數(shù)列求和的方法.doc

數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n項(xiàng)和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 1 例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當(dāng) ，即n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè). （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 例6 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 . （反序） 又因?yàn)?+得 （反序相加）89 S44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） 例11 求證：解：設(shè) （裂項(xiàng)） （裂項(xiàng)求和） 原等式成立六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設(shè)Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 （合并求和） 5例14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 （合并求和） 10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通項(xiàng)及特征） （分組求和）例16 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、裂項(xiàng)求和） 八、 聚合法求和 有的數(shù)列表示形式較復(fù)雜，每一項(xiàng)是若干個(gè)數(shù)的和，這時(shí)常采用聚合法， 先對其第n項(xiàng)求和，然后將通項(xiàng)化簡，從而改變原數(shù)列的形式，有利于找出解題辦法。 例5：求數(shù)列2，2+4，2+4+6，2+4+6+8，2+4+6+2n，的前n項(xiàng)和 解：an=2+4+6+2n= n(n+1)=n2+n Sn=(12+1)+(22+2)+(32+3) +( n2+n) =（12+22+32+ n2）+（1+2+3+n） = n（n+1）（2n+1）+ n(n+1) = 以上一個(gè)幾種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。九、遞推數(shù)列的求和 求數(shù)列的和是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，它往往涉及到各方面的知識(shí)，就是前面提到的方法也往往要綜合起來才能奏效。還要指出一點(diǎn)，當(dāng)數(shù)列是由遞推公式給出時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和公式一般是由遞推公式來得到，必須先由遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后再求前n項(xiàng)的和。例4、已知數(shù)列an滿足條件： a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2) (nN)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.分析：要先求出通項(xiàng)，考慮到已知與n項(xiàng)和有關(guān)，不妨用n項(xiàng)和減去（n-1）項(xiàng)的和來解決。解：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2) 當(dāng)n2時(shí)，a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1) -得： nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) =3n(n+1) an=3(n+1) (n2) 又：a1=123=6適合上式 an=3(n+1) (nN) 數(shù)列an是首項(xiàng)為6，公差為3的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和 對于個(gè)別特殊的遞推數(shù)列也有例外，比如檢測題3，就可以用迭加法由遞推公式直接求通項(xiàng)，具體作法： 由已知可得： 上述（n-1）個(gè)式子迭加有： 又a1=1，十、奇偶分析求和已知數(shù)列an，an=-2n-(-1)n，求Sn解：an=-2n+2(-1)n當(dāng)n=2m時(shí)：Sn= S2m=-2（1+2+3+2m）+2（-1）1+（-1）2+（-1）3+（-1）2m=-2（1+2+3+2m）=-2m（2m+1）=-n（n+1）當(dāng)n=2m-1時(shí)：S2m-1= S2m- a2m=-2m（2m+1）+ 4m-2(-1)2m=-4m2+2m-2= -（2m-1+1）2+2m-1-1= -（n+1）2+n-1= -n2-n-2十一、求導(dǎo)的方法求和求 2n+ 3n2+ 4n3+（m+1） nm它是等比數(shù)列n2+n3+n4+nm+1的倒數(shù)附：數(shù)列中的找規(guī)律例1. 已知數(shù)列1，2，4，8，16，32，求這個(gè)數(shù)列中第10項(xiàng)是多少所以，這個(gè)數(shù)列中第10項(xiàng)是：例2. 觀察下面左、右兩列等式的關(guān)系（先計(jì)算）計(jì)算：例3. 求和：例4. 觀察下面的數(shù)表（橫排為行）根據(jù)前5行表現(xiàn)出的規(guī)律，說明這個(gè)分?jǐn)?shù)位于由上而下的第幾行？在這行中，它位于由左向右的第幾個(gè)？分