸納推理屬于推理能力，在數(shù)學思 維能力中占有舉足輕重的地位。 著名數(shù)學家教育家波利亞精辟地指出：“數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面它是歐 幾單德式的嚴謹科學，從這方面看，數(shù)學是- f - j 系統(tǒng)的演繹科學；但另一方面， 創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來卻像是- f - 實驗性的歸納科學?！?李祥兆在中學生數(shù)學歸納推理的發(fā)展研究中說：“數(shù)學家和科學家把歸 納推理作為科學發(fā)現(xiàn)的一種有力工具 。圓 段賽花( 蘇州大學) 在數(shù)學新課程中“合情推理”教學的初步研究中 提到“從思維上看，推理是思維的基本形式，推理過程就是思維過程。 王瑾( 東北師范大學教育科學學院博士，沈陽師范大學教師專業(yè)發(fā)展學院 講師，主要從事中小學數(shù)學課程與教學的研究和教學工作) 在小學階段數(shù)學 歸納推理課程的實施研究中寫道：“數(shù)學作為大量使用邏輯知識的學科，在小 學數(shù)學課程中，既要通過邏輯推理，特別是歸納推理建構(gòu)小學數(shù)學的相關知識 體系，又通過歸納推理解決數(shù)學問題，因此，數(shù)學歸納推理是小學階段培養(yǎng)學 生邏輯推理能力和創(chuàng)新意識的重要的數(shù)學內(nèi)容。 2 3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 2 3 1 國外研究現(xiàn)狀 自從1 9 世紀的偉大數(shù)學家朱爾昂利彭加勒( 法國數(shù)學家，1 8 5 4 ) 在 其“數(shù)學推理的本性 中對沿襲了兩千多年之久的數(shù)學“三段論推理說。率 先提出質(zhì)疑后，人們對推理的理解逐漸趨于深刻?；旧腺澩@種觀點：數(shù)學 波利詎g 怎樣解題i m i 問育蘇譯北京：科學版 i ：，1 9 8 2 傘 t 兆數(shù)學歸納推理的認知過程i o d , i j i 數(shù)學教育學報，2 0 0 5 ( 2 ) 段賽化數(shù)學新課程中“含情推理”教學的初步研，i d l 汀另：茍：州人學頌i ：學位論義2 0 0 5 ij 蕾小學階段數(shù)學歸納并f = 胖隊程的實施研究【j 1 課程教材救法2 0 1i ( 2 ) ：6 h p o i n c a r c m a t h e m a t i c sa n ds c i e n c e l 舔te s s a y s ，t r a n s l a t e db yj o h nw b o l d u c d o v e rp u b l i c a t i o n s i n c 7 第2 章文獻述評 上海師范人學教育碩十學何論文 推理不能理解為純粹分析的，它在一定程度上存在著歸納性質(zhì)，具有創(chuàng)造的 特性，從而不同于“三段論”，但它始終保持著某種絕對嚴格的特征2 7 。后來， 著名數(shù)學家、數(shù)學教育家波利啞明確將數(shù)學推理概括為證明推理與合情推理。 其中，證明推理表現(xiàn)為嚴格的邏輯形式，是可靠的、無可爭論的：他首先充分肯 定了證明推理在確定數(shù)學命題的真理性和其科學體系建構(gòu)中的重要作用，但同 時指出，這只是數(shù)學推理的一個方面。 近年來，心理學家、數(shù)學教育家羅伯特斯騰伯格( r o b e r tj s t e r n b e r g ，1 9 4 9 一) ，根據(jù)多年的教學經(jīng)驗、實踐調(diào)查和對學生認知過程的分析， 認為數(shù)學推理的三個方面一一分析性推理、創(chuàng)造性推理和實踐性推理同時起著 重要作用。