（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題七解析幾何7.2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)練習(xí)理.docx

7.2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)命題角度1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程高考真題體驗(yàn)對(duì)方向1.(2019北京4)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為12,則()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b解析橢圓的離心率e=ca=12,c2=a2-b2,化簡(jiǎn)得3a2=4b2,故選B.答案B2.(2019全國8)若拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2p=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=()A.2B.3C.4D.8答案D解析y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2,0,橢圓x23p+y2p=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故選D.3.(2017北京9)若雙曲線x2-y2m=1的離心率為3,則實(shí)數(shù)m=.答案2解析由題意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,則離心率e=ca=1+m=3,解得m=2.4.(2016北京13)雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.答案2解析四邊形OABC是正方形,AOB=45,不妨設(shè)直線OA的方程即雙曲線的一條漸近線的方程為y=x.ba=1,即a=b.又|OB|=22,c=22.a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.典題演練提能刷高分1.(2019湖南長(zhǎng)沙第一中學(xué)高三下學(xué)期高考模擬)若雙曲線x2a2-y2=1(a0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2,則其漸近線方程為()A.y=xB.y=2xC.y=12xD.y=2x答案A解析由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,得a=1,又b=1,所以雙曲線的漸近線方程為y=x.故選A.2.(2019江西新八校高三第二次聯(lián)考)已知點(diǎn)P為拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是B,A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).則|PA|+|PB|的最小值是()A.5B.4C.25D.25-1答案D解析根據(jù)題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)F(1,0),由拋物線定義可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=22+42-1=25-1.故選D.3.已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則ABF1內(nèi)切圓的半徑為()A.43B.1C.45D.34答案D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根據(jù)橢圓的定義可知ABF1的周長(zhǎng)為4a=8,ABF1面積為12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故選D.4.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)為雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線上,ABM為等腰三角形,且頂角為120,則該雙曲線的方程為()A.x2-y24=1B.x2-y2=1C.x2-y23=1D.x2-y22=1答案B解析由點(diǎn)M在雙曲線上,ABM為等腰三角形,且頂角為120,得|AB|=|BM|,ABM=120,過點(diǎn)M作MNx軸,垂足為N,則NBM=60,如圖所示.在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,則|BN|=2acos60=a,|MN|=2asin60=3a,即M(2a,3a),代入雙曲線方程得4-3a2b2=1,即b2=a2.點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)為雙曲線的左、右頂點(diǎn),a=b=1,雙曲線的方程為x2-y2=1.5.已知拋物線C:y2=8x上一點(diǎn)P,直線l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,則P到這兩條直線的距離之和的最小值為()A.2B.234C.161534D.181734答案D解析由題意得直線l1:x=-2是拋物線的準(zhǔn)線,設(shè)P到直線l1的距離為PA,點(diǎn)P到直線l2的距離為PB,所以P到這兩條直線的距離之和為|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,當(dāng)P,B,F三點(diǎn)共線時(shí),距離之和最小.此時(shí),最小值為|32-50+30|32+(-5)2=181734,故選D.6.如圖,橢圓x2a2+y24=1的焦點(diǎn)為F1,F2,過F1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)H.若F1,H是線段MN的三等分點(diǎn),則F2MN的周長(zhǎng)為()A.20B.10C.25D.45答案D解析由題意知H為線段F1N的中點(diǎn),且F1(-c,0),b=2,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為c,即NF2x軸,所以Nc,4a,則H0,2a.又F1為線段HM的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M-2c,-2a,代入橢圓方程得4c2a2+1a2=1,a2=1+4c2,1+4c2=4+c2,c2=1,a2=b2+c2=5.由橢圓的定義可知,F2MN的周長(zhǎng)為4a=45.7.(2019北京昌平區(qū)高三年級(jí)第二次統(tǒng)一練習(xí))已知雙曲線C1:x2-y23=1,若拋物線C2:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為1,則拋物線C2的方程為.答案x2=8y解析雙曲線C1:x2-y23=1的漸近線方程為3xy=0,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,p2,拋物線C2:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為1,可得p21+3=1,解得p=4.故拋物線C2的方程為:x2=8y.命題角度2圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其應(yīng)用高考真題體驗(yàn)對(duì)方向1.(2019全國10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1答案B解析如圖,由已知可設(shè)|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,則|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由橢圓的定義及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.點(diǎn)A為(0,-b).kAF2=b1=b.過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P.由題意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.點(diǎn)B32,12b.把點(diǎn)B坐標(biāo)代入橢圓方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以橢圓方程為x23+y22=1.2.(2018全國5)雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的離心率為3,則其漸近線方程為()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A解析e=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=bax,漸近線方程為y=2x.3.(2018全國11)已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案B解析由條件知F(2,0),漸近線方程為y=33x,所以NOF=MOF=30,MON=6090.不妨設(shè)OMN=90,則|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos30=3,所以|MN|=3.4.(2017全國5)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B解析由題意得ba=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程為x24-y25=1.5.(2019江蘇7)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2-y2b2=1(b0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是.答案y=2x解析雙曲線x2-y2b2=1(b0)過點(diǎn)(3,4),32-42b2=1,解得b2=2,即b=2或b=-2(舍去).a=1,且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,雙曲線的漸近線方程為y=2x.6.(2019全國15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為.答案(3,15)解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x00,y00),則SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又點(diǎn)M在橢圓C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,15).7.(2018全國16)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若AMB=90,則k=.答案2解析設(shè)直線AB:x=my+1,聯(lián)立x=my+1,y2=4xy2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.典題演練提能刷高分1.若F(c,0)是橢圓x2a2+y2b2=1的右焦點(diǎn),F與橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為M,最小值為m,則橢圓上與F點(diǎn)的距離等于M+m2的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.c,b2aB.-c,b2aC.(0,b)D.不存在答案C解析由橢圓的性質(zhì)得M=a+c,m=a-c,所以M+m2=a,橢圓上與F點(diǎn)的距離等于a的點(diǎn)為短軸的兩個(gè)端點(diǎn),故選C.2.(2019黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P為橢圓C:y2a2+x2b2=1(ab0)的下頂點(diǎn),M,N在橢圓上,若四邊形OPMN為平行四邊形,為直線ON的傾斜角,若6,4,則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.0,63B.0,32C.63,32D.63,223答案A解析OP在y軸上,且平行四邊形中,MNOP,M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即M,N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,而MN=OP=a,可設(shè)Mx,-a2,Nx,a2,代入橢圓方程得|x|=32b,得N32b,a2.因?yàn)闉橹本€ON的傾斜角,tan=a232b=a3b,因?yàn)?,4,33tan1,33a3b1.1ab3.33ba1.13b2a21.而e=ca=1-b2a2.00,b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|=4|OF|(O為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A.2B.3C.2D.5答案D解析由拋物線方程可得l的方程為x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故選D.2.(2017全國9)若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.233答案A解析可知雙曲線C的漸近線方程為bxay=0,取其中的一條漸近線方程為bx+ay=0,則圓心(2,0)到這條漸近線的距離為2ba2+b2=22-12=3,即2bc=3,所以c=2a,所以e=2,故選A.3.(2019全國11)設(shè)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.5解析如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQx軸.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心,|OA|=c2.Pc2,c2.又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故選A.答案A4.(2019全國16)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若F1A=AB,F1BF2B=0,則C的離心率為.答案2解析如圖,由F1A=AB,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2OA,且|BF2|=2|OA|.由F1BF2B=0,得F1BF2B.則OAF1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故BOF2=AOF1=2OF1B,得BOF2=60.則ba=tan60=3.所以e=ca=1+ba2=1+3=2.