其中，分析性推理傾向于演繹式邏輯分析，創(chuàng)造性推理傾向于猜想 與發(fā)現(xiàn)的活動過程，而實踐性推理則意指在具體、真實的問題情境中，推斷、 策劃解決問題的辦法。并強調(diào)指出，分析性推理仍是數(shù)學推理的基本要素，因 為它在一定程度上對后兩者具有明顯的促進和制約作用。但有效的教學應i r d 時 注意培養(yǎng)和評估三個方面的推理能力。 總之，從國外研究水平來看，當前對數(shù)學歸納演繹推理能力的研究主要側(cè) 重于對推理本質(zhì)的研究，對教學中如何培養(yǎng)學生數(shù)學歸納演繹推理能力，發(fā)展 學生的邏輯思維能力的研究也還缺乏系統(tǒng)的理論體系，對數(shù)學邏輯思維能力的 培養(yǎng)更是缺乏具體的有效措施與手段。這些都為本研究提供了切入點。 2 3 2 國內(nèi)研究現(xiàn)狀 國內(nèi)對歸納推理方面的邏輯思維研究還是有一些的，但是，在研究歸納推 理的時候，只是帶上幾句演繹推理方面的話語。 n e wy o r k i9 6 3 p 6 0 波利眶g 數(shù)學。j 狷?。簲?shù)學中的i 門納和類比i m l 北京：科學：i ：版| 2 0 0 2 i ( 園r i p s lj i n d u c t i v e j u d g m c n l s a b o u tn a t u n d c a t c g o r i c s l j l j j o u r n a lo f v e r b a il e a r n i n ga n dv c r b a l b c h a q o r 1 9 7 5 ( 1 4 l ：6 6 5 - 4 ：讒1 下山呼倫叭爾盟漢族、蒙族、達斡爾族、鄂溫克族初中生效學推理能力的比較研究i j l 心理學探斬 1 9 9 2 ( 4 ) ：4 3 - 4 6 8 上海師范人學教育碩十學位論文 第2 章文獻述評 武錫環(huán)，李祥兆( 2 0 0 4 ) 在中學生數(shù)學歸納推理的發(fā)展研究中，通過 實驗表明：歸納推理( 總分) 與演繹推理能力的皮爾遜相關系數(shù)為r = 0 4 3 3 ( p ， o 0 1 ) ，這表明學生的歸納推理能力和演繹推理能力存在非常顯著的相關 性。因此，數(shù)學教學要促使學生的歸納推理與演繹推理同步發(fā)展。 劉耀武提倡“歸納與演繹并用”的教學原則來培養(yǎng)學生的歸納能力。 合情推理是演繹推理的有效延拓，兩者非但不矛盾，反而相輔相成，共同 在數(shù)學論證活動中發(fā)揮著各自的作用。固 以上國內(nèi)研究表明：在培養(yǎng)學生初步的邏輯思維能力的時候，歸納推理能 力和演繹推理能力確實可以同步培養(yǎng)，不矛盾。是本研究的理論支持之一。 陳麗芳( 2 0 0 8 ，湖南師范大學) 在關于初中生數(shù)學歸納能力培養(yǎng)的理論 與實踐研究中寫道：從四個不同領域培養(yǎng)學生數(shù)學歸納能力?！皵?shù)與代數(shù)”、 “空間與圖形 、“統(tǒng)計與概率”和“實踐與綜合應用”4 個領域的課程內(nèi)容， 都為發(fā)展學生的數(shù)學歸納能力提供了豐富的素材。所以，數(shù)學教學必須改變培 養(yǎng)學生歸納能力的“載體”單一化( 幾何) 的狀況。 “應用題教學內(nèi)容”應該屬于陳麗芳的“實踐與綜合應用 中，也就屬于 為發(fā)展學生的數(shù)學歸納能力的豐富的素材之一。也是本研究的理論支持者。 綜上所述，國內(nèi)對推理能力的培養(yǎng)也是理論研究較多，但缺乏結(jié)合具體教 學的研究。 武錫環(huán)。