典題演練提能刷高分1.(2019甘肅蘭州高考一診)已知點(diǎn)F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)Q在射線F1P的延長(zhǎng)線上,且|PQ|=|PF2|,若|PQ|的最小值為1,最大值為9,則橢圓的離心率為()A.35B.13C.45D.19答案C解析因?yàn)閨PQ|=|PF2|,|PQ|的最小值為1,最大值為9,|PF2|的最大值為a+c=9,最小值為a-c=1,a=5,c=4.橢圓的離心率為e=ca=45.故選C.2.如圖所示,圓柱形玻璃杯中的水液面呈橢圓形狀,則該橢圓的離心率為()A.12B.33C.22D.32答案D解析橢圓的短軸長(zhǎng)為圓柱的直徑,橢圓的長(zhǎng)軸、圓柱底面的直徑和母線三者組成一個(gè)直角三角形,且長(zhǎng)軸與直徑的夾角為30.b=r,a=rsin30=2r,c=4r2-r2=3r,e=ca=32.故選D.3.(2019廣東揭陽高考二模)設(shè)F1,F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=2a上一點(diǎn),F2PF1是底邊為PF1的等腰三角形,且直線PF1的斜率為13,則橢圓E的離心率為()A.1013B.58C.35D.23答案A解析由題意,因?yàn)镕2PF1是底邊為PF1的等腰三角形,|PF2|=|F2F1|.因?yàn)镻為直線x=2a上一點(diǎn),直線PF1的斜率為13,PDF2是直角三角形,所以2a+c32+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=ca=1013或e=-2(舍去).故選A.4.(2019貴州凱里第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1,ab0,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),若橢圓C上存在點(diǎn)P(x0,y0)(x00)使得PF1F2=60,則橢圓的離心率的取值范圍為()A.22,1B.0,22C.12,1D.0,12答案D解析依據(jù)題意作出如下圖象:由已知可得,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的上(下)頂點(diǎn)處時(shí),PF1F2最大,要滿足橢圓C上存在點(diǎn)P(x0,y0)(x00)使得PF1F2=60,則90(PF1F2)max60.所以tan(PF1F2)maxtan60=3.即bc3,整理得b3c.又a2=b2+c23c2+c2=4c2,即a24c2,所以e=ca=c2a214=12.所以橢圓離心率的取值范圍為0,12.故選D.5.(2019福建龍巖高三5月月考)已知點(diǎn)F為橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn),直線y=kx(k0)與C相交于M,N兩點(diǎn)(其中M在第一象限),若|MN|=2a2-b2,|FM|3|FN|,則C的離心率的最大值是.答案3-1解析設(shè)右焦點(diǎn)為F,連接MF,NF,由橢圓對(duì)稱性知四邊形FMFN為平行四邊形.又|MN|=2a2-b2=2c=FF,故FMFN為矩形.|FM|3|FN|=3|FM|,|FM|+|FM|=2a,即2a-|FM|3|FM|,|FM|2a3+1.又(2a-|FM|)2+|FM|2=4c2,故0b0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案D解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在橢圓上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2),AB的中點(diǎn)為(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.橢圓E的方程為x218+y29=1.故選D.2.(2014江西15)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于.答案22解析由題意可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則可得x12a2+y12b2=1(ab0),x22a2+y22b2=1(ab0).-,并整理得x1+x2a2(y1+y2)=-y1-y2b2(x1-x2).(*)M是線段AB的中點(diǎn),且過點(diǎn)M(1,1)的直線斜率為-12,x1+x2=2,y1+y2=2,k=y1-y2x1-x2=-12.(*)式可化為1a2=12b2,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即c2a2=12.e=ca=22.典題演練提能刷高分1.已知雙曲線E:x24-y22=1,直線l交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)為12,-1,則l的方程為()A.4x+y-1=0B.2x+y=0C.2x+8y+7=0D.x+4y+3=0答案C解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x124-y122=1,x224-y222=1,x12-x224-y12-y222=0.x1+x24-kly1+y22=0.2124-kl-122=0.kl=-14,l:y-(-1)=-14x-12,整理得2x+8y+7=0.2.以雙曲線的中心為原點(diǎn),F(0,-2)是雙曲線的焦點(diǎn),過F的直線l與雙曲線相交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為P(3,1),則雙曲線的方程為()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.y23-x2=1D.x2-y23=1答案B解析由題意設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),則y12a2-x12b2=1且y22a2-x22b2=1,則(y1+y2)(y1-y2)a2=(x1+x2)(x1-x2)b2,即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2,則y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1,即b2=3a2,則c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,即該雙曲線的方程為y2-x23=1.故選B.3.已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,M(3,2),直線MF交拋物線于A,B兩點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn),則p的值為()A.3B.2或4C.4D.2答案B解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y12=2px1,y22=2px2,兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),y1-y2x1-x2=2py1+y2,M為AB的中點(diǎn),y1+y2=4,y1-y2x1-x2=2-03-p2,故有23-p2=2p4,解得p=2或4.4.已知雙曲線x2-y22=1,直線l的斜率為-2,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若在雙曲線上存在異于A,B的一點(diǎn)C,使直線AB,BC,AC的斜率滿足1kAB