牟 t 兆中學生數(shù)學口l 納推理的發(fā)腱| i j f 究i j l 數(shù)學教育學報2 0 0 4 ( 3 ) ：8 劉耀武“歸納一演繹井用”的救學腺則f j l 數(shù)學教育學報1 9 9 9 t8 ( 4 ) ：2 6 - 2 8 梁 自l it j j j i ：漢初中生數(shù)學推理能力 i j f 究i d l 廣兩：廣兩帥范人學幀i j 學位論殳2 0 0 5 陳附芳關十初中生數(shù)學歸納能力培養(yǎng)的理論j 實戰(zhàn)4 f j f 7 1 d 湖l 乎i ：湖南帥范人學壩l ：學位論文，2 0 0 8 9 第3 章研究方法上海師范人學教育碩十學位論丈 第3 章研究方法 本研究參考上海一期課改的教材、人民教育出版社、北京師范大學出版社、 江蘇科技出版社的相關教材，對現(xiàn)行上海教育出版社的小學應用題部分的教學 內(nèi)容進行重新設計。首先確定分析數(shù)據(jù)；其次根據(jù)小學階段應用題內(nèi)在的思維 梯度，將應用題教學設計的內(nèi)容分成三類；最后結(jié)合發(fā)展學生的思維能力，對 應用題教學的過程進行策略方法等方面設計。 3 1分析數(shù)據(jù) 對三方面的數(shù)據(jù)進行搜集分析。首先是上海市中小學數(shù)學課程標準： 其次是教材，包括上海一期課改的教材、人民教育出版社、北京師范大學出版 社、江蘇科技出版社的相關教材；再次是應用題教學課堂上學生的反饋，課后 的作業(yè)情況。在對以上數(shù)據(jù)進行綜合分析的基礎上，進行應用題教學設計。 3 2 應用題教學設計思維梯度 根據(jù)應用題內(nèi)在的思維梯度，本研究將小學階段的應用題分為三個層次： 單一問題結(jié)構(gòu)的應用題、兩步綜合問題的應用題和較復雜問題綜合推理的應用 題。另外，在應用題教學設計的時候，還要考慮學生已有的知識和經(jīng)驗，是否 具備解決相應應用題問題的能力。 3 2 1 應用題的三個思維層次 將小學階段的應用題分為單一問題結(jié)構(gòu)的應用題、兩步綜合問題的應用題 和較復雜問題綜合推理的應用題。一般情況下，單一問題結(jié)構(gòu)的應用題適合小 學低年級學生，對應用題進行建模；兩步綜合問題的應用題適合小學中年級學 l o 上海師范人學教育碩十學位論文第3 章研究方法 生，著重在運用應用題的模型，發(fā)展學生初步的推理能力：而較復雜問題綜合 推理的應用題適合高年級學生，發(fā)展學生綜合思維能力。 ( 1 ) 單一問題結(jié)構(gòu)應用題的建模 單一問題結(jié)構(gòu)的應用題是指通過一步計算就能解決的實際問題。在低年級 階段加強基礎知識的教學，幫助學生“建模”，是培養(yǎng)解決問題能力的前提，是 發(fā)展學生邏輯思維能力的基礎。提升學生的邏輯能力，需要運用已有的知識去 探索新情況、尋找問題答案、追溯需要信息的思考活動。學生掌握數(shù)學知識的 程度直接影響數(shù)學問題的解決。所以在數(shù)學教學中，首先要加強基礎知識的教 學，使學生建立清晰、穩(wěn)定的認知結(jié)構(gòu)。學生的邏輯思維能力是在學生學習數(shù) 學知識的過程中逐漸形成和發(fā)展起來的。沒有扎實的基礎知識，能力的培養(yǎng)將 無法落實。思維能力的發(fā)展必須在建構(gòu)失h i p , 的過程中有序地培養(yǎng)。圓 有必要從一年級丌始就有意識地培養(yǎng)學生解決應用題的能力，逐步培養(yǎng)初 步的邏輯思維能力。幫助學生掌握應用題的結(jié)構(gòu)，建立應用題的模型，對于一 年級學生而言是至關重要的。 ( 2 ) 兩步綜合問題應用題的初步推理 有了低年級建立的一步應用題模型，到了二年級第二學期，學生就要應用 已經(jīng)建立的應用題模型，初步學會運用“綜合法”和“分析法”進行突破，會 找中| 日j 問題，學會解決兩步的應用題，學生初步的推理能力得到發(fā)展。 ( 3 ) 較復雜問題應用題的綜合推理 到了高年級之后，學生就要會分析步驟更多的問題，對學生思維能力的要 求史高，可能僅僅光用分析法或者綜合法無法解決，需要兩者結(jié)合，或者需要 借助其它的方法才能解決。 3 2 2 涉及的已有知識和經(jīng)驗匹配度 需要解決應用題的時候，必須具備對應的計算能力，那么“計算”就作為 l 順耿林必華數(shù)學定刪、公式的過程教學 j 數(shù)學教學通訊2 0 0 7 ( 2 7 0 ) t2 4 2 6 降f l j 巖小學數(shù)學解決問題教學的現(xiàn)狀及策略【d i l i - 林：東北帥弛人學壩i ：學位論文2 0 1 0 第3 章研究方法上海師范人學教育碩十學位論文 應用題教學程度受制的一個元素。所以，在應用題知識點梳理的時候，必須考 慮到學生的已有經(jīng)驗以及其它的知識基礎。 3 3 應用題教學設計過程 期待學生的思維能有序地發(fā)展，那么應用題教學的設計，也要根據(jù)應用題 內(nèi)在的思維層次，有序地進行設計。首先是低年級學生單一問題結(jié)構(gòu)應用題模 型的建立，然后是在這基礎上的兩步綜合問題應用題如何推理，接著是發(fā)展學 生解決較復雜問題應用題的綜合推理能力。通過對不同思維層次的應用題進行 不同思維目標的設計，期待學生在不同的階段，在思維上得到不斷提升。 3 3 1 單一問題結(jié)構(gòu)應用題建模的設計 單一問題結(jié)構(gòu)的應用題是學生首先接觸到的，是低年級學生學習的重點內(nèi) 容。學生在理解加法、減法、乘法和除法意義的同時，幫助學生建立應用題的 結(jié)構(gòu)，這是單一問題結(jié)構(gòu)應用題建模的關鍵。 3 3 1 1 運算意義的理解 單一問題結(jié)構(gòu)應用題的建模，首先要做的就是：將學生已有的生活經(jīng)驗作 為基礎，通過冉現(xiàn)生活情境、學具操作等活動進行運算意義教學。 同時，要注意概念之i 日j 的溝通。學生在學習了加法的意義之后，當學習減 法意義的時候，要啟發(fā)學生比較減法與加法兩者之i 日j 的聯(lián)系和區(qū)別：在學習乘 法和除法的時候，除了要溝通乘法和除法，還要分別與加法和減法進行溝通， 見圖3 - i ： 1 2 上海師范人學教育碩十學何論文第3 章研究方法 加法 乘 法 是 力口 法 的 簡 綻 運 算 乘法 減法是加法的逆運算 減法 ( 差比) 除 法 是 減 法 的 簡 綻 運 算 除法 ( 倍比) ( 圖3 1 運算意義關系溝通圖) ( 1 ) 加 加法意義的教學，學生通過活動，知道加法是基本的四則運算之一，是合 并、添加的意思。它是指將兩個或者兩個以上的數(shù)、量合起來，變成一個數(shù)、 量的運算。即“部分數(shù)+ 部分數(shù)= 總數(shù)”。 ( 2 ) 減 減法意義的教學，學生通過活動，知道減法是四則運算之一，減法就是從 總數(shù)中分出一部分，求另一部分的運算叫做減法?；蛘邚呐c加法的關系來說是， 已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。即“總數(shù)一 部分數(shù)= 部分數(shù) 。 ( 3 ) 乘 乘法意義的教學，學生通過活動，知道乘法足p q 則運算之一，是求幾個相 同加數(shù)和的簡便運算。是幾個相同部分數(shù)加起來，求總數(shù)。即“每份數(shù)份數(shù)= 總數(shù)”。 ( 4 ) 除 除法意義的教學，學塵通過活動，知道除法足四則運算之一，是已知兩個 【大i 數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，叫做除法。是將總數(shù)分成幾 1 3 第3 章研究方法上海師范人學教育碩十學位論文 個相同的部分，求部分數(shù)或者每份數(shù)。即“總數(shù)份數(shù)= 每份數(shù) 、“總數(shù)每 份數(shù)= 份數(shù)”。 ( 5 ) 四則運算意義的補充 減法除了以上提到的意義之外，另外，在兩樣東西比多少的時候，也需要 用減法；同樣，除法除了以上提到的意義之外，也可以用在兩樣東西比倍數(shù)的 時候。所以，根據(jù)應用題的意義，應用題可以這樣分類，見圖3 - 2 ： d ： 小 所以，在單一結(jié)構(gòu)問題的應用題教學設計中，首先是四則意義的教學：在 進行加、減、乘、除意義教學的時候，學生除了知道加、減、乘、除本身的含 義外，必須理解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，也就是概念的內(nèi)涵。其次是應用題中 比較概念的建立。所以，單一結(jié)構(gòu)模式的應用題就是將加、減、乘、除穿上“外 衣”，其實質(zhì)就是加、減、乘、除的意義，以及兩類比較關系的應用題。 3 3 1 2 重在建模 在學生知道了加、減、乘、除的意義以及比較的概念之后，就已經(jīng)具備了 解決單一問題結(jié)構(gòu)應用題模式的基礎，接下來需要解決的就是學生對應用題結(jié) 構(gòu)的掌握，這是學生建立應用題基本模型的關鍵岡素。 于是，本研究設計了“補條件、補問題、連線”等訓練學生應用題結(jié)構(gòu)的 1 4 上海師范人學教育碩+ 學位論文第3 章研究方法 教學活動，期望對學生掌握并建立應用題的結(jié)構(gòu)有所幫助。 ( 1 ) 補問題 教師提供兩個信息( 即條件) ，學生根據(jù)這兩個條件之i 日j 的關系提出對應的 問題。在學生完成這一層次要求之后，教師可以多提供1 到2 個無關條件，學 生根據(jù)對加、減、乘、除意義的理解，選擇相關聯(lián)的兩個信息，提出一個問題。 ( 2 ) 補條件 學生根據(jù)給出的一個問題以及一個條件，思考缺少的一個條件。補條件的 難度肯定高于補問題的難度。 ( 3 ) 連線 連線的難度高于補問題和補條件，其實質(zhì)是給出一列條件即多個條件，和 一列問題即多個問題，要求學生從眾多的條件中選擇兩個關聯(lián)的條件，然后將 這兩個條件能解決的問題從眾多的問題中找出來，最后用兩條直線將兩個條件 與一個問題連接起來。 由此可以看出，以上三個教學活動設計的層次是由淺到深，學生有能力解 決連線的話，說明對單一問題結(jié)構(gòu)的應用題已經(jīng)完全掌握，單一問題結(jié)構(gòu)的應 用題建模成功。 3 3 2 兩步綜合結(jié)構(gòu)推理的設計 解決兩步綜合問題的應用題，需要學生具備單一問題結(jié)構(gòu)應用題的學習基 礎，通過找出中間條件或者說中間問題，發(fā)展學生初步的推理能力。 3 3 2 1 應用模型推理 學塵應用已經(jīng)建立的單一結(jié)構(gòu)問題的應用題模? 理，以及在單一結(jié)構(gòu)問題應 用題模型建立過程中，習得的補問題和補條件的能力，來解決兩步綜合結(jié)構(gòu)的 應用題。 1 5 第3 章研究方法上海師范人學教育碩十學位論文 ( 1 ) 分析法 在兩步綜合結(jié)構(gòu)的應用題中，學生需要這樣應用分析法：學生從應用題的 問題出發(fā)，思考解決這個問題所需要的兩個條件。從已知條件中可以找到其中 一個條件，而另一個需要的條件沒能直接找到，就將沒能找到的這個條件作為 新問題( 稱為中間問題) ，然后，根據(jù)這個新問題去找所需要的兩個條件，題目 中直接就能找到所需要的兩個條件。 ( 2 ) 綜合法 在兩步綜合結(jié)構(gòu)的應用題中，學塵需要通過已知條件中的兩個條件得出對 應的問題，而這個問題并非最終問題，將這個已經(jīng)解決的問題作為條件，與另 一個已知條件放在一起，就能解決最終問題。這就是學生在解決兩步綜合結(jié)構(gòu) 的應用題中，運用的綜合法。 ( 3 ) 結(jié)合分析法和綜合法 在兩步綜合結(jié)構(gòu)的應用題中，結(jié)合分析法和綜合法是指通過已知條件中的 兩個條件得出對應的1 u j 題，將這個問題作為已知條件之后，又根據(jù)最終問題柬 思考所需要的條件。也就是可以從條件出發(fā)，當找不到相關聯(lián)的條件時，就轉(zhuǎn) 換思路，從問題出發(fā)，找條件。根據(jù)條件想問題以及根據(jù)問題想條件靈活運用。 以上方法就是學生用單一結(jié)構(gòu)問題的應用題模型，運用初步的推理，靈活 解決兩步綜合結(jié)構(gòu)的應用題。 3 3 2 2 應用思維工具推理 學生在利用分析法和綜合法解決問題的時候，往往由于不適應從單一問題 結(jié)構(gòu)到兩步綜合問題結(jié)構(gòu)的應用題思考層次的升級，出現(xiàn)學習困難。所以應 用直觀的輔助圖，再加上語言的反饋，提供給學生思維的工具，幫助學生解決 兩步綜合結(jié)構(gòu)的應用題，切實提高學生的推理能力。 ( 1 ) 輔助分析圖 利用數(shù)形結(jié)合的思想幫助學生分析問題，也是發(fā)展學生推理能力的有效工 1 6 上海師范人學教育碩十學何論文第3 章研究方法 具。讓思維訓練變得直觀、可操作、易交流。 ( 2 ) 語言表述反饋( 中間問題) 不管學生是利用補條件、補問題的方法進行思考，還是利用輔助分析圖的 方法進行推理，都可以通過語言來描述自己的思考過程。語言是思維的反映， 在兩步綜合問題的應用題教學中，讓學生說出推理的過程，說出中間問題是非 常煢要的一個環(huán)節(jié)。 在兩步綜合問題應用題中，所有的方法和思維工具的輔助，都是為了幫助 學塵進行有效地推理。 3 3 3 較復雜問題綜合推理的設計 在兩步綜合問題應用題的基礎上，進一步發(fā)展學生的推理能力，提升學生 的思維能力。在較復雜問題應用題的綜合推理發(fā)展過程中，也要幫助學生找到 思維的支點，找等量關系、畫圖法和列表法是幫助學生分析問題，發(fā)展學生思 維能力的常用工具。其實質(zhì)也就是數(shù)形結(jié)合，化歸思想的運用。 3 3 3 1 找等量關系 在較復雜問題綜合推理的應用題中，很多問題都可以通過找等量關系來解 決，在找到等量關系之后列方程求解，使很多逆向思考的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問 題來解決。 3 3 3 2 運用思維工具 幫助學生運用思維工具進行分析，找到推理的思維支點。 ( 1 ) 畫圖法 畫圖法對于學生來說并不陌生，在低中年級段中簡單的畫圖法，在進入高 年級之后，圖也變得復雜，但是復雜的圖還是很直觀，能有效地幫助學生進行 思考和推理。 1 7 第3 章研究方法上海師范人學教育碩十學何論文 廁簡圖 學生讀清題意，收集信息，根據(jù)自己的理解畫簡圖來幫助思考和分析。 畫線段圖 在比較關系的問題和行程問題中，學生用畫線段圖的方法進行分析，是有 效解決問題的途徑。 畫樹狀算圖 在推理的步驟比較多的時候，用畫樹狀算圖進行分析，讓思維推理清晰、 可操作。 ( 2 ) 列表法 列表法，其實質(zhì)也是將復雜的信息條件梳理得清晰，便于分析思考。 將小學階段的應用題分為三個思維層次進行研究，在研究的時候各個層次 各有突破，層層遞進。 1 8 j ：海師范人學教育碩十學位論文第4 章研究結(jié)果 第4 章研究結(jié)果 本章就應用題教學目標預設，以及單一問題結(jié)構(gòu)的應用題、兩步綜合問題 的應用題和較復雜問題綜合推理的應用題中培養(yǎng)學生推理能力的策略思考等方 面進行了探索，并給出相應的設計案例。 4 1應用題教學目標預設 對應用題進行教學設計，不單單是因為本研究知道了在第2 4 屆國際數(shù)學家 大會上提出7 、8 年級的中學生推理能力下降的原因，還有一個原因是在上海二 期課改教材經(jīng)過一段時期實踐后，本研究發(fā)現(xiàn)“應用題